PROBLÈME

Soient m un quelconque des nombres o , i, 2, 5, 4> 5,.. et A^A,,... Am , . . . B, , Ba , . ^ B„„ . . des coefficients constants inconnus : 0/1 propose de déterminer ces coefficients de manière à satisfaire à l'équation

(E) ^m(\^coimx + Y>mûnmjc)+f{x)^{hmcosinx+Y$msmmx) = F(x),

pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x = — tt ,

D'après la nature de la question qui conduit à l'équation (E), la fonction f{x) est toujours positive entre les limites x = — 7r, x=7r. Déplus, les deux fonctions f(x), F(.r), sont assujetties à satisfaire aux conditions /(n) = /(— ir) , F(tt) = F(— tt).

Puisque la fonction F(x) prend la même valeur aux deux limites x— — 7r , ,r=7r , on peut, entre ces limites, la développer en une se'rie de cosinus de la forme

F(x) = 2rt„, / dy. F(y) cos m(x — y) ,

le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs de m comprises dans la

série o, 1, 2, 3,. . . et — désignant l'intégrale définie / cos'mxdx

laquelle est égale à 277 quand m = o et seulement égale à <jt lorsque m est un nombre entier positif quelconque. Cela posé, je fais

dy ( P cos my — Q si n my),

Bm = am I dy (P sin my -f- Q cos mu);

P et Q représentant deux fonctions de y dont je pourrai disposer à volonté par la suite, mais que j'assujettis dès à présent à ne pas changer de valeur lorsqu'on y pose successivement y=-it et v- = — -jt, de telle manière que l'on ait

P. = P T, QT = Q.

En intégrant par parties, et ayant égard à ces conditions, il vient

. am r+* , f . JP dQ\

A„ = — — / dy[ smmu-j- + cos mu. -^ ),

Hm = — / cty[ cos mu. — — sin mu. -i ). m J -- ■ \ • du. ' dfc J

Substituant ces valeurs dans l'expression

1m (A„, cos mx -f- Bm sin mx) ,

on la trouve égale à

2fl„ / dy\ sin m(x — y)-j- — cosm(x — u) -^ 1.

Quant à l'autre quantité

f(x) 2 (Am cos mx -\- Bm sin mx) , il faut y substituer les valeurs primitives de Am, Bm, et elle devient

f(x)1amj dy[F cos m(x— y) -f- Qsin m{x— y)].

7o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Elle se compose donc de deux parties, savoir,

f(x)1amf Vcosm{x — y)du , f x 2<v„, / Qsiuw .<. — a d'j -,

dont je vais successivement m'occuper.

La première peut être mise sous une forme convenable par la transformation que voici. Soit P.,. ce que devient P lorsqu'on y change uenx. Puisque l'on a P,. = P__, f{yr) =/( — 7f), on a aussi P-,/(V = J*—^f — "■)• 11 résulte de là que la fonction Pr est égale à la série

1aaf 'Pcos7«(.r — u)du., et que par suite le produi* de / x) par

cette série est égal à Yxf\x) , c'est-à-dire à

r-f-T Vf u cos m x — u)du..

Relativement à la seconde partie, savoir,

f([x)1nmf Qsin/no? — «)*,

elle est évidemment équivalente à

1aS Qf y)sinm(x—u)du.-j- I Q[/'.^) — f\'J- ]2amsin/« x — f*).

Il est aisé de s'assurer que

,-. • / i sin(x— fi) 2rt, sm m x — u. = — . : ;

ITT I — cos(x — ,«,

on a donc

t q[f(x)-A^am*nm<X-ri==-J T ^ , - ces (.r-^— ' ou, ce qui revient au même,

r+*nr rf s r< xi* • / \ » C +7rQ*[f(x)—. /(«)]«n(x— ,)d«

/. Q[/(x)-/i a)]2«msmm^-rt =-J t Jcos(j---i- ,

Qx désignant ce que devient Q lorsqu'on y change ," en «. Le second membre de l'équation que je viens d'écrire étant considéré comme une fonction de x, on peut constater que cette fonction donne le même résultat quand on y pose x = tT , et quand on y pose x= — 7r. Rien n'empêche par conséquent de la développer en série de cosinus sous la forme

— 2tfm / COS/Hi-T — uW" / ■ L^ — - — -, — 4 — — .

