COS« COS^M
e^t égale à
/.te/sM (i-cos» - /,W/aM (i-cos'«).
cos a — cos/*
•on numérateur est donc une fonction entière de cos a, cosf*. Puisque cette fonction s'annule lorsqu'on pose cosa= cosa, elle doit être divisible par cos a. — cos f*, et le quotient ne peut se composer que d un nombre limité de termes de la forme A cosp" cos'a. tl en est de même, par la même raison, de la fraction
cos a. — cos/*
7 j JOURNAL DE MATHEMATIQUES
Donc les valeurs de X,, Xs, et par suite, de X, se réduisent h la forme
donc aussi les valeurs de Am, Bm, peuvent être calculées sous (orme finie de manière à satisfaire à l'équation (E), toutes les fois que j \x) est une fonction rationnelle, entière ou fractionnaire, des deux quantités sin x , cos.r.
La méthode très simple dont nous avons fait usage pour résoudre le problème (A) s'étend d'elle-même , comme on voit , au problème plus compliqué (E). Et cette méthode peut être regardée comme générale pour toutes les questions du genre de celles que nous avons traitées dans ce Mémoire.
NOTE
Sur la chaînette cl égale résistance ; Par G. CORIOLIS.
Nous nous proposons, dans cette note, de donner l'équation assez remarquable delà courbe qu'affecterait une chaîne pesante, parfaitement flexible, dont l'épaisseur varierait d'un point à l'autre proportionnellement à la tension. Il est clair qu'une pareille chaîne n'offrirait pas plus de chance de rupture en un point qu'en un autre
Désignons par p le rapport en lie le poids d'un élément ds et sa longueur, par Tla tension, dont la valeur au point le plus bas C sera T„.
Représentons par x et y des coordonnées horizontale et verticale. On aura pour l'équilibre en un point M
quelconque de la courbe , T ^- = T0 , T — = I pds , l'intégrale commençant au point le plus bas de la courbe où l'on a dj~ = o. Ces deux équations donnent £■ = f ^-, ou bien -^ = {- -L. Par la condition d'égale résistance , on doit avoir T = ap, a étant une constante. Ainsi l'équation delà courbe deviendra j^ = —~ -^-.Remettant pour T sa valeur tirée de la première des équations précédentes , on aura
a ~Û — sf » ou b,en ten Posant li =r ia dJ = ' +J'; don
— == —r—%- En prenant pour origine des x le point le plus bas de la courbe, et en intégrant à partir de ce point pour lequel on aura x=o et j'=o, on trouve - =arc(tang==/), à,oi\j'=~ = iang (-\ Intégrant encore à partir du point le plus bas que l'on prendra pour
origine des y, on obtiendra
loçj f ~| , ou bien é* cos(-) =
Telle est lequation de la chaînette d'égale résistance, rapportée à son point le plus bas pour origine des coordonnées, La valeur de la constante a résultera de la relation T = ap. En l'appliquant au point le plus bas, on a Te=:ape. Ainsi, en concevant une portion de chaîne de 1 épaisseur constante qui existe au point le plus bas, la constante a sera la longueur qu'il faudrait donner à cette portion de chaîne pour que sou poids ap0 fût égal à la tension T0 au point le plus bas, ou ce qui revient au même, à la composante horizontale de la tension aux points d'attache A ou B. La plus grande abscisse de cette courbe répond à y' sj= -. Comme on a y = tang (-) , la limite X de x ou de
la demi-lareeur de la courbe sera X = a - = —--. Cette limite est telle qu'une chaîne ayant cette demi-largeur pourlongueuret la même force qu'au point le plus bas, aurait pour poids - T0; la hauteur correspondante est ^= ce . Donc la courbe, quelle que soit la longueur de la chaîne, n'atteindra jamais la largeur tra , quiestainsi une limite. Si l'on veut avoir l'épaisseur d de la chaîne en fonction de l'abscisse, ou trouve
Ri d» df T0 ; 1 r, T°
p = !° Ts dF> ou ^ = t v ' + y - — 7Z\-
atos w
On peut remarquer qu'en appelant a l'angle que fait la tangente à la courbe avec l'axe desx, on a l'équation aa == x. Par conséquent l'arc de cercle décrit du point C comme centre avec le rayon a , et compris entre l'axe des x et une parallèle CN à la tangente au point M, sera t'gal à l'abscisse de ce point M.
