ST

?3 + etc.

Si les quantités « et £ sont commensurables entre elles, cette fraction continue sera limitée. Dans le cas contraire elle sera indéfinie. Le rapport numérique entre a et b sera exprimé dans le premier cas parla réduite finale correspondante au dernier quotient; dans le deuxième cas , il ne sera pas exprimable exactement , mais les réduites successives de la fraction continue en donneront des valeurs indéfiniment approchées

5. Si deux autres quantités a' et b' homogènes, conduisent aux

mêmes quotients q, qx, ça, que les quantités a et b , le nombre

de ces quotients étant d'ailleurs fini ou infini , le rapport numérique de a' et b' sera égal au rapport numérique de a et b, et l'on aura la proportion a '. b '.'. a' .' b' .

C'est en s'appuyant sur ce principe dû, je crois, à Arbogast, que M. Vincent établit fort simplement plusieurs propriétés fondamentales de la géométrie : i°. la proportionnalité des angles aux arcs décrits de leurs sommets comme centre avec un même rayon; i°. la proportionnalité des rectangles à leurs bases , quand les hauteurs sont égales , etc., propositions qui exigeaient un tour particulier de raisonnement pour passer du commensurable à l'incommensurable, et qui n'étaient pas à l'abri d'objections fondées, comme l'ont judicieusement observé MM. Lefébure de Fourcy et Vincent.

4- Mais notre but n'est pas d'insister sur l'avantage de ce nouveau mode d'établir la proportionnalité entre les quantités géométriques, parce que nous le croyons généralement apprécié aujourd'hui. Nous avons dessein de fixer ici l'attention sur une belle propriété de la série des restes r, r, , t\, etc. , et d'abord nous établirons ce théorème fondamental.

La somme des restes r , r, , r„ , etc. , indéfiniment décroissants qu'on obtient en soumettant deux quantités homogènes incommensurables a et b à l'opération de la recherche de la plus grande commune mesure admet toujours une limite finie.

En effet, ajoutant la suite indéfinie des égalités (1) , il vient

a + b = bq -f- rq, + r,q> + i\q3 + etc. , ou

(2] a — b(q—i) = rq, -f- iyf, + i\q3 + etc.

Or, q,, qt, q3, etc. , ne sont jamais < 1 , donc la somme r ■+■ rt-$-ra -f-rs-r- etc. , n'est jamais > rq, + r,qa-\~ etc., ou >« — b(q — 1); donc, etc.

4. Maintenant on sait ( Théorie des nombres de Legendre, 1" partie, § V) que les racines quarrées des nombres non quarrés s'expriment par des fractions continues périodiques que l'on détermine facilement dans chaque cas particulier par une méthode connue. Cette propriété va nous servir à trouver la limite de la somme des restes r, r, , i\ , r3 , etc., quand le rapport des quantités a et b est exprimé par s/ ni : \ ; /«étant un nombre entier quelconque.

Soit d'abord m=2, et faisons a= Vi, b= 1 , on aura