VU

rs,

Faisons r -f- r4 -f- r8 -+- r„ -f- etc. — x.

t ■+- rs + rs + rlS + etc. =J,

>\ + r6 + '-,o + r,4 -j- etc. = ; ,

''3 H- r, •+■ r\, ■+- rl5 + etc. — t<-

La première des égalités donne r=a — bq. Partageons les autres en groupes de quatre, et ajoutons successivement les i'", 2°"% 5mcs, 4°"" égalités de chaque groupe. Il vient

ioo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

h + u = qtx + y,

z = q+u -h oc — /-,

de ces quatre équations du premier degré, on tire les valeurs de x , y, z, et u, et en les ajoutant on obtient

pour a = 1/7, b = 1 , on a r = ^7 — 2 , 9, = qa = q3 = 1 , </4 = 4; la limite cherchée est

Si la période était de cinq termes, on partagerait les égalités par groupes de cinq, et ainsi de suite. Le procédé convient donc à tous les cas.

Observons que delà formule qui convient à une période de n termes, on peut tirer celles qui conviennent aux périodes dont le nombre des termes est diviseur de n. Ainsi, de la formule pour les périodes de quatre termes, on déduit celle pour les périodes de 1 terme, en posant

1 r+b q, — qt = q3 = q4; on a alors x -\- y -f- z -f- u = ; par exemple pour a = 4/2 , b=. 1 , on a /• = y/ 2 — 1 , q, = 2, donc la limite

= ÎV/2-

Pour les périodes de deux termes on fait^r, = ^3, qi=q4, et il vient

Pour fl=y/5,i=i, on a r=[/5 — r, q, = 1 , q% = 2;

donc la limite = — = — ; et ainsi de suite.

Note 1 . La recherche du n° 5 peut être encore présentée d'une autre manière très simple et très rigoureuse, que voici :

Portant c sui -d, on a un reste r, sur lequel je construis un quarré; il est facile de voir que le côté c sera égal à la diagonale dt de ce

quarré, plus r. On aura donc d = c -f- / , c = r -f- d,; maintenant, si l'on porte le côte r sur la diagonale d, , on aura comme ci-dessus d, s= r + /•, , r = r, -f- d, ; ensuite d, = r, -f r, , r, = r, + d3; on en tire

d , r c , rf,

. d, r, dU = I H , - = I H -, etc.

Or le rapport de chaque diagonale à son côté est constant; donc on a

<i d, __ d, __ di c r ' r, "~ r, ~

d'où il suit que - = — s= -- = etc.

Donc les restes successifs sont en proportion géométrique décroissante, etc.

Note II. On trouve dans Kepler ( Harnioniœ mundi , p. 10, édit. de 1649) un point de philologie mathématique qui éclaircit une expression de sens assez louche. Les Grecs distinguaient deux sortes de rapports : les uns exprimables, effàbles , Aoyoi; les autres non exprimables, ineffables , etÀoyoï. Or, le mot X^yo; a deux acceptions : parole (verbum), et raison (ratio). Au lieu de prendre la première, les Latins, en traduisant, ont pris la deuxième; de là le rapport rationnel et le rapport irrationnel , ce qui n'a pas de sens; tandis que l'expression exacte est rapport exprimable ou rapport inexprimable. Cette observation de Kepler est d'une grande justesse. (Note de M. Terquem.)

NOTE

Sur une manière de généraliser la formule de Lourur;

Par J. LIOUYILLE.

En désignant par/*(;r) une fonction de x assujettie à la condition de ne jamais devenir infinie lorsque la variable x prend successivement toutes les valeurs comprises entre les limites — oc et +00, on a, comme on sait, entre ces deux limites

( ' ) /(*) = l f dz f^ cos (zjr — zx)f(y)dy.

La formule (1) a été donnée pour la première fois par l'illustre Fourier, dont elle a conservé le nom. On peut la généraliser de la manière suivante.

Soit <p(x) une fonction de x et <p,(x) son intégrale indéfinie prise

depuis x=zo, en sorte que l'on ait t>,(x) = I <p{x)r7x; nous supposerons la fonctiou <p,(x) telle qu'elle ne surpasse jamais un certain maximum; soit de plus A la valeur de l'intégrale définie / ;

si la quantité représentée par A n'est ni nulle ni infinie, je dis que, pour toutes les valeurs réelles de x , on aura

(2) J(x) = £ f^ dz j"^ <p{zj — zx)f{j)dj.

Pour démontrer ce théorème, faisons

PURES ET APPLIQUÉES. io5

et il s'agira de prouver que l'on a u = f(x). J'effectue d'abord l'intégration par rapport à z, non pas depuis z=o jusqu'à z=x , mais depuis s=o jusqu'à une valeur indéterminée de z que je traiterai comme infinie dans l'intégration relative à r- En observant que l'équation

X<p{x)dx = <P,(x)

donne

je trouve ainsi

/>r «$ ai = «tes,

Si Ton fait y = ,r + -, la valeur de u deviendra

Or la quantité z étant infinie, on a /fa?-+~)=/(.r), excepté pour les valeurs de G qui sont elles-mêmes infinies, valeurs auxquelles on peut n'avoir aucun égard, parce que le facteur —^—, qui devient nul alors, rend insensible la partie de l'intégrale qui leur correspond. On aura donc simplement

ce qu'il fallait démontrer. Si l'on pose <f(.r)=! césar, l'équation (2) se change dans l'équation (1), et notre démonstration coïncide avec celle que Deflers a donnée de la formule de Fourier.

