sin nia: / P cos murfu

peut être mise sous la forme

-Zsmmx C" ¥f((j.)cosmiidiJ.-\-- f P[/(x) — /(/;.)]4'-2sin>H.rcosm^

ou bien , en observant que l'on a

, . sin x

2 sin mx cos mu. = — — -,

' 2(cos;c— cos,*;

sous cette autre forme

2 . P* T. r, \ j i C* Psiuar[ /"(x)— /G«)]^k - 2 sin ma? / ¥ fU) cas mfMiu. / u J J ;

T J n J K~' * J a cosx — cos,«

le dernier terme ne change pas de valeur si l'on remplace la lettre \x par ia lettre a. En nommant P* ce que P devient en vertu de ce changement, il est alors égal à ^

COS X — cos *

C'est une fonction de x qui s'évanouit , à cause du facteur sin x , aux deux limites x =o, x=tt, et que, par conséquent, on peut, entre ces limites, développer en une série de sinus. Effectuant le développement par le procédé ordinaire, nous aurons

tcJ ° cosx — cos* -x2 J o J ° cos^ — cos«

La valeur de la quantité

— — 2 sin mx I P cos mpdp

est donc

zl.siuinx ! *¥ f(u-)cosm<j-du -Ssirwwr/ s'mmudu.1 aSlp^L/ w—j W f.

~ J o J v ' r 5T* •/ o 'Vo COS ^ COS a

et il faut ajouter à cette dernière expression l'expression suivante :

- 2 sin mx f QfÇy) sin mudu. ,

pour composer, d'après ce qu'on a vu, la valeur de f(x) 2Am sin mx. Ayant écrit ainsi sous forme convenable cette valeur et celle de 2Am m sin mx, reportons-les dans l'équation (D'), et cette équation deviendra

2 sin mx I 2 du.(\J cos mu. — V sin mu.) = o , U et V ayant les valeurs suivantes ,

V = f. - Qf(u) + F(u) + i f***™i'lfto-fMy?.

dy. x./ w > « * fji cos« — cos«

Or il est clair que l'équation du problème sera satisfaite si Ton a U = o et V = o. Donc les fonctions P et Q, desquelles dépend la valeur de Amqui satisfait à l'équation (D), sont fournies par les deux équations

rf^ ^J Kr ' ' V ' ' * J » COS |K — COS *

auxquelles il faut joindre les deux conditions particulières

Q = o pour w = o , Q = o pour ft as w,

que précédemment nous avons supposées remplies.

Ces équations s'intègrent évidemment sous forme finie toutes les fois que f{x) est une fonction rationnelle, entière ou fractionnaire, de cos x. Et lorsque cela n'a pas lieu, il est du moins toujours facile d'obtenir les valeurs de P et Q exprimées en séries convergentes par la méthode connue des approximations successives.

Nous appliquerons nos équations à un seul exemple extrêmement simple; et quoique, dans cet exemple, la fonction f(x) ne reste pas constamment positive entre les limites .r = o, x-=.tt , comme l'exige la nature physique du problème, nous les verrons néanmoins se vérifier. Nous poserons f(x) = cosx, F(.r) = sin x -f- sin .rcos.r; les valeurs de P et Q fournies par notre analyse seront P= — i , Q = sin u , ainsi qu'il est aisé de le vérifier par la substitution dans nos équations. Il résulte de là que l'équation

2.Ammsiamx -f- cos x 2.\ms'm r?ix = sin x -f- siuxcosjc doit être satisfaite en posant

Am = - / dy(s\nu sin mu — cosmu).

Or cela arrive en effet, car on déduit de là

2Am sin nix = sin x , 2Am m sin mx = sin x ,

valeurs qui, substituées dans l'égalité qu'on veut vérifier, rendent les deux membres identiquement égaux.