^vv\xvv^^\v\\v\^^^\^\^^\\^v\>\^^v\^v^^^v^v\^vv\\^'VVV^^^^v»\A*'vv^\\^^^^^v"\^X'\\^\\^vvv^\lvv^^v^vv*vv»'vv\
NOTE
Sur l'équilibre des températures dans les corps solides de forme cylindrique ;
Par G. LAMÉ,
Professeur de Physique à l'École Polytechnique.
La théorie analytique de la chaleur paraît avoir peu contribué aux progrès de la physique proprement dite : bornée à la représentation mathématique de l'équilibre et de l'état variable des températures dans l'intérieur des corps solides homogènes, elle laisse complètement endehors de ses formules la plupart des phénomènes calorifiques, ceux surtout dans lesquels la chaleur semble se produire et disparaître , et qu'il importe principalement d'étudier pour découvrir la cause primitive de cette classe d'effets physiques. Cependant, toute restreinte qu'elle soit, cette théorie est d'une grande importance.
Quand les lois physiques, déduites de l'expérience et de l'observation, auront acquis toute l'exactitude et toute la généralité qu'elles doivent comporter, il sera possible aux géomètres de représenter analytiquement chaque classe de phénomènes, par une ou plusieurs formules différentielles. Mais ces formules devront être intégrées, et il faudra déterminer les constantes ou les fonctions arbitraires introduites par l'intégration , de manière à satisfaire aux conditions particulières de chaque problème, avant de pouvoir obtenir des résultats numé-
riques vérifiables par l'expérience, et par suite des formules intégrales immédiatement applicables à la pratique.
Avant que ce but puisse être atteint, la physique expérimentale et l'analyse mathématique ont de nouveaux progrès à faire. Les recherches des physiciens et celles des géomètres convergent actuellement vers ce travail général; de part et d'autre se perfectionnent les instruments et les procédés dont il faudra faire usage pour le terminer.
Or la théorie analytique de la chaleur aura été éminemment utile à ces études préliminaires, eu présentant un des exemples les plus parfaits et les plus simples de l'application du calcul à un certain ensemble de faits. Ses formules différentielles sont très peu compliquées, et les questions qu'elle se propose passent par toutes les phases du problème général qui vient d'être énoncé comme constituant à lui seul presque toute la physique mathématique.
Il s'agit toujours de représenter numériquement un phénomène physique pour des corps de forme particulière et dansdes circonstances connues, c'est-à-dire d'intégrer certaines équations aux différences partielles, de telle sorte que les fonctions arbitraires provenant des intégrations satisfassent à des conditions données. Tout porte h croire que l'on ne parviendra à résoudre généralement des questions de cette nature, qu'après avoir obtenu un grand nombre de solutions complètes de questions particulières du même ordre ; et c'est là ce qui donne une valeur pratique aux recherches ayant pour objet de représenter analytiquement l'équilibre et le mouvement de la chaleur dans l'intérieur d'un corps solide homogène de forme définie.
Les géomètres ont complètement traité sous ce point de vue la sphère, le cylindre droit à base circulaire, le parallélépipède rectangle, le prisme triangulaire régulier : on sait maintenant exprimer la loi des températures dansdes corps terminés par des surfaces du second degré. Le nombre de ces solutions est sans doute très limité; mais leur comparaison indique irrévocablement la marche uniforme que Ton doit suivre pour exprimer l'état calorifique de tout autre corps solide: la difliculté"principale consiste à découvrir le système unique de coordonnées qui convient à la forme de ce solide et à la question physique proposée.
