AVERTISSEMENT

Toutes les personnes qui ont une teinture même légère des Mathématiques connaissent le succès mérité qu'ont obtenules Annales fondées en 1810 par M. Gergonne, et continuées par lui pendant vingt ans avec un zèle qu'on ne peut trop louer, et un talent qui a triomphé des plus grands obstacles. Mais depuis i83x ce recueil a cessé de paraître; les fonctions de recteur d'Académie ont malheureusement absorbé tout le temps de son illustre rédacteur , et ont enlevé aux sciences un homme qui leur a rendu et qui pouvait leur rendre encore d'éminents services.

M. Gergonne ayant bien voulu nous dire lui-même qu'il verrait avec plaisir un nouveau journal succéder au sien , nous croyons avoir le droit de nous annoncer aujourd'hui comme ses continuateurs.

Notre Journal sera mensuel comme celui de M. Gergonne. Le premier cahier paraîtra en janvier i836, et les suivants de mois en mois, avec toute l'exactitude désirable. Ces cahiers

Janvier i836. 1

seront de grandeur inégale, et varieront de 3a à 4o pages in-4°, suivant la nature des mémoires qu'ils renfermeront. Leur ensemble formera chaque année un fort volume contenant toutes les planches nécessaires pour l'intelligence du texte.

Les articles que nous admettrons dans notre recueil embrasseront l'ensemble des Mathématiques pures et appliquées. On y traitera indifféremment et les questions les plus nouvelles soulevées par les géomètres, et les plus minutieux détails de l'enseignement mathématique des collèges. Toutefois, quand il s'agira d'articles élémentaires , nous tâcherons d'éviter les répétitions fastidieuses d'objets trop connus ; car s'il est bon de revenir de temps à autre sur les élémens des sciences, il faut que ce soit pour les perfectionner, et non pour y changer çà et là quelques mots et quelques phrases ; ce qui par malheur est arrivé trop souvent.

Il existe un grand nombre de lettres inédites écrites par Huygens et Leibnitz sur diverses questions scientifiques. Nous avons accepté avec empressement l'offre bienveillante que M. Libri nous a faite de nous les communiquer, et nous les insérerons dans notre Journal ; ce sera le placer , pour ainsi dire, sous le haut patronage de ces génies du 17e siècle, qui ont si puissamment contribué aux progrès des Mathématiques , et dans les œuvres desquels aujourd'hui même on trouve encore le germe de plus d'une théorie neuve et profonde.

Nous nous bornerons, en général, à publier les mémoires qui nous seront adressés , et nous rendrons rarement compte de ceux qui pourront être insérés dans d'autres recueils. Néanmoins, si l'analyse d'un ouvrage nouveau nous paraît pouvoir donner lieu à des observations utiles, nous la publierons sans scrupule , mettant alors dans nos critiques

non-seulement de l'impartialité, mais encore de la bienveillance, et cherchant à faire ressortir le bien plutôt qu'à censurer le mal.

Depuis quelques années un singulier esprit de dénigrement s'est emparé de quelques critiques, et nous avons vu tour à tour accabler d'injures les hommes qui dans les divers genres de sciences ont le plus dignement soutenu l'honneur de la France. Ici notre profession de foi sera nette et positive : ce style tranchant et absolu , si fort à la mode à présent , ne sera jamais le nôtre, car il déshonore à la fois le caractère et le talent de ceux qui l'adoptent.

i< Toutes ces critiques , dit un auteur célèbre , sont le par- » tage de quatre ou cinq petits auteurs infortunés qui n'ont » jamais pu par eux-mêmes exciter la curiosité du public. » Ils attendent toujours l'occasion de quelque ouvrage qui » réussisse pour l'attaquer, non point par jalousie; car sur » quel fondement seraient-ils jaloux? mais dans l'espérance » qu'on se donnera la peine de leur répondre, et qu'on » les tirera de l'oubli où leurs propres ouvrages les auraient ji laissés toute leur vie. »

L'éditeur mettra tous ses soins à rendre son Journal digne de l'attention des savants. On conçoit néanmoins qu'il ne pourra , dans certains cas , ni refuser tel article qui lui semblera mauvais à lui-même , ni surtout corriger dans un bon mémoire telle ou telle phrase qu'il désapprouvera. Les esprits justes sentiront que l'éditeur doit être jugé sur l'ensemble et non sur les détails du recueil qu'il dirige , et que la responsabilité des mauvais articles qui pourront s'y glisser reste tout entière à leurs auteurs. Et si par hasard une polémique vient à s'engager entre deux géomètres , on comprend aussi qu'il ne lui appartiendra pas de s'interposer

dans la querelle; il devra se borner alors à jouer le rôle de spectateur et à transmettre fidèlement au public les pièces du procès.

