SECONDE SOLUTION DU PROBLEME (A). SOLUTIONS DES PROBLEMES (B) ET (C
Pour satisfaire à l'équation (A), nous remplacerons, comme tout a l'heure, f[X) par son développement, et posant
Am = - f 2 du (P cos 77iu. + Qsm mu),
nous chercherons à déterminer les deux fonctions P et Q, en sorte que l'on ait
SA^mcosmx + f(x) 2Am cos/hx à= - Zcosmx f a cosmwF(u du.
FÉveiEr. i836.
Si nous admettons que P et Q satisfassent aux conditions définies
P = o pour fi = -. , Q = o pour f* = o ,
une intégration par parties nous donnera de suite
2Ammcosmx = 5 2 cos ma- C 'du. (cos mu -p — sin mu ■—).
* J o ' \ dft dfi/
En désiguant par P* ce que devient P quand on y change u en x , nous
voyons que Yx s'évanouit à la limite x = -. On peut donc développer
P* en une série de cosinus d'arcs multiples impairs de x, ce qui donne
Px = -2cos7MJT / Pcos mudu.
ir J o
On aura de même
ar
P^ f(x) = - 2 cos mx ! a Py (w) cos m,u4* ; et il en résulte , en mettant pour Px sa valeur ,
— — Scosmx / 2P cos mudu. = -Icosmx I *!? f(p) cas mpdu. D'un autre côté, on a l'équation identique
4' ; 2 cos mx j 3 Q sin mudu. = - 2 cos ?mj: / 2 Qf(u-) sin mp^t
-f-^2cosTOX f*Q[f(x) — /(a)] siumyy/u.
En l'ajoutant membre à membre à la précédente , on obtient d'une part la quantité —"'
— — 2 cos mx / Q P cos mudu + - ■ 2 cos mx I 2Q sin mudu..
PURES ET APPLIQUÉES. 5g
qui , d'après la valeur de Am , est précisément égale à f(x) 2Amcosmr; et d'autre part la quantité
- 2 cos mx i dp [Py%") cos mP- + Qf Gu) sin m/i ]
+■- 2 cos mx f'Q[f(x) — f (f/.)] sin mys/u ,
laquelle doit par conséquent être équivalente aussi à f(x)'2Amcos mx. Après avoir ainsi formé les valeurs de2Ammcosm,r,/(jr)2Amcosm.x, je les ajoute, et en faisant pour plus de simplicité
X = ^Zcosmxfyi;. {cos/MjaTp/^-l-^+sin/nurQ/^.)— ^Q},
Y = -2 cos mxf aQ[y(-^) — yC")] sm mpdu,
je trouve
2Ammcosm.r -f- f-x) 2 Am cos mx = X -J- Y. Eu comparant cette équation à celle du problème, il vient
X + Y" = - 2 cos ma: / 2cosm^ F(p.)^.
La valeur de X est mise sous une forme convenable; mais il n'en est pas de même de celle de Y. Pour atteindre le but que nous uou<proposons, il est nécessaire d'intervertir l'ordre des signes 2 et f, ce qui donne
Y = if2 Q.[f(x) — /(f*)] du. 2 cos mx sin ma. Par les méthodes connues pour la sommation des séries on obtient [flx) /(w)] 2 cos mx sin mu = f/frWfrflsin^cos*
J J /J r COS IX COS ïfl
et il est bon d'observer que , à cause du facteur f{x) — f(u) qui s'e-
6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
vanouit lorsque x = p, la fraction placée dans le second membre ne devient jamais infinie. Je porte cette fraction dans la valeur de Y , et je substitue en même temps à la lettre f* une antre lettre a, ce qui est indifférent. II vient ainsi
7t J o cos 2.r — COS la
Q« désignant ce que devient Q lorsqu'on y change a en u. Mais la
fonction Y ayant cos .r pour facteur s'évanouit quand x = - : donc
entre les limites x = o, x = -, on peut développer cette fonction en
une série de cosinus d'arcs multiples impairs de x. La méthode ordinaire appliquée ici nous donne
■n it
v 16 ^ r* , fî q«[/m — /(«)] sin « cos/«rf«
1 = — Scos/hj: / cosmj-.ch. / ,
5T / O ' - ' J O COS 2fi COS 2«
et c'est sous cette forme que la valeur de Y doit être employée. Remettons-la en effet, ainsi que celle de X, dans l'équation
X + Y = - 2 cos nu: I 2 cos mfx Y(u)d/J., et le résultat de la substitution sera
Scosmx I 2 dp (\J cos mu, — V sin m u.) = o, U et V ayant les valeurs que voici
u = £ + p/w - f(^) + i n<**~'*"M-fua*9
dft J \r-j \i~j -r ^j 0 cos2fc — cosa«
Or, il est évident que l'équation
Scos/we / du(Ucosm[i — \ sin m/ut.) = o
sera satisfaiîe si U et V sont nuls à la l'ois. Donc les deux équations U = o, V = o, sont celles qui doivent déterminer les inconnues P etQ, pourvu qu'on y joigne toutefois les conditions définies P = o
pour ^e. = -, Q = o pour u. = o; ce qui coïncide avec les résultats
obtenus dans le numéro précédent.
Le problème (A) une fois résolu, on eu déduit bien aisément les solutions des problèmes (B) et (C). Le premier de ces nouveaux problèmes peut être énoncé comme ceci :
problème;
Soient m un nombre impair quelconque , et A,, A3, . . . A„. . . . des coefficient constans inconnus. On propose de trouver la valeur de Am qui satisfait à ïéquation
mir rnnx
(B) 2Ara . ^ cos ^ + /(x)2Amcos^ = F(*)
pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x = o, x = 1.
La fonction f{x) est essentiellement positive, et nous regardons la fonction F(.r) comme assujettie à la condition F(Z) = o.
Pour ramener ce problème au précédent, il suflira de poser
—:■==■ y , puis de multiplier par — l'équation (B); il viendra
2,Anmcosmj- -f- — f(~ ) 2Am cos mj ■=. — Ff — j,
et cette nouvelle équation devra subsister entre les limites ,z- = o, .x = -, comme l'équation (A) dont nous nous sommes occupes tout à l'heure. Par conséquent, si nous posons
Am = - / 3 dfx (P cos mp -{- Qsin ma)du, P et Q devront satisfaire aux deux équations
<b JOURNAL DE MATHEMATIQUES
r^cos^sinX/f^W-TI d
du. t: J \ tt J ît \ h- / Tr'a/i COS 2,« — COS 2«
On les simplifiera un peu en changeant les variables et et y- en d'autres variables a', fi' liées aux deux autres par les égalités
ira 7! u
ou , ce qui revient au même , en remplaçant partout a. et ^ par îf| ^j ce qui exige que l'on prenne oet Zau lieudeoet- pour limites des intégrales définies. Par ces changemens on trouvera
Am = f/>(Pcos^ + Qsin^),
P et Q étant deux fonctions de (* déterminées par les deux équations
|"Q«COS27sll'27[/«-^]^
p/;,) = Ffc)
du. J ' ' ' £ 1TK jrtt