C'est cette difficulté que j'ai essayé de lever dans un Mémoire sur les surfaces isothermes (imprimé parmi les Mémoires de F Académie des Sciences , tome Y des Savants étrangers), où j'ai considéré spécialement le système de coordonnées dont on doit faire usage pour découvrir les lois de l'équilibre et du mouvement de la chaleur, dans l'intérieur des corps et des enveloppes solides, limitées par des surfaces du second degré exposées à des foyers constants. J'ai repris la même question sous un point de vue plus général , dans un Mémoire sur les surfaces orthogonales conjuguées, qui fait partie d'un travail relatif aux lois de l'équilibre de lether (inséré dans le Journal de l'École polytechnique, XXIIIe Cahier).
J'ai prouvé dans ce dernier Mémoire qu'il existe une infinité de corps et d'enveloppes cylindriques , où la loi des températures peut être exprimée avec la même facilité que dans le cylindre de la géométrie élémentaire. Je me propose de donner, dans cette note, quelques nouveaux détails sur ces nouvelles formes; leur nombre infini laisse entrevoir la possibilité de représenter algébriquement l'état calorifique d'un corps limité par des surfaces cylindriques quelconques, et d'arriver ainsi à la connaissance complète du phénomène de la communication de la chaleur à travers les milieux solides, lorsqu'elle se propage dans deux dimensions seulement. Il y a lieu de croire qu'il existe pour les trois dimensions des formules tout aussi générales, et que l'analyse mathématique parviendra un jour à exprimer en nombres le fait physique dout il s'agit pour un corps de forme quelconque. Cela sera sans contredit un progrès important, car on en déduira la marche à suivre pour obtenir des solutions aussi complètes dans des phénomènes plus compliqués et pouvant donner lieu à des applications immédiates, tels que ceux de l'élasticité et de l'équilibre intérieur des corps solides.
Considérons un tube solide indéfini, dont les parois cylindriques extérieure et intérieure soient en contact avec deux foyers ayant des températures constantes, mais différentes de l'une à l'autre paroi. Lorsque l'équilibre de chaleur est établi dans ce genre d'enveloppe, les surfaces isothermes ou d'égale température sont toutes cylindriques. Si par un point d'une de ces surfaces on imagine trois éléments plans
8o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
orthogonaux, desquels le premier lui soit tangent, et les deux autres normaux, l'un suivant l'arête correspondante, et le derniçr perpendiculairement à cette même arête, il n'y aura évidemment perte ou flux de chaleur qu'à travers le premier élément; en sorte que la chaleur se dissipera à travers l'enveloppe vers le foyer le plus froid , en suivant des courbes normales à toutes les surfaces isothermes, et que l'on peut appeler par cette raison filets de chaleur. Tous ces filets peuvent être considérés comme répartis sur des surfaces cylindriques, coupant normalement les cylindres isothermes suivant leurs arêtes.
Ces deux systèmes de cylindres sont conjugués, en ce sens qu'ils pourraient changer de rôle; c'est-à-dire que dans un nouveau tube solide ayant pour parois entretenues à deux températures constantes, deux des cylindres formés par les filets du premier tube, le flux de chaleur s'opérerait suivant les sections transversales des premières surfaces isothermes. Mais il importe surtout de remarquer que pour exprimer généralement l'état calorifique d'un des tubes précédents, lorsque les foyers, toujours constants, varient cependant d'intensité d'une arête à l'autre des parois , il faut prendre pour surfaces coordonnées les deux systèmes de cylindres conjugués qui viennent d'être définis, et les plans perpendiculaires à leurs arêtes; c'est-àdire que les paramètres de ces trois genres de surfaces sont les coordonnées propres à la question physique, dans le cas dont il s'agit.