On voit assez qu'il est ici question d'une entreprise vraiment scientifique , et non d'une spéculation mercantile. C'est maintenant aux géomètres, et surtout aux géomètres français, qu'il appartient de faire prospérer cette entreprise. Les plus distingués d'entre eux nous ont déjà promis des articles, et, sans aucun doute, ils tiendront leur promesse. i\ous osons dire que leur réputation y est intéressée : la chute d'un Journal utile qu'ils auraient refusé de soutenir ne serait honorable ni pour eux ni pour la France.

NOTE

Sur un moyen de tracer des courbes données par des équations différentielles ;

Par G. CORIOLIS.

Si l'on conçoit qu'un fil tendu s'enroule sur un cylindre, et que le frottement y soit assez fort pour empêcher ce fil de glisser le long de la surface contre laquelle il s'est enroulé, la courbe formée par le fil sur la surface du cylindre, développée ensuite sur un plan, jouira de la propriété que la direction de sa tangente sera toujours celle de la partie du fil tendue en ligne droite avant qu'elle s'enroule.

Si donc on peut donner au fil, dans cette partie, une direction qui résulte de l'équation différentielle d'une courbe, celle-ci se trouvera tracée sur le cylindre en prenant pour abscisses les arcs comptés sur la base du cylindre.

Celte considération conduit à un tracé assez simple de plusieurs courbes.

On voit de suite que l'exponentielle dont l'équation est

dj j dx

dx "~~ a ' dy '

peut se décrire en enroulant sur un cylindre un fil tendu qui passe toujours par un point fixe. Ce point doit être à la distance a de la génératrice du cylindre qui se trouve dans le plan tangent mené par ce point.

J'ai fait construire, d'après cette remarque, une machine au moyen

de laquelle un fil tendu par un léger poids s'enroule ou se déroule autour d'un cylindre en passant par un petit trou perce' dans une plaque mobile qu'on approche ou qu'on écarte à volonté du cylindre. Une aiguille et un cadran indiquent les tours et fractions de tours dont on a tourné le cylindre. Ce sont ces quantités qui représentent les exposants. Une échelle placée contre la génératrice du cylindre, sur laquelle se trouve toujours le point ou le fil s'en sépare, indique, à partir du zéro de l'échelle , les exponentielles qui répondent aux exposants indiqués sur le cadran. Ou conçoit comment cette machine opère facilement tous les calculs d'intérêts composés. La marche de l'aiguille répond aux durées des placemens, et les nombres qu'on lit sur l'échelle , au point où le fil se sépare du cylindre, indiquent ce que sont devenues les sommes placées, ou ce qu'elles doivent être pour l'escompte ;i).

La chaînette , dont l'équation différentielle est

dx Y a "

ou bien

se décrira d'une manière analogue à la logarithmique. Il suffira de placer dans un plan tangent au cylindre une poulie dont le centre soit sur la génératrice de contact et dont a soit le rayon. En faisant dérouler sur cette poulie le fil qui s'enroule sur le cylindre, il s'y pliera suivant une chaînette.

Si l'on avait l'équation différentielle

ou bien, en posant -j— = <p (x) ,

dx , x

(i) Le modèle de cette machine fait partie de la collection de l'École Polytechnique.

on décrirait encore assez facilement la courbe qui répond à cette équation au moyen du relief de la courbe dont l'ordonnée estip(.r).

