PROBLÈME
Trouver la fonction <p(9) qui satisfait à V équation (C) f* fl<p(fl) cos e^rfô -f- f{x) f" <p(G) cos M = Ff»
yw#r toutes les valeurs réelles et positives de x.
D'après ce qui précède, la valeur cherchée de p(6) s'obtiendra en divisant par d§ ou par = la valeur de Am, après qu'on y aura fait
—, = Q , et / == x . On aura donc 2/ '
<p(ô) =^ r"df* (Pcosu9 + Qsinpfl),
et les valeurs de P et Q seront fournies par les deux équations écrites plus haut. Mais en y introduisant la condition /= x , la première de ces équations change un peu de forme. En effet, lorsque / devient une quantité infiniment grande, il est aisé de s'assurer qu'on a
irft . no.
COS — r sin —r o
2 il 24 O*
COS -t; COS — t
il il
L équation dont nous parlons devient par conséquent
+ Py(«J = F<V) H- - / — —
rf«
et il faudra y joindre l'autre équation j- — Q/(,u) = o, et les conditions définies P = o pour y== x , Q = o pour u. = o. Sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans de plus grands déiails, on comprendra que ces égalités permettent de trouver les valeurs finies de P et Q toutes les fois que f{x) est une fonction rationnelle entière ou fractionnaire de x'. Dans tous les autres cas il sera aisé d'obtenir ces mêmes valeurs par la méthode des approximations successives.
SOLITIC» DU PROBLÈME (D .
Appliquons maintenant notre seconde méthode à la solution du problème (D) dont voici l'énoncé.
PKOBLÉME.
Soient m un quelconque des nombres entiers successifs i , 2,3, 4, 5,... et A,, At, A3, A4>... Am... des coefficiens constans inconnus. On propose de déterminer ces coefficiens , de telle manière que l'on air
1kmm i\nmx + f(x) 2Ainsin;«.r = T(x] ;
pour toutes les valeurs de x comprises entre o et tt.
La fonction y*(.r)est essentiellement positive. La fonction F(.r) peut être positive ou négative; mais comme le premier membre s'évanouit pour.r = o et pour x = 7r, nous admettrons qu'on a F(o) = oet F(w) = o.
Les conditions F(o) = o , F(7r) = o étant satisfaites , on peut développer F(.r) en une série de sinus pour toutes les valeurs de x comprises entre o et ir. Le développement est de la forme
F(x) = - Ssinwjr / sin mu.F(u)du..
L'équation (D) devient donc
(D'} 2Am;« sinmx -f- f(x) 2Am sin mx== - Is'mmx f sin mu.Y (a) du.
Pour y satisfaire , nous poserons
Am = - / du (P cos inp. + Q sin mu) ,
P et Q désignant deux fonctions de u qu'il s'agit de déterminer convenablement.
En intégrant par parties on a
/„ , Vûwmu i r. df ,
P cos mudu = / sin mu j- du,
! Q sin mudu = — H /cos mu j- du.
Si doue on se rappelle que m est un nombre entier, et si l'on suppose la fonction Q assujettie aux deux conditions
Q = o pour p. = o, Q = o pour u = tt, il viendra
/ V cos mudu = / slnmu ~7-d;j ,
( " Q sin m«dp. = — / cos m». -3- <7,u ,
*■ t l'on aura
Am = — ; du. ( cos mu — — smmu.-r ). Ti-m J n \ dfc < df*/
Cette valeur de Am nous donne tout de suite
~ * • 2 ^. . r* , / rfQ • <it'\
2Am m sin mx = - 2 sin mx I du. (cos mu -j sin mu — y
D'autre part, on a
/(a:)2Amsinmjc=^-!— -2 sin ma:/ du(P cos mu + Qsin m^J.
Cette valeur se compose de deux parties que nous allons considérer l'une après l'autre. La seconde, savoir,
^JJâl 2 sin mx I Q sin mudu ,
est la plus simple à traiter. Comme la fonction Q est nulle aux deux limites u = o, [A =7r, et qu'il en est de même du produit Qf(p), il en résulte que si l'on désigne par Q* ce que devient Q en y changeant u. eu x , on aura
Février i836 9
(X = - 2 sin mx / Q sin mp-dy- ,
Qxf(x) = - 2 sin 7«x | Q /(^) sin muda.
En multipliant la première de ces égalités par f{x), et la comparant ensuite à la seconde , on en déduit
IÙ?1 2 sin vix Çn Qsin>Mfi4t= - 2 sin mx / Q/(p) sin n»^.
L'autre quantité, savoir,