Pour que les cylindres conjugués puisseut conduire à cette solution générale, il faut avant tout que leurs paramètres, considérés comme des fonctions de x, y, z, satisfassent à trois équations aux différences partielles exprimant que ces surfaces sont isothermes et orthogonales. Si l'axe des z est parallèle aux arêtes, les paramètres ê et g, des deux systèmes de cylindres seront donnés par des équations de la forme i= f{pc,y), el=f,(cc,r), et les trois relations différentielles dont nous parlons pourront toujours être ramenées aux suivantes :
, v cTt . d*i <f3£, ^^ d*it dt di, .^ di dt,
' ' </ra I dj~* ~~ ' dx' dy* ' dx dx dj dj ~
J'ai démontré dans le Mémoire cité [Journal de l'École Poljtech-
PURES ET APPLIQUEES.
nique, XXIIIe Cahier) que les paramètres différentiels du premier ordre
m « = vU)*+(!)"- - = v/(Ê)'+0-
des fonctions e, g,, satisfaisant aux équations (i), sont toujours égaux à la même fonction 4(,r> l) > multipliée par deux constantes a. a, , en sorte que l'on peut poser
Cela posé, considérons l'équation
d'V , rfaV
qui appartient à l'équilibre de chaleur d'un corps solide indéfini de forme cylindrique, dont les parois sont entretenues à des températures constantes, les mêmes sur chaque arête, mais différentes en général d'un arête à l'autre. La fonction V, qui exprime la température variable, étant rapportée aux coordonnées e, et , l'équation précédente
dV d'Y
devient [en ayant égard aux équations (i), (2), (5)] a1 a -| a,'-— ==0;
ou bien (en posant iz=a^,él=a,^>) -^7- + -7^ = 0. C'est cette dernière équation qu'il faut intégrer, de telle manière que V se réduise à des fonctions données de £ ou £,, pour des valeurs particulières de £, ou de 0.
Or ce problème analytique est aujourd'hui résolu de la manière la plus complète; la loi des températures du corps cylindrique proposé s'obtiendra donc aussi facilement que dans le cas du prisme rectangulaire, et par les mêmes formules. Ainsi l'on saura exprimer algébriquement l'état calorifique d'un tube ou d'une enveloppe ayant pour parois deux cylindres s ou e, , et même celui d'un corps prismatique dont les quatre faces latérales courbes seront deux cylindres î et deux cylindres e, , pourvu que les foyers constants possèdent la même température sur chaque arête d'une paroi.
Ces problèmes de physique mathématique ne présentent donc plus d'autre difficulté que celle de la recherche des fonctions g et e, qui
puissent vérifier les équations (i). Parmi les surfaces cylindriques qui remplissent ces conditions, nous considérerons d'abord celles comprises dans le groupe suivant
€ = 2A log \/{x — a.)x -f- {y — £)» 1 ■, = 2A arc (tang =£=?),
a. et è étant les coordonnées d'une ligne fixe parallèle aux z, A un coefficient constant; e et e, étant composés d'autant de termes semblables que l'on voudra, qui différeront par les constantes et, £, A. Ces équations donnent
dt dt, . x — et
dx dj (ar—.jo+^—C)»»
d± dtj __ . y — g
rfr rfa: (x*)>+(jr— ê)''
d'où il est facile de conclure que les relations différentielles (i) sont satisfaites.
Pour simplifier, on peut ne considérer que l'état calorifique des différents points d'une section plane, normale aux arêtes du corps cylindrique, puisque dans le cas actuel tout reste identique d'une section à l'autre. Sous ce point de vue, £ et g, (5) seront les paramètres de deux systèmes de courbes isothermes, conjuguées et orthogonales.
Le cas le plus simple, compris dans les formules générales (5), est celui où les seconds membres ne contiendraient qu'un terme. On peut alors supposer a= o , € = o, et prendre
[« =iog^±r,
|é, ss arc(tang =J-),
d'où x* -f- y1 = cse3£, y = x tang ï, , et enfin
y = ce'sins,, x = eccose,.
C'est le cas d'un tube ou d'une enveloppe solide dont les parois sont des cylindres à bases circulaires concentriques; les cylindres formés
par les filets de chaleur sont alors des plans méridiens. On est ainsi conduit aux coordonnées semi-polaires employées' depuis longtemps pour exprimer l'état calorifique de cette forme de corps.
Toutefois, au lieu du rayon r que l'on adopte ordinairement, il est préférable de prendre pour paramètre des surfaces cylindriques
é = log-, ou le logarithme de son rapport à une ligne constante c.