Pour cela, il suffirait d'avoir d'abord une règle AMX dont un côté AX serait droit et l'autre AM formerait la courbe dont <p(x) — r serait l'ordonnée, r étant le rayon du cylindre. Ensuite, on ferait tourner le cylindre en appliquant contre sa base la règle AX. Si le fil qui s'enroule reste dans le plan vertical PM, ce qui est facile à obtenir en l'appliquant coutreun plan fixe, et qu'il passe ainsi sur la courbe AM en M , il est clair qu'il formera sur le cylindre une courbe telle qu'en se déroulant sur un plan elle satisferaità l'équation différentielle ci-dessus, puisque la sous-tangente PM serait égale à z(x), x étant l'abscisse mesurée sur la base circulaire du cylindre.

Il ne serait pas impossible non plus de décrire les courbes données en général par l'équation

Pour cela, on concevrait d'abord une surface exécutée en relief ayant pour ordonnée

Ce relief tiendrait à une règle AX, comme tout à l'heure la courbe AM; mais il n'y serait fixé que dans le sens des x; dans celui de l'axe desj", que je suppose ici vertical, c'est-à-dire parallèle à l'axe du cylindre, il serait parfaitement libre de monter et de descendre. Le mécanisme, pour cela, peut se disposer de plusieurs manières très faciles à exécuter.

Pendant qu'on tournerait le cylindre, en faisant avancer la règle qui tient au relief dans le sens de l'axe des x , et en la pressant contre la base du cylindre, ou aurait soin de tenir le relief à la main à une hauteur telle que l'axe des x fût toujours à la hauteur du point où le lil quitte le cylindre , c'est-à-dire du point décrivant la courbe en question. Alors, si le fil tendu, en quittant le cylindre, va passer par

le point où la surface du relief est rencontrée par une perpendiculaire fixe PM; la courbe suivant laquelle il se pliera sur le cylindre, en la rapportant aux arcs de cercle pour abscisses, aura effectivement pour équation

car la sous-tangente sera toujours

dx j-

On devra placer le solide du relief au dehors de l'espace APM, et faire passer le fil à l'extrémité d'une tige PM. qui, par l'action d'un poids ou d'un petit ressort de pression, sera forcé d'appuyer en M contre le relief.

On peut s'arranger facilement pour que le petit poids p qui tiendra le fil tendu serve en même temps à appliquer la tige PM contre la surface. Il suffira de conduire d'abord le fil à travers un très petit trou percé à l'extrémité M de la tige, puis de le renvoyer horizontalement à l'autre extrémité N, où il passera sur une poulie tenant à cette même tige, pour revenir passer sur une autre poulie fixe en-dessous de P et tout auprès, et pour soutenir le poids p; celui-ci tirera la tige de N en M avec la force ip , et de M en N avec la force plus petite

p ( i -f- cosa),

dy .

a. étant ici l'angle dont la tangente = -p. La tige sera donc toujours

pressée contre le relief.

Pour que ce moyen de description de courbe soit praticable, il faut que le fil une fois appliqué sur le cylindre, ne s'y dérange pas par l'effet de la flexion qu'il y prend. Il y a pour cela une relation nécessaire entre le rayon r du cylindre et la nature de la courbe représentée par l'équation

Soient M un point quelconque, MM' un élément, et p le rayon de

courbure en M de la courbe AMB formée par le fil enroulé sur le cylindre. Deux tensions contraires sollicitent l'élément MM' à ses deux bouts : ces deux tensions donnent lieu à une résultante dont la direction coïnciderait avec le rayon p, si le frottement dans le sens du lil était nul : quelle que soit l'intensité du frottement, la direction de cette résultante sera située dans le plan osculateur de la courbe AMB et fera avec le plan tangent en M au cylindre un certain angle 6. Cela posé, pour que le fil ne glisse pas sur la surface du cylindre , il faudra évidemment que l'on ait

tang g > fi,

y étant le rapport du frottement à la pression. On devra donc choisir le rayon /-de manière que l'inégalité tang t > [>- soit toujours satisfaite.

Jaktkk j836.

, V\ > *\\ > " *\>-v\v*a\*av*\.\aa* «M «

NOTE

Sur les rapports qui existent entre la théorie des équations algébriques et la théorie des équations linéaires aux différentielles et aux différences ;

Par Guillaume LIBRI.

