O J o COS 2,« COS

Les expressions des trois quantités 2Ammcosmx, X et Y une fois formées, il faut les reporter dans l'équation (A"). Pour simplifier l'écriture, posons

U = — + P f(fi) — FO) -f- £ f* Q*cos'"sin"^)— f(')îd*

df* irj 0 C0S2/4 — COS2«

et nous verrons facilement , qu'après avoir effectué la substitution dont il s agit, on peut mettre l'équation (A") sous la forme

2 cos mx f a dfi (U cos rn.fi. — V sin m/x.) = o. Rmn i836. 7

5o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Or, cette dernière e'gaiité sera évidemment satisfaite si les valeurs de P et Qsont telles qu'on ait à IafoisU=o et V = o.

Donc la détermination des deux quantités P et Q dépend des deux équations

dQ

du

*V ° C0S2K — COS2ot

C0S2/C — COS2ot

auxquelles il ne faut pas oublier de joindre les conditions définies P = o pour fx. = - , Q = o pour /j, = o ,

que nous avons supposées satisfaites en effectuant ci-dessus une intégration par parties. Les équations auxquelles nous venons d'arriver sont remarquables en ce que la fonction Q se trouve placée à la fois sous un signe d'intégration définie et hors de ce même signe. Plusieurs questions d'Analyse élevée mènent à de semblables égalités, et nous ;ivons déjà eu l'occasion d'en traiter quelques-unes , lorsque nous nous sommes occupés des différentielles à indices quelconques.

Lorsque la fonction f(x) est égale à une constante h, nos équation? deviennent

Il est très facile de les intégrer, et la valeur de Am à laquelle elles conduisent, coïncide, après quelques transformations, avec celle que fournit la méthode ordinaire. Mais il est inutile d'entrer ici dans le détail de ces transformations qui n'ont rien de remarquable.

Si l'on veut vérifier l'exactitude de nos équations en les appliquant à uu exemple dans lequel f(x) soit une quantité variable, et qui cependant n'exige pas de calculs compliqués, on n'a qu'à faire I x' = cos2ar, et F(o-) = fcoso- — ^cos5.r. On trouve alors P = — jcos3jic, Q=sin'w., valeurs dont il est aisé de constater l'exactitude en les substituant dans uos équations. Il résulte donc de notre analyse, qu'en posant

PURES ET APPLIQUÉES. 5r

Am = - f d/ji.(smuûnmfjt, — | cos3f* cos/n^c),

on doit avoir

2Am/ra cos mx +• cos *x 1km cos mx = \ cos x — \ cos 5x.

D'après la valeur de Am, la quantité 2Amcos mx est la différence de deux autres quantités dont la première, savoir :

- 2 cos mx f d/jt. sin (ttsin m/x est égale à cos a:; et dont la seconde , savoir :

— 2 cos mx I 2 cos 3/a cos mfxdfjt.

est égale à | cos 3x. On a par conséquent

2Am cos mx = cosj? — f cos3.r = | cos x — ^ cos5x;

d'où

2Aram cos mx = | cos a: — £ cos 3.r.

L'équation que nous voulons vérifier devient donc

| cos x — ^cos3.r -f- cos %x (cosx — j cos 3x)= £ cos x — 5 cos5 x.

Or, en effectuant les calculs et remettant pour cos 3j? sa valeur /Jcos3x — 3cosx, on trouve qu'elle est identique, comme cela doit être.

Pour montrer comment nos équations font connaître les valeurs de P et Q, je vais considérer le cas particulier très simple où l'on a

f{x) = R0 -+- R, COS 2X.

De cette valeur de f{x) il résulte que

fjfc) - /(«) R tOS2« C0S2* *'

5i JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Les équations en P et Q sont donc ici

Posons / Q* sin a,dtt — C; C sera une constante inconnue que nous

déterminerons à la fin du calcul. Si nous divisons maintenant nos deux équations par f{f*>), et si nous posons j(\x)d)jLz= d§, G désignant

une nouvelle variable égale à R^H — : sin 2/a., elles deviendront

rfp n

ou bien en éliminant Q

Cette équation du second ordre est facile à intégrer , soit par la méthode ordinaire, soit en procédant comme on va le voir.

L'égalité 9 = R0/w. -f sin ijx = J f{fJL)dfx , dans laquelle f\fx)

est une fonction toujours positive depuis pt = o jusqu'à [*. = - , nous

prouve que 9 est une fonction positive croissante dans le même intervalle, en sorte qu'elle grandit par degrés insensibles depuis G = o

jusqu'à la valeur extrême G=-^- que nous désignerons par en. En

vertu de cette même égalité }/. est une fonction de G, et l'on peut en

i> il •. ' F(u) 4RaCOS« ~ , ,

dire autant des deux quantités -?r— s ,. . . De plus, ces deux quan- 1 /M vif) r n

tités s évanouissent lorsqu'on a /x=-, c'est-à-dire G = ce. Donc entre les limites 6 — o et 6= co , on peut, par les méthodes connues, dé-

lopper -~— r , ■ f en séries de la forme

" /M ' VW

TT to7t9 2R„cos u __ m-rh - = 2Hcos , — 7—T = 2k cos ,

J[fc) lu *J(fi) lu

m désignant un nombre impair quelconque. On aura ensuite -,— +? = 2H cos — C2K cos ,

et l'on satisfera à cette équation en posant

rail ,. Mi5 H cos h cos

P = 4»»2 t^j^mA — 4C«*2 ^

a valeur d( l'on a

La valeur de P, différentiée par rapport à 6 , fournit celle de Q. Ainsi

m H sin m K sin

Q = — ZCvTT'S. — — — — + 2C&7T2 -j-

Quoique la valeur de P ne soit qu'une intégrale particulière de l'équation du second ordre qui détermine P, cette intégrale particulière suffit pour le moment; car les conditions définies

P = o pour ^4 = - ou 6 = »,

Q = o pour /i = o ou G = o ,

qui doivent servir à déterminer les deux constantes arbitraires, sont ici satisfaites d'elles-mêmes.

La quantité inconnue C qui reste encore dans nos formules doit

être telle que l'on ait / 2 Qx sin ada. = C. En formant l'intégrale

/ 2 Qa sin ada, et l'égalant à C, nous déterminerons donc cette constante et uous trouverons

m H sin

VxTT f sin ada- 2 -r—, —

mK sin „ sin adal-y— ;

9, étant ce que devient 6 lorsqu'on y remplace u par a. , en sorte que

p S„ — R„a H sin aa. La valeur de C étant ainsi connue, il ne reste

plus rien d'indéterminé dans les expressions de P et Q ; et la recherche de ces expressions est terminée.

En général les équations

J(-| „ t. rïQ cos«sinaf f(u) — f(u)~\da 'J + p/(„) = F(» — * / — -

-,vl/ x/ Tt/O cos 2« — cos 2«

rf,B * VrV V ' vr J " COS 2p C0S2«

« - Q/(At) = o,

feront connaître les valeurs de P et Q sous forme finie toutes les fois que la fraction

4 cos,» si n «[/(,«)— /(a)]