De cette manière les formules différentielles et intégrales, pour la forme considérée, deviennent identiquement les mêmes que celles qui correspondent au cas du prisme indéfini à base rectangle; il suffira d'y remplacer les coordonnées x,j, pars, e, (6).
Outre le tube cylindrique à bases circulaires concentriques, ce genre de coordonnées (6) embrasse aussi le cas d'un solide compris entre deux plans méridiens formant entre eux un angle quelconque; et plus généralement celui d'un voussoir, indéfini dans le sens des arêtes, dont l'intrados, l'extrados et les faces de joint seraient entretenus à des températures constantes, variant d'ailleurs d'une manière quelconque d'une arête à l'autre de ces surfaces; les lois de l'équilibre de chaleur peuvent être facilement exprimées par des formules analytiques dans ces diverses circonstances.
Les formules (5), en attribuant à leurs seconds à deux termes seulement, comprennent un grand nombre de systèmes différents de courbes orthogonales. Le plus simple est celui pour lequel le coefficient A a la même valeur, mais un signe différent d'un terme à l'autre. Si l'on prend pour origine des coordonnées x, y, lemilieu de la droite qui joint les points fixes (a,£), («',£'), et si la grandeur de cette droite est représentée par 2c, on pourra poser dans le cas dont il s'agit
U = loe i/£±±±£
|e, = arc (tang = ^) — arc (tang = -£-) , ou bien, en développant
V tang £,/ sin"«,
Les courbes s sont des cercles; sur chacune d'elles les rayons vecteurs aux deux points fixes sont dans un rapport constant. Les courbes f, sont encore des cercles, et représentent des segments capables construits sur la ligne ic. 11 est curieux que les deux seuls lieux géométriques offerts par la géométrie élémentaire se trouvent ici réunis, de manière à jouer un rôle également important dans un même problème de physique mathématique.
Les cercles « ne peuvent se couper, ils sont tous excentriques, et le lieu de leurs centres est la droite qui passe par les deux points fixes; les cercles e, se coupent tous au contraire en ces deux points. Dans ce système, deux cercles s ou e, étant tracés, on peut construire, par des procédés géométriques trop simples pour que nous devions nous y arrêter, tout autre cercle s ou f, dont le paramètre sera connu. I! sera facile , d'après cela , de représenter analytiquement et même géométriquement l'état calorifique de plusieurs corps solides.
Considérons, par exemple, une enveloppe solide dont les surfaces extérieure et intérieure soient des cylindres à bases circulaires, mais excentriques, c'est-à-dire considérons un tube indéfini qui n'ait pas la même épaisseur sur tout son contour. Si les parois sont entretenues à deux températures différentes, les surfaces isothermes sont toutes des cylindres à bases circulaires, parallèles mais excentriques à ces parois; les filets de chaleur sont des cercles, et il est facile de trouver le cylindre correspondant à une température donnée.
Considéi'ons encore une masse solide indéfinie, traversée par deux puits cylindriques dont les axes parallèles se trouvent à une distance plus grande que la somme de leurs rayons. Si ces puits sont des foyers constants, la loi des températures de la masse solide est facile à définir; les surfaces isothermes sont toutes des cylindres circulaires excentriques, la chaleur se dissipe d'un puits à l'autre en suivant des filets circulaires. Ces cylindres et ces filets peuvent être déterminés par des constructions géométriques très simples.
Si les parois du tube ou des puits précédents sont entretenues à des températures constantes, mais variables dune arête à l'autre, l'état calorifique de l'enveloppe ou de la masse solide est plus compliqué; mais il peut s'exprimer analytiquement par les formules du prisme rectangulaire, qui résolvent aussi le cas d'un corps prismatique dont
les quatre faces latérales courbes feraient partie de deux cylindres e et de deux cylindres £, compris dans les formules (7).