2/T / — ti r ' • V — t I — COS {ft — a)

Qy' (y.)sin m{x-u)du.

et à 2<7m / P/(.u) cos ^(^ — v)dp pour former la valeur complète du ternie f{x) 2(Am cos mx -f- Bm sin mx).

Reportons à présent dans l'équation (E) cette valeur ainsi que celles obtenues tout à l'heure pourF(,r) et pour 2m(Am cos mx-j-Bm sinmx). Le résultat sur lequel nous tomberons sera de la forme

dy- [Ucos m(x — n) -f- V sinm(jr— ,")] = o, U et V ayant les valeurs suivantes, IT ^Q , pffrt F/W j__L f+' Q:«)[/M-/M>in>-g)^

Les équations U = o, V=o, sont donc celles qu'on devra traiter pour obtenir les valeurs de P et Q , en ayant soin toutefois d'y joindre les conditions définies P^.= P T, Q*= Q t-

Si nous supposons que l'on ait, par exemple, f {p) = cos u, F(p) = — sin u(i -f- cos ft) , bien que la valeur attribuée à la fonction f(x) soit étrangère à la question du mouvement de la chaleur dans laquelle le pouvoir rayonnant est nécessairement positif, les équations U = o, V = o, nous conduiront à des résultats exacts. Nous trouverons Q= i , P = — sin w, valeurs faciles à vérifier, et qui donnent Am= o, quel que soit m , puis B, =— i , B2 = o , Bs = o,... Bm=o,.. Ces valeurs de Am, Bm, doivent donc rendre identique l'équation

2»i(Am cos mx -f- Bmsin?nj:) + cos x 2(Am cos mx + Bm sin mx)

= — sin.r(i-f- cosx;, et c'est ce qui arrive en effet.

Les équations U =o, V = o s'intégreront sous forme finie, toutes les fois que la quantité

2!T 1 COS (fi «1

pourra être ramenée à la forme

X = ¥,((*) n,(a + ■¥, ft) [!,(«) -f- . . . + *„ p) n„ a] ,

quelles que soient d'ailleurs les fonctions "p, y. , H/a,,, etc.; car alors, en posant

f4" Q«n,(a)rf«=C, , ^" Q«n, a>/a— Ca fT^U" *)d*=&, ,

elles deviendront

Eu divisant ces équations par /'(y. , puis faisant / f(y.ch = 6,

f(a)dy- = d&, et prenant 6 pour variable indépendante, on n'aura plus à traiter que deux équations linéaires simultanées dans lesquelles les variables et leurs différentielles seront affectées de coefficients constants. L'intégrale complète de ces équations renfermera deux arbitraires que l'on déterminera à l'aide des conditions définies PT = P — T, Qr = Q- : elle renfermera en outre les // constantes C, , Cs , . . . C„ , dont on calculera les valeurs à l'aide des égalités

f+' Qjlt(*)tUi = C,, f 'QjL.aidx = Ca,etc. ,

et ce calcul une fois effectué, ies valeurs de P et Q ne renfermeront plus en général que des quantités connues.

Je dis maintenant queX se ramènera à la forme indiquée toutes les fois que f(x) sera une fonction rationnelle quelconque de sin x, cos x\ c'est-à-dire toutes les fois que l'on aura

f, -r » f*{x)> fsx> désignant des fonctions rationnelles et entières de cos x.

En effet, il viendra , dans cette hypothèse ,

x tin fr-s) f.tof*»)—f,(*)faW +/J^)/i(«)sm,u-/,(,)/3^sin« i— cos>— a)' ax/rfaj/îÇ»)

Mais on 'ït

sin(*c— a) sin n 4- sin a.

i — cosQk — a) cos« COSft

La valeur de X est donc composée de deux parties distinctes que je désignerai par X,, Xa, et dont voici les valeurs