La formule

( ! ) f{x) = \f* dz f^ cos z(y-x)f(y)dy ,

servant de base à nos recherches, nous rappellerons ici la démonstration que Deflers en a donnée. Soit u la valeur du second membre de l'équation (1); il s'agit de prouver que l'on a u=f(x). Effectuons d'abord l'intégration par rapport à z, non pas depuis z = o jusqu'à r=oo , mais depuis z=o jusqu'à une valeur indéterminée de s que nous traiterons comme infinie dans l'intégration relative hy. Nous aurons ainsi

1 r+n sinz( Y — x) -, NJ

et en posant y = x-\--t 11 nous viendra

Or, puisque z est une quantité infinie, on a y fx-\--j =J'(x), excepté pour les valeurs de 0 qui sont elles-mêmes infinies, valeurs dont on peut faire abstraction dans l'intégrale définie qui nous occupe,

parce que le facteur -5- rend infiniment petits et négligeables les clé— mens qui leur correspondent. Il restera donc simplement

u = m f^iÊH = f(x),

ce qui coïncide avec la formule (1).

5. Maintenant, si l'on veut développer en série de sinus et de cosinus, entre deux limites /'et /', une fonction f{x) donnée entre ces

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deux limites, rien n'empêchera de faire usage pour ce développement de la formule (i); et comme cette formule renferme les parties de f(x) relatives aux valeurs de x plus petites que /' et celles relatives aux valeurs de x plus grandes que /, ou pourra se donner les unes et les autres arbitrairement. En disposant de diverses manières de ces parties indéterminées de la fonction f(x), on sera conduit à diverses formules où il sera aise' en général de réduire l'intégration définie relative à s à une sommation finie relative aux diverses racines d'une certaine équation transcendante; d'où naîtront tous les développemens connus de la fonction en séries de sinus et de cosinus d'arcs multiples de x.

Pour présenter cette méthode de la manière la plus générale , concevons qu'après s'être donné à volonté une définition de la fonction f[x) qui permette de la calculer pour les valeurs de x non comprises entre V et l, lorsqu'elle est déjà connue entre ces deux limites, on pose

["<*-*'/{?)& = P> f~Xehyf{f)dj = q,

h étant une constante réelle et positive, ou du moins une constante dont la partie réelle soit positive. Concevons de plus que l'on soit parvenu à mettre les valeurs de p et q sous la forme

<p(h) et ^(h) étant des fonctions de h sans dénominateur, et tout-àfait déterminées à l'aide des seules valeurs de la fonction f(x) comprises entre les deux limites x = L', x—l, pour lesquelles cette fonction est donnée à priori.

Cela posé, je dis qu'il sera toujours facile, entre les limites l' et l, d'exprimer la fonction f(x) en série de la forme 2(Acosf.r-r-Bsinp.x), le signe 2 se rapportant à toutes les racines réelles et positives de l'équation transcendante <P\f\/ — i) = o. On y parviendra, en effet, eu transformant convenablement la formule de Fourier, et en éliminant l'intégrale / coszi [y — x)f{j)dy, qu'elle contient, à l'aide

il une analyse très singulière que nous empruntons à peu près textuellement au 19e cahier du Journal de l'École polytechnique (*).