En exprimant les arcs des cercles orthogonaux conjugués (7) en fonction des deux paramètres é et e, , on parvient à trouver directement, par de simples considérations géométriques, les valeurs d'une certaine classe d'intégrales définies très connues des géomètres. Ce genre de démonstration est curieux en ce qu'il permet de suivre, pour ainsi dire à l'œil, les variations de ces intégrales; mais pour ne pas trop m 'éloigner du but que je me suis proposé, je m'abstiendrai d'entrer dans ces détails.
Les formules (5), dans le cas de deux points fixes seulement, comprennent encore le cas où le coefficient A a la même valeur et le même signe pour les deux termes. En adoptant la même notation que dans le cas précédent, on peut alors poser
|- -- loç >/(^-^'+J:V(^),+j-
(,, = arc(tang = ^) + arc (tang = ^),
a étant une ligne constante. Ces équations donnent
(xa + y* -h c*)> — 4c>x* = a*é";
ra — x' -f- ■ xr -+- c% = o.
•* tang e, •/
Chaque courbe g est telle que le produit des rayons vecteurs aux points fixes est constant; chaque courbe ?, estime hyperbole. Toutes les hyperboles ê, coupent normalement les lieux géométriques du quatrième ordre au paramètre s.
Ces exemples suffisent pour faire concevoir la grande variété de corps cylindriques compris dans les équations (5) , et dont l'état calorifique peut être exprimé par les séries intégrales trouvées pour le prisme rectangulaire indéfini. 11 existe cependant des formules encore plus générales. Si l'on développe une fonction imaginaire de la forme F(x-\-y \/ — 1) , de manière à séparer la partie réelle P de la partie imaginaire Q V — 1 , P elQ étant deux fonctions réelles de x et de f,
Mars i836. 12
on aura F(x + y \/—\) = P-f-Q S/^-it et l'identité j- =— V^m, donnant
dP , dq r— dQ dP ,
<fr ^ dy v ' «*r ' dx
on en conclut que
dV dQ <!Q.
dx "~~ dy* dy ~ dx''
d'où il est aisé de voir qu'en posant £ = P, e, = Q, les équations différentielles (i) seront satisfaites.
Ainsi une fonction quelconque F \x-\-y V — i) fournit un système de surfaces cylindriques orthogonales et conjuguées. Considérons, par exemple, la fonction Çx-\-y\/ — i)m, qui devient (en posant...
\'x*-{-y* = r, - = tang <p) (cos /ntp-f- \/ — i sin m^r"1; on pourra prendre en coordonnées semi-polaires
= r" cos mtp , r" sin m<p;
quel que soit d'ailleurs l'exposant m.
Si l'on a 7?z== -, a étant l'angle formé par deux plans méridiens, le
paramètres, est nul pour les deux plans <p = o, $s=a, qui dans leur ensemble constituent une des surfaces isothermes ;, , celle où la température serait zéroj les autres surfaces isothermes s, sont des cylindres asymptotiques à ces plans, ayant pour bases des courbes à branches indéfinies comme l'hyperbole; les filets de chaleur composent des cylindres de même forme, aux paramètres s = r"1 cos m<p.
Lorsque ct = -, les courbes isothermes et les filets de chaleur deviennent des hyperboles équilatères. Ainsi l'on peut exprimer la loi des températures dans un solide indéfini, terminé d'un côté par deux plans formant un angle droit, et de l'autre par un cylindre hyperbolique, asymptotique à ces plans, lorsque les parois planes et la paroi
courbe sont soumises à des foyers variables d'une arête à l'autre de ces parois.
Plus généralement , toute fonction F(«) développable suivant les puissances de la variable a, donnant F(a) = 2Aam, on a
F(x -\-j \J — i) = SAr" (cos m<p -f- \/ — i sin m<p) ,
et l'on en déduit les formules
( £ = 2A/m cos m<p , (10) ( e, = 2Arm sin m<p,
pour représenter les paramètres d'une infinité de surfaces cylindriques, orthogonales et conjuguées. On pourra donc calculer numériquement les températures d'un corps terminé par des surfaces cylindriques appartenant à chacun de ces systèmes. Ce seront toujours les séries intégrales du prisme rectangulaire indéfini qu'il faudra employer pour cela, en donnant des valeurs convenables aux variables qu'elles comprennent.