Je crois avoir été le premier à appeler l'attention des géomètres sur les rapports qui existent entre les racines des équations algébriques et les intégrales particulières des équations différentielles linéaires. Dans un mémoire qui a paru dans le X" volume du Journal de Mathématiques de M. Crelle, j'ai montré comment on pouvait, à l'aide des intégrales particulières d'une équation différentielle linéaire, diminuer d'autant d'unités l'ordre de cette équation que l'on connaissait d'intégrales particulières, et j'ai indiqué le moyen de former les coefficiens des équations de cette nature en fonctions symétriques de toutes les intégrales particulières. On a pu remarquer, dans le même mémoire , que ces fonctions symétriques étaient douées de propriétés bien plus étendues et plus générales que celles dont jouissent les fonctions syméti iques des équations algébriques. La similitude entre ces deux classes d'équations s'étend très loin, et permet de traiter les équations différentielles linéaires par des méthodes analogues à celles que l'on emploie dans la théorie des équations algébriques.

Lagrange, à l'aide de la variation des constantes arbitraires, est parvenu à démontrer que si dans une équation différentielle linéaire de l'ordre n et de la forme

PURES ET APPLIQUÉES. n

on connaît n — m valeurs de y , propres à satisfaire à l'équation Ya = o, on peut toujours réduire l'équation Y„ = p (x) à une autre équation différentielle linéaire de l'ordre n — (n — m) = m. Ce théorème célèbre, qui porte le nom de son inventeur, et qui ne forme que la première proposition de la théorie des équations différentielles linéaires, telle que je l'ai présentée, se démontre d'une manière si simple et si générale en considérant les intégrales particulières comme les racines des équations différentielles auxquelles elles satisfont, que j'ai pensé qu'il y aurait quelque avantage à reproduire ici ma démonstration toute seule, en montrant en même temps comment on peut l'appliquer aux équations linéaires aux différences finies, ce que je n'avais pas fait dans le Mémoire déjà cité.

Soit l'équation différentielle linéaire de l'ordre n,

w- • ■ i£» + a< i^' •" + a'j — tf*)»

que nous écrirons pour plus de simplicité,

en indiquant par Y, son premier membre; et soit y, une valeur de y qui satisfasse à l'équation Yn = o. Si dans l'équation Y„ = <f> (x) , on fait y T=ytfzdx , z étant une nouvelle variable, on aura (en se

rappelant que l'on a en général dfuv z=.iidpv -\-pdiidp~' -f-

. . .-{- pdvdf~lu-\- vdpu) une équation ordonnée par les différentielles descendantes de 2, de la forme

. . d'-'z / dr, , \ d"-'z

Dans cette équation, il est clair que le coefficient de fzdx est égal à zéro, puisque ce coefficient n'est autre chose que la fonction Y„ dans laquelle on a écrit yt au lieu de y; ce qui, par hypothèse, rend identiquement nulle cette fonction. Maintenant yx et ses différentielles sont des fonctions connues de x: si l'on divise donc l'équation (2) par

i2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

y,, on aura une nouvelle équation en z, qui sera linéaire et de l'ordre n — i , de la forme

(3)... jrf4-AIJ3 + Aa^... + A„,r=^-), » ' ai" ' dxn 2 a dx" i ini J-!

en appelant A,, A,,. . . A„,, les coefficiens de l'équation (2) divisée parj'. On voit donc comment, sans faire varier les constantes arbitraires, on peut réduire l'équation linéaire (2) du degré n à une autre équation (3) également linéaire de l'ordre n — 1 , lorsqu'on connaît une intégrale particulière de l'équation (1) dans laquelle on a supposé le second membre égal à zéro.

Si l'on connaissait une seconde iutégrale particulière y, de l'équation Y. = o, il faudrait faire encore y = yxfzdx , et partant

z = t- ( — J, et donner à y la valeur^; car si l'on prenait une seconde fois la valeur y, qui a été déjà employée, on aurait

z == d^. (~) == j-- 1 = 0. Et cette intégrale particulière, qui réduirait à zéro le premier membre de l'équation (3), ne pourrait nous conduire à aucune nouvelle simplification.

