f- etc

Donc ici q=. 1 , q, = q, = q3 = etc. = 2.

Donc l'égalité (2) donne

I/2 = 2 (r -+- r, + /-, + r3 + etc.);

d'où / -(- r, -f- 7\ + r3 -{- etc. = - y/ 1.

De là ce théorème élégant :

Dans la recherche de la plus grande commune mesure entre la diagonale et le côté du quarré, la limite de la somme des restes est égale à la demi-diagonale du quarré.

5. Qu'il me soit permis de m'arrèter un instant sur ce premier cas , à cause de sa célébrité, et parce qu'il m'a conduit aux présentes recherches. Je crois d'abord que l'incommensurabilité de la diagonale et du côté peut être prouvée avec plus de rigueur qu'on ne le fait d'ordinaire.

Soit d la diagonale et c le côté; il est clair que ci est > c, mais <C 2C, donc en divisant d par c, le quotient sera i , et si l'on nomme 1 e reste , on aura

Ensuite si l'on porte r dans c, on verra aisément encore que /• y est contenu deux fois avec un reste r, ; mais, pour ne î-ien supposer gratuitement, désignons par </, le quotient et par /•, le reste. En portant de même r, dans r, soit qt le quotient et r% le reste, et ainsi de suite : on aura

Il s'agit de prouver rigoureusement qu'aucun des restes /', , i\, r3, etc., n'est nul, eusorte que le nombre des égalités précédentes est indéfini. A cet effet, supposous que d'une extrémité de la diagonale ou décrive un cercle avec un rayon égal au côté, et que l'on prolonge la diagouale jusqu'à ce qu'elle rencontre de nouveau le cercle, le côté c du quarré sera moyen proportionnel entre la sécante entière 2c-f-/- et la partie extérieure r; donc on aura

ic -(- r c

rq.

rtq,

r,<Ji

etç

ou - = a + - ;

mais des égalités (3) , on tire

donc q, -f- ^ = 2 ■+• -.

Or, quand un entier plus une fraction < 1 est égal à uu entier plus une fraction < 1 , l'entier doit être égal à l'entier et la fraction à la fraction; donc on doit avoir

Donc r, n'est pas nul.

Ensuite, en renversant les fractions, on a

mais les égalités (3) donnent

donc on a encore

et par conséquent

2 et — =

Et l'on voit que i\ n'est pas nul . En continuant ainsi , on prouvera que les quotients q,, q%, q3, etc., sont égaux à 2, et qu'aucun des restes r, r, , r., r3, etc., ne peut être ntd. Donc la diagonale est incommensurable avec le côté.

Il est clair aussi que les restes /■, /', , /y, r3, etc. , forment une progression géométrique décroissante indéfinie, dont la limite est, comme on sait, égale au premier terme divisé par l'unité moins la raison;

done la limite de la somme des restes est

or l'inspection de la figure prouve que l'on a

donc la limite est la demi-diagonale; ce qui s'accorde avec oe que l'on a vu.

Supposons maintenant a = y/3 , b = i , on a

I + etc. ,

donc ici q =r i , qt = ï , ^— 2, qs= 1 , etc. ,

et a = b + r ,

b = r + '•„ r = 2r, + ra,

r. = ^ + ''3, ra = 2r3 -f- r4, etc.

Multipliant par 2 les 2% 4% 6% etc., de ces égalités, et ajoutant, on a

a -f- b = 2 (/• + r, -+- i\ -f r3 + etc.):

donc r -j- r, -f- r, -f- etc. = \ { V?> -f- 1).