Il m'a paru important, pour la physique mathématique, de signaler la généralisation que comporte la solution d'un des problèmes qui constituent la théorie analytique de la chaleur. On parviendra sans doute à trouver des solutions tout aussi générales pour les cas plus compliqués de cette théorie.
88 JOURlNAL DE MATHÉMATIQUES
NOTE
Sur une Méthode d'élimination pour certaines classes d'équations différentielles linéaires;
Pak a.-m. favre-rollev.
Soient deux équations de la forme
dans lesquelles V et V, sont des fonctions quelconques de la variable indépendante t et d'une ou plusieurs autres variables, ainsi que
de leurs coefficients différentiels. Si les coefficients M, N, P,
M, , N,, P,, sont constants, il suffira, pour éliminer j et ses
différentielles, d'écrire à la place de y, V, dans le premier membre de l'équation (i), et V dans le premier membre de l'équation (2), et d'égaler les résultats , en sorte que l'équation finale sera
M "^r+N-j^r-r- P-r^ + etc. =M, -r— +N.-T— +P,-r; — h etc.
En effet, si l'on différentie séparément m, fois, n, fois, p, fois, etc.,
1 équation (1), il viendra
(a) M- ^i N- ^i P \L -4- etc. =
(°; iV1^F^ + w A»*». + r Jtf+". ^ e c' "~ de*. '
(C) u^^. -4-N^^-f-P^^ + etc= —
etc.
Je multiplie l'équation (a) par M, , l'équation (b) par N, , l'équation (c) par P,, etc., et j'ajoute ensuite membre à membre toutes ces équations : en écrivant les uns à la suite des autres tous les termes contenus dans la même colonne verticale et observant que la somme des termes de chacune de ces colonnes peut se mettre sous la forme
M^fM^J-N^ + P ^ 4- etc S mdr\m'dr. ' L>' df. ^ ri dtp. + etc< )>
a de> \m< de*. + L' df. + r' dtp. + etc* )> fdP / d^, d^j p d^y \
r dJp Vl'^r. + n« dt?. + r' d«?. >
p»tr»
ou bien
etc.,
^v, ^y, rfPV,
on aura donc
™ dr^iyHF^^~dF^etc'—iyi'dr. +iN' a». ^r' rfio. -reic-> comme on l'avait annoncé.
Si les deux équations proposées sont linéaires en x et y, et ne contiennent que ces deux variables et la variable indépendante t, on pourra former à volonté par le mojen précédent l'équation finale en y ou en x} et, chose remarquable, ces deux équations finales diffère-
9o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
ront seulement par le terme fonction de t qui ne contiendra que cette dernière variable. On peut vérifier cette proposition sur l'exemple suivant, et il serait facile de la démontrer en général. Soient les deux équations
l\f ^ 4- N ^ — T —V— — 0 — m dr + " di* ~ x r dp ^ de •
M^-4-N ^ = T P^£0 — "■ de", ^ "" df. — x* r> dtr. ^' d»
Eu éliminant successivement x eï j, on peut remplacer ces équations par les suivantes
K.+kÏ.Ht-^-^)
fp * + Q * } ("T,-»!, pI-N,^f)
«rp^+i'élifT-MS -n *g\:
\ V/f. Xl dej\ dtm dln)
Celles-ci développées donnent
PM- "3=7 + QM< 177^7 + PN- -dP^ + ^N- Â^r - (?*, ■&*; + MQ- Â=*?7 + NP> -5^7 + NQ. -^-J </r. ' ' dt't \ dtm ^ af J' ( PM, £| + QM, ^ + PN,^f + QN, £? (B) -(MPt^+MQ.^+NP,^: 4-NQ. £*) f= P ^ + 0 — ' - (P ^ll 4-0 **Y
égalités qui ne diffèrent que par les termes fonctions de t seulement, et pour lesquelles par conséquent, dans le cas des équations différentielles à indices entiers et positifs , sera applicable la même formule
PURES ET APPLIQUÉES. 9i
générale d'intégration, en sorte que les valeurs de x et de y seront de la forme
x = C, e"1' + C. $** + C3 f* + etc., j = C, e"'1 + Ç'i e"'' 4- C3 e"J' + etc. ;
C,, Ca, etc., élant des fonctions de t que l'on saura déterminer par les méthodes connues, dans chaque cas particulier, et les quantités",, fta, fx3 , etc. , étant déterminées par l'équation commune
PM,/*^1"' 4- QM,^"*' 4- etc. = o.
tir.