On voit maintenant comm'ent, par des transformations successives, on peut dans tous les cas, diminuer d'autant d'unités l'ordre de l'équation (1) que l'on connaît de valeurs qui , substituées pour y dans le premier membre de cette équation, le rendent identiquement égal à zéro.

On peut appliquer la même démonstration aux équations linéaires aux différences finies. Soit en effet l'équation

(4). . . A% + a, ù.—yx ■+■ a% à—ys. . . + «„r* = f{x);

et soit^ une valeur de yx telle que l'on ait

(5). . . A"j -f- a, A"~'j -f- <7a A"-*/. . . -f- any = o;

si dans l'équation (4) on fait yx =.y1zx, on la transformera encore en une autre équation aux différences, de la forme

(G) . . . jA-'z.+B.A'— zx. . .H-(A'j-f.«IA'— jr. . .+a„y)'2zx=f(xy,

'dans laquelle les coefficiens sont des fonctions connues dey qu'il est

PURES ET APPLIQUÉES. i5

inutile de développer à cause de leur complication , et que nous appellerons B, , B3, etc., pour simplifier, en n'écrivant que le coefficient de 22x dont la forme est très simple) et comme le coefficient de 2.% est égal à zéro par l'équation (5) , il en résulte que l'on peut encore diminuer d'une unité l'ordre d'une équation linéaire aux différences, lorsqu'on connaît une intégrale particulière du premier membre, égalé à zéro, de la même équation.

On pourrait répéter le même raisonnement, et l'on démontrerait en général le théorème de Lagrange pour les équations aux différences finies de tous les ordres. On pourrait de plus former les coefficieus de ces équations en fonctions symétriques des intégrales particulières, et exprimer l'intégrale générale en fonction du second membre de l'équation proposée, et des intégrales particulières de l'équation que l'on obtient en égalant le premier membre de la première équation à zéro. Mais je reviendrai plus tard sur ce sujet ; je n'ai voulu , dans cette note, qu'appeler de nouveau l'attention des géomètres sur les rapports qui existent entre la théorie des équations algébriques et celle des équations linéaires, et je n'ai donné la démonstration du théorème de Lagrange, que comme un exemple de la méthode que j'avais employée.

i4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

MÉMOIRE

Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries de sinus et de cosinus ;

Par Joseph LIOU VILLE.

i . Ou connaît la méthode dont les géomètres ont surtout fait usage dans ces dernières années , pour intégrer les équations aux différences partielles auxquelles on ramène la solution de la plupart des problèmes physico-mathématiques. Cette méthode consiste, comme ou sait, à représenter l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles par la somme d'un nombre infini d'intégrales particulières contenant chacune une ou plusieurs constantes arbitraires, et à disposer ensuite de ces constantes de manière à satisfaire aux conditions définies propres à chaque cas. Ainsi, dans la Théorie de la chaleur que nous prendrons pour exemple, si l'on veut déterminer, en fonction du temps t et de l'abscisse x, la température u qui a lieu en chaque point d'une barre métallique homogène (recouverte d'une substance non conductrice) dont l'état initial est connu et dont les deux bouts sont entretenus à la température fixe o°, on aura d'abord

l'équation aux différences partielles — = a' -j— - , a' étant le rapport

de la conductibilité intérieure de cette barre à sa chaleur spécifique. En plaçant l'origine des coordonnées à l'une des extrémités de la barre, et nommant / l'abscisse de l'autre extrémité , il faudra ensuite satisfaireaux deux conditions définies u=o pour x = o, u = o pour x=l, et à la condition de l'état initial que l'on peut écrire ainsi u=f(x) pourf = o. Or, pour cela, on observera que l'intégrale complète de

