T ' C0S2,« COS

pourra être ramenée à la forme

*,(A0n,(«) + *,(At)n,(a) + ...+ *.»iu«).

quelles que soient d'ailleurs les fonctions "^.(u), n/a), etc. En effet, dans cette hypothèse, si l'on pose

f*Qjl,(a)d* = C„ |jQatn,(a)rfa = Cï f2 Qjl„(«>fa = C„,

g + ?/ (?) = F(uî - C,*.(f*) - C.*,r» - - c.*.(/*)

ces deux équations différentielles du second ordre sont faciles à intégrer, puisqu'en posant f J(u)d/u = $, et prenant 6 pour variable indépendante, les coeffjciens des quantités P, Q, et de leurs différentielles -.-, ~£ , se rédui.-ent à de simples constantes. L'intégratiou effectuée, on détermine d'abord les deux constantes arbitraires que

cette intégration introduit, en faisant usage des conditions définies P = o pour ,«=-, Q = opour f*= o. Ensuite on chassera C,, Ca. . .Ca en ayant égard aux n égalités

/'oaQ.n1(«y« = C„ y^Q«n,(«yw* = ct,....f*Qxna(*)dx = C.,

et quand on aura terminé ces calculs d'élimination , les valeurs de P et Q, en général, ne renfermeront plus rien d'indéterminé (*). Reste à savoir maintenant dans quel cas la fonction

4 cosftsin a [/(«) —/(«)]

■X ' COS Ifc COS 2«

ou, ce qui revient au même, la fonction

COS 2^t COS la. 7. COS 'ft COS 3sC

(*) Si pourtant les n équations de condition / Qx n (*) du = C, , etc., rentraient les unes dans les autres, quelques-unes des constantes C, , C, , C„, resteraient indéterminées dans les valeurs de P et Q, et par suite dans la valeur de A„.. Sans doute une telle circonstance ne se présente jamais dans la théorie de la chaleur, c'est-à-dire lorsque la fonction f{x), qui exprime dans cette théorie le rapport du pouvoir rayonnant à la chaleur spécifique, est une fonction positive; mais lorsqu'on regarde la fonction f{x) comme susceptible de prendre des valeurs négatives, le problème qui consiste à trouver la valeur de Am satisfaisant à l'équation (A) peut très bien devenir indéterminé. Et, par exemple, si l'on pose f(x) =^ — 3, F(.r)=o. l'équation (A) prendra la forme 2Ammcos mx — 3lAm cos mx — o , et il est clair qu'on y satisfera en égalantàzéro les coefficients A,, A5, Am, et à une constante quelconque le coefficient A3. En continuant à regarder la valeur de f(x] comme susceptibledeprendreune valeur négative , il pourra aussi arriver que nos équations de condition soient incompatibles, et alors il n'existera aucune valeur de \m satisfaisant à l'équation (A). On aura un exemple simple du cas dont je parle en faisant f(x) — — 3, F(.t) = cos 3r, car l'équation (A) deviendra £A„,m cos ra.r — 3z.\m cos mx = cos 3x , ou bien sAm(m — 3) cos mx = cos Sx , égalité évidemment absurde , puisque le coefficient de cos 3x est égal à zéro dans le premier membre, et égal à l'unité dans le second membre.

peut être ramenée à la forme citée. Or, je dis que cela arrivera toutes les fois que f(x) sera une fonction rationnelle, entière ou fractionnaire de eos'a'.

Supposons, en effet, qu'on ait f(y) = ^j~i.,Ji(!x)elJJfJ-) désignant

des fonctions entières de cos'fA. On aura, en changeant p en a

Par conséquent

/M -/M „ J'MAi") —/M/M

COS 'jK — cos'a Jl{t*)/{") (cos3f< — cosa«)'

Pour démontrer la proposition énoncée, il suffit évidemment de faire voir que la quantité

M) M) -/.M/.fr)

COS *fc — COS 'a.

est réductible à la forme f.G^n.fa) -f- "*'.(F)n,(«) + . • • + ^n(fi)n.(a). Or, rien n'est plus facile; en effet, la fonction /,(p)fi(&) — ftfàfjp) étant une fonction entière de cos'p, cos'a, et s'annulant quand on a cos'p. = cos'a, elle doit être divisible par cos'p. — cos'a, et le résultat de la division ne peut se composer que d'un nombre limité de termes de la forme A cos s?«. cos*'a.

Les équations

j,\ t. /•7Qacos«sin* ["/"(«) — f(a\]d*

2 + VM = F« - if. co.J-~.J-- % - Q/M = »,

s'intégreront donc sous forme finie par notre méthode toutes les fois que le pouvoir rayonnant f(x) sera exprimé par une fonction rationnelle quelconque de cos*,r. A plus forte raison s'intégreront-elles si la valeur de f(x) est de la forme

f(x) = R0 4- Racos2.r 4- R4cos4r -4-...-}- R,cos/z.r,

// désignant un nombre pair; car le second membre peut être réduit à une fonction entière de cos*x.

Maintenant, quelle que soit la valeur de f{x), nous pouvons toujours la développer en série, et poser

f x) = R, -f- R, cos2r + R4cos4.r +...-f- Rnco*nx +. . .

En prenant dans le second membre un certain nombre limité de termes, on aura une première valeur approchée de f{x); en la traitant comme si elle était rigoureusement exacte, on pourra donc en déduire aussi des valeurs approchées de P et Q; et il ne restera plus qu'à les corriger par la méthode connue des approximations successives.

En résumé, nous sommes parvenus à obtenir, dans tous les cas possibles, les valeurs de P et Q exactes ou indéfiniment approchées, et par conséquent à trouver la valeur de Am qui satisfait à l'équation

(A) 2.Ammcosmx -f- f(x) 2Amcosma: = F(x).

La valeur de A„.. est égale à ^ Ç* rtp(P cos mu + Qsin mu) ; elle s'exprime sous forme finie toutes les fois que f(x) est une fonction rationnelle de cosVr. La méthode qui nous a conduits à ces résultats est directe, mais un peu longue. Quand on examine avec soin la forme des équations qui déterminent P et Q, on en découvre uihautre beaucoup plus simple que je vais exposer.