On peut établir une autre formule plus générale que la formule (2). Désignons parF(z, 9) une fonction de z et de 9 qui devienne nulle quand on a à la fois z = o, ô = o; supposons en outre cette fonction telle que si, après y avoir posé z=+îo , on forme l'intégrale

+« F(oo ,

io4 JOURNAL DE MATHEMATIQUES

cette intégrale ne soit ni nulle ni infinie, mais possède au contraire une valeur finie et déterminée A; faisons enfin

et admettons que la quantité <p(z, 8) ne devienne jamais infinie. Cela posé, je dis que l'on aura

(3) f{x) = ^f^dz-f^^z, zr-zx)f{y)dy.

Représentons en effet par u la valeur du second membre de l'équation (5). D'après la composition de la fonction <p, on trouve immédiatement

Cz /■ \ i F(z, zr — zx)

Jo <p{z, zj — zx)dz = Ky x '.

Si donc on effectue d'abord, dans l'expression de u, l'intégrale relative à z depuis z=o jusqu'à une valeur indéterminée z, que l'on traitera ensuite comme infinie, on obtient

6 île

En désignant par b une nouvelle variable , je faisyz=x-\- - , dj= — ,

ce qui me donne

La valeur de z étant infinie, on peut remplacer f(x-\ — Jpary(ar), F(z, G*) par F(oo , 6); de là résulte finalement

ce qu'il fallait démontrer.

La formule (5) se déduit à son tour d'une autre formule dans laquelle la constante A est remplacée par une fonction de x. Représentons en effet par Y(x,z,Q) une fonction de x, z, ô, qui devienne

PURES ET APPLIQUÉES. io5

identiquement nulle lorsqu'on a en même temps z=o, 6=0. Supposons en outre cette fonction telle que l'intégrale

-x F(ar, oo , è)db

ne se réduise ni à zéro ni à l'infini, mais possède au contraire quel que soit x uue valeur iinie <nt{pc). Cela posé, si l'on fait

z dF(x,z,b) , dF(x,z, 6) , ,..

et si l'on regarde la quantité <p(x,z, 6) comme ne devenant jamais infinie, on aura

(4) /(■*•) = ^ J o dz f^ <p(x, z, zy—zx)f{y)djr.

Nous nous dispenserons de transcrire ici la démonstration de la formule (4), parce que cette démonstration est entièrement semblable à celle que nous avons donnée ci-dessus de la formule (3).

io6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

MÉMOIRE

Sur les Equations différentielles linéaires du second ordre;

Par C. STURM.

(Lu à l'Académie des Sciences, le 28 septembre i833. )

La résolution de la plupart des problèmes relatifs à la distribution de la chaleur dans des corps de formes diverses et aux petits mouvements oscillatoires des corps solides élastiques, des corps flexibles, des liquides et des fluides élastiques, conduit à des équations différentielles linéaires du second ordre qui renferment une fonction inconnue d'une variable indépendante et ses différentielles première et seconde multipliées par des fonctions données de la variable. On ne sait les intégrer que dans un très petit nombre de cas particuliers hors desquels on ne peut pas même en obtenir une intégrale première; et lors même qu'on possède l'expression de la fonction qui vérifie une telle équation, soit sous forme finie, soit en série, soit en intégrales définies ou indéfinies, il est le plus souvent difficile de reconnaître dans cette expression la marche et les propriétés caractéristiques de cette fonction. Ainsi, par exemple, on ne voit pas si dans un intervalle donné elle devient nulle ou infinie, si elle change de signe, et si elle a des valeurs maxima ou minima. Cependant la connaissance de ces propriétés renferme celle des circonstances les plus

remarquables que peuvent offrir les nombreux phénomènes physiques et dynamiques auxquels se rapportent les équations différentielles dont il s'agit. S'il importe de pouvoir déterminer la valeur de la fonction inconnue pour une valeur isolée quelconque de la variable dont elle dépend, il n'est pas moins nécessaire de discuter la marche de cette fonction , ou en d'autres termes , d'examiner la forme et les sinuosités de la courbe dont cette fonction serait l'ordonnée variable, en prenant pour abscisse la variable indépendante. Or on peut arriver à ce but par la seule considération des équations différentielles en elles-mêmes, sans qu'on ait besoin de leur intégration. Tel est l'objet du présent Mémoire. Les fonctions dont je me suis occupé ont, comme on le verra, des analogies remarquables avec les sinus et les exponentielles, et peuvent, dans certains cas, être évaluées numériquement avec^une approximation suffisante à l'aide des tables logarithmiques et trigonométriques. La même théorie fournit les moyens de calculer les racines de ces équations transcendantes qui se présentent dans la physique mathématique, et fait connaître les propriétés singulières dont jouissent ces racines. Le principe sur lequel reposent les théorèmes que je développe, n'a jamais, si je ne me trompe, été employé dans l'analyse, et il ne me paraît pas susceptible de s'étendre à d'autres équations différentielles. Dans un autre Mémoire, j'exposerai les applications de cette théorie à quelques problèmes, et un grand nombre de lois qui en résultent.

Je considère l'équation différentielle