PURES ET APPLIQUÉES. i5

l'équation -^- = a* j^ peut être représentée par l'expression somma-

toire u=1ë~m*t{\ms'mamx + Bm cos amx), le signe 2 s'étendant h toutes les valeurs possibles des constantes m, Am, Bm. Pour que cette valeur se réduise à zéro, quelque soit le temps t, lorsqu'on y pose x=o ou x=l, il faut que l'on ait Bm=o, et qu'en outre les valeurs de m satisfassent à l'équation sin am/=o, laquelle donne m = o,

m=zh -», m= d= -? , . . . Comme les termes de la valeur de u relaal al '

tifs à deux valeurs de m égales et de signes contraires, peuvent être

groupés en un seul , et que le terme relatif à m = o disparaît

in de lui-même, nous écrirons simplement u = 2Af e a'l'sm -j-,

ayant soin de remplacer Am par A, pour la régularité de la notation. Et actuellement le signe 2 ne s'étendra plus qu'aux valeurs de /comprises dans la série des nombres entiers positifs i , 2, 5,. . . Il reste encore à satisfaire à la condition relative à l'état initial, ou autrement dit, il reste encore à trouver une fonction A, telle que l'on ait, entre les limites .x=o, x=l, l'égalité Jr(x) = 2.\lsm-j-. Pour plus de commodité, je développe dans le second membre la série représentée par le signe 2 , et j'ai

j-, \ » "SX , « . 27TX . a • i^X

f(x) = A, sin -j + Aa sin -7- -{-• . .+ A,- sin -y- + . . .

Je multiplie les deux membres par sin —=- dx , et j'intègre par rapport à x entre les limites x = o, x^zl. Cette intégration fait disparaître tous les coefficiens A,, A,,. . . excepté A0 et l'on obtient sur-lechamp A; = j / f(x) sin -j- dx . En adoptant cette valeur de A,,

on aura sans aucun doute f(x) = 2Aj sin —=- , pourvu toutefois que la fonction f{x) s'annulle aux deux limites x=o, x = l, comme la série qui doit la représenter entre ces deux limites.

2. L'exemple précédent nous montre comment on est conduit à développer une fonction f (x) en série de sinus, sinon pour toutes les valeurs réelles de x , du moins pour les valeurs de cette variable qui sont comprises entre deux limites données. D'après la manière

dont nous avons été amenés à poser l'égalité f{x) = 2 A, sin ^- , on

voit à priori que cette égalité est possible, entre les limites x = o, xz=lI, quelle que soit la fonction f{x); ou du moins la possibilité dune telle équation parait une conséquence naturelle de ce fait évident, que le problème de la détermination du mouvement de la chaleur dans une barre homogène doit être résoluble, quelle que soit la fonction f{x) qui représente l'état initial des températures. Mais au lieu de regarder les égalités de la forme

f(x) = 2A( sin -j- ,

comme le résultat de l'intégration d'une équation aux différences partielles servant à résoudre un problème physico-mathématique , on sest aussi proposé de les considérer en elles-mêmes, abstraction Faite des questions particulières où elles se présentent; et cette idée a donné naissance à la belle théorie des séries périodiques que M. Poisson a exposée d'abord dans le 19' cahier du Journal de l'Ecole polytechnique , et qu'il a reproduite récemment dans son ouvrage sur la chaleur.

Cette théorie des séries périodiques, ainsi traitée comme un point d'analyse pure, en devient à la fois plus élégante et plus rigoureuse; mais, telle que M. Poisson l'a donnée dans les mémoires cités, elle se borne aux développemens des fonctions ou parties de fonctions d'une variable x en séries de sinus et de cosinus des multiples entiers d'un arc proportionnel à x\ et elle ne s'étend en aucune manière aux autres séries de sinus et de cosinus que l'on rencontre aussi dans certaines questions de la Théorie de la chaleur et dans lesquelles les arcs successifs s'obtiennent en multipliant la variable x par les diverses racines d'une équation transcendante.

Je me propose ici de faire connaître une méthode au moyen de laquelle on effectuera d'une manière directe les développemens des fonctions ou parties de fonctions en séries de sinus et de cosinus (*). Pour trouver cette méthode, il m'a suffi de modifier légèrement un procédé fort ingénieux dont M. Poisson a fait usage dans ses deux pre-

(*) Dans ses Exercices mathématiques, M. Cauchy a traité la même question par une méthode fondée sur le calcul des résidus.

miérs Mémoires sur la.1 Théorie de la chaleur. La modification dont je parle consiste surtout en ce que j'ai pris pour point de départ la formule

ou ! ' '*• J

fx= - / coszxdz ! cos zrj{y)dj

+ - I s'mzxdz I h\nzrf(r)dy,

par laquelle Fourier représente une fonction quelconque f(x) pour toutes les valeurs réelles de x, c'est-à-dire depuis x= — co jusqu'à jr=-j-oo . Cette formule, en effet, renferme implicitement toutes les séries de sinus et de cosinus que les géomètres ont imaginées pour le développement des fonctions ou parties de fonctions; et il ne s'agit pour ainsi dire que de savoir lui donner successivement, par des transformations convenables, la forme propre à chacune de ces séries.