Si l'on a m équations entre m-^-i variables, à coefficients constants pour toutes ces variables moins une qui sera la variable indépendante, il suffira, pour éliminer l'une d'elles, d'ordonner le premier membre de chaque équation par rapport à ses coefficients différentiels après avoir fait passer tous les autres termes dans le second membre. On comparera ensuite l'une quelconque de ces équations avec les m — i autres. On formera ainsi m — i couples d'équations entre lesquelles on éliminera la variable en question , comme il a été dit ci-dessus , et l'on n'aura plus que m — i équations entre m variables. En continuant de la même manière, on arrivera à une équation entre deux variables seulement. On conçoit qu'il sera dès lors facile, par ce procédé, de remplacer les m équations proposées par m autres équations dans chacune desquelles entreront seulement la variable indépendante et l'une des autres variables qu'il s'agit de déterminer.
D'après ce qui précède on peut conclure à priori l'ordre de 1 équation finale. Si, par exemple, on a m équations du premier ordre, le procédé indiqué conduira à m — i équations du second ordre, et de là à m — 2 équations du troisième ordre, et enfin à m — (m — i), ou une équation du mUme ordre; et en général si m, n, p, etc., sont les plus forts indices de différentiation pour chaque variable,
wi+w-f-^-f-etc. , sera le nombre indiquant l'ordre de chaque équation finale.
Tout ce qui a été établi ci-dessus l'ayant été indépendamment de toute valeur particulière attribuée aux indices m, n, p, q, etc., sera dès lors vrai, quels qu'ils soient, et conviendra par conséquent au cas des équations différentielles à indices quelconques. Ou n'aurait pu arriver à ce résultat parles méthodes ordinaires, qui reposent sur la différeutiation sous forme finie d'un produit tel que ôx de deux variables, ce qu'on ne peut supposer pour des différentielles à iudices quelconques. Cette méthode a aussi l'avantage de dispenser du recours à des variables auxiliaires, et n'exige que des opérations fort simples d'addition et de soustraction. Enfin elle pourrait s'appliquer également bien aux équations linéaires à coefficients constants dans le calcul aux différences finies.
PURES ET APPLIQUÉES. g3
MÉMOIRE
Sur les rapports et les restes des quantités incommens ura Mes ;
Par E. LÉGER,
Aucieu élevé de l'École Polytechnique, chef d'institution à Montmorency.
i. Étant données deux quantités quelconques homogènes, deux lignes droites par exemple, on sait que pour trouver leur plus grande commune mesure, il faut d'abord porter la plus petite de ces quantité» dans la plus grande, ce qui donne un quotient entier et un reste; puis ce reste dans la plus petite, ce qui donne encore un quotient et un deuxième reste; puis ce deuxième reste dans le premier, et ainsi de suite. Si l'on parvient à un reste nul , les deux quantités sont commensurables entre elles, et le dernier reste est leur plus grande commune mesure. Mais il peut arriver que l'on ne tomb^ jamais sur un reste nul, quelque loin que l'on continue l'opération; alors les deux quantités sont dites incommensurables entre elles.
2. Cela posé, soient a et b les deux quantités dont il s'agit, q, q,, qit etc., les quotients successifs, r, r,, ra, etc., les restes correspondants; on aura
a = bq + r ,
b — rqt -h r,, (i) { r — r*1> ■+■ r*>
r, = rtq3 + r,,
etc.;
on en déduit
r, etc ;
d'où Â = 9