5. Essayons de faire comprendre à priori par quelle raison métaphysique la formule de Fourier renferme implicitement toutes les séries de sinus et de cosinus d'arcs proportionnels à x que l'on pourra trouver pour développer, entre certaines limites des valeurs de la variable , une fonction f{x) arbitrairement donnée entre ces limites. Supposons pour cela que de x=l' à x=.l, on ait

(A) fix) = 2(Acos/>.z; -f- B sin fx),

le signe 2 s'étendant à un nombre infini de valeursxle f liées entre elles par une loi quelconque, assujetties par exemple à être les diverses racines positives d'une même équation transcendante n(f) = o; et A, B, désignant des fonctions de p convenablement choisies. Puisque la fonction f{x) n'est donnée que depuis xz=l' jusqu'à x = l, rien ne nous empêche d'en disposer hors de ces limites, et d'attribuer à la caractéristique f une signification telle que l'équation (A) subsiste pour toutes les valeurs réelles de x. Ce sera alors proprement l'équation (A) qui nous fera connaître le sens que nous devons attacher à cette caractéristique , et ce sens sera tel que l'équation dont il s'agit ait toujours lieu de ,r = — a: à jr=-f-30 .

Janvier i836. 3

Nous pouvons aussi remplacer la lettre /» par une autre lettre z , et supposer que le signe 2 , relatif à z, s étende non plus seulement à toutes les valeurs de cette lettre comprises dans les racines positives de l'équation n(p)=o, mais bien à toutes les valeurs possibles qui se succèdent d'une manière continue depuis z=o jusqu'à z= x , pourvu toutefois que nous remplacions A et B par des fonctions U et V de z telles que l'on ait en général U = o, V = o, lorsque z diffère de p, et U = A, V=B, lorsque z = p, c'est-à-dire lorsque z se trouve égal à une des racines positives de l'équation U(f)= o-

Mais, au lieu de U et V, il sera plus convenable d'écrire Udz, Vdz , et de remplacer le signe 2 par le signe /\ On aura ainsi

cos zjc.U dz -f- / sxnzx.Vdz.

lies deux lettres U et V désigneront alors des fonctions de z qui seront généralement nulles excepté lorsque la variable z différera infiniment peu d'une des racines de l'équation n(p) = o, et qui au contraire deviendront infinies lorsqu'on aura s'=c, eu sorte que les élémens XJdz , Vdz (ou plutôt les intégrales fUdz, fVdz, prises entre des limiteinfiniment resserrées) aient alors une valeur sensible. Or la formule

f(x) = / cos:jc. Vdz -f- / ^sin zx . Xdz, ne peut s'accorder avec celle de Fourier qu'autant que l'on a

u = l- /"'' coszjf(j)dy , v = l J22 sin zif(y)dr-

Nous voyous parla, d'une part, que la formule de Fourier renferme implicitement tous les développemens possibles des fonctions en séries de sinus et de cosinus d'arcs proportionnels à la variable ; et d'autre part, que toutes les fois qu'il s'agira d'en transformer le second membre en sorte que l'intégrale relative à z soit remplacée par un signe 2 relatif aux diverses racines d'une équation transcendante n(f) = o, le caractère auquel on reconnaîtra que cette transformation peut s'effectuer sera le suivant : savoir que les deux intégrales f coszyJ(y)dy,

f+™ sin zyf( y)dy , soient généralement égales à zéro, excepté poulies valeurs de z infiniment peu différentes de p , et au contraire égales à V infini pour z = p; ce qui aura lieu si les intégrales

r+M e—~rV^ f(y)dy , f+X e'rV-1 f(f)dy , sont elles-mêmes

nulles ou infinies , suivant que l'on a z différent de p ou 2 = p.