LS + MÊ + *V
V est une fonction inconnue de la variable x qui doit satisfaire à cetteéquation pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données x, X; L, M, N, sont des fonctions de x données pour toutes les valeurs de x croissantes depuis x jusqu'à X. Je commence par ramener l'équation différentielle proposée à la forme suivante,
On rend les deux équations (i) et (I) identiques, en posant
M dK N G
ÎT — Krfï' et L ~" K' d'où l'on tire
On connaît ainsi les fonctions K et G dans la nouvelle équation (I), qui prend la place de l'équation (i). Mais ordinairement, les équations du second ordre qui proviennent des problèmes de physique mathématique, se présentent immédiatement sous la forme de 1 équation (I), de sorte qu'on est dispensé de leur faire subir la transformalion que nous venons d'effectuer sur l'équation (i).
L'intégrale complète de l'équation (I) doit contenir deux constantes arbitraires, pour lesquelles on peut prendre les valeurs de V et
de — correspondantes à une valeur particulière de ce. Lorsque ces
valeurs sont fixées, la fonction \ est entièrement définie par l'équation (I), elle a une valeur déterminée et unique pour chaque valeur de x.
En écrivant l'équation (l) ainsi
d Y dK dV pv
KdP + ~dx di + GV = °'
et en la différentiant ensuite autant de fois qu'on voudra , on voit que si la fonction K devenait nulle pour des valeurs particulières dex,
- — ( — - etc. , pourraient devenir infimes en même temps que K
s'aunullerait, et par suite la fonction V pourrait aussi devenir infinie. Pour supprimer cette cause de discontinuité , nous supposerons toujours que K soit constamment positive entre les limites X, X, et que si elle est nulle à l'une de ces limites, on ait en même temps
PURES ET APPLIQUÉES. iog
-j- . -j- -J- GV = o afin que la valeur de -j-^ fournie par l'équation (i ) ne soit pas infinie. D'ailleurs G est tout-à-fait arbitaire.
Lorsque la fonctiou V s'évanouit pour une valeur particulière de .r,
dV ,, .
-T- ne peut pas s évanouir en même temps.
rfV Eneffet,il résulte de l'équation (I) que, si V et —étaient nulles pour
d'Y d'Y une même valeur de x, toutes les fonctions dérivées -=— , -z—, .... s'éva-
ax- ax*
dY nouiraient en même temps que V et -r- , et par suite V serait nulle
pour toutes les valeurs de x. Mais voici une démonstration plus rigoureuse de cette proposition.
Supposons que V ne soit pas nulle pour x = a. On peut concevoir une fonction V qui, prise pour V, satisfasse à l'équation (I) et qui d'ailleurs diffère de V en ce qu'on se donne à volonté pour x = a
des valeurs de V et de -=— différentes de celles de V et de — •
dx dx
On a donc les deux équations
rfV>
GV = o,
dx
■f-GV' = o,
d'où l'on tire, en multipliant la première par Vdx, la seconde par Ydx, et retranchant
V^.(K£)V.rf.(K->„.
Le premier membre de cette équation est la différentielle de... K V 'dx ~~ V u) > en mtégi'ant , on a donc
Mars i836. ,5
C étant une constante arbitraire.
On suppose que V n'est pas nulle pour x=a, et l'on peut se donner
d\' ~dx
à volonté pour x = a des valeurs de V et -r- telles que la formule
K (V' 'j V -=— J ait pour x = a une valeur différente de zéro,
qui sera celle de la constante C. Ou voit alors que pour toute autre valeur de x , on ne peut pas avoir en même temps V = o et — = o , puisqu'il s'ensuivrait C = o, contre l'hypothèse.
Ainsi -r ne peut jamais se trouver nulle eu même temps que V.
Il s'ensuit que V change de sigue chaque fois qu'elle s'évanouit. Car
, / , . . , dX
si V est nulle pour x = ? , il résulte de la définition même de -y- ,
que V aura pour les valeurs de x un peu plus grandes que ? le sigue
de -r- pour x=%, et le signe contraire pour les valeurs de x un
peu moindres que £; eu sorte que, quand x en croissant atteint
et dépasse la valeur £, V eu s'évanouissant passe de l'état négatif au
dV positif, ou du positif au négatif, selon que la valeur de -r-pour
x = ? est positive ou négative.
La fonction V dépend implicitement des fonctions G et K et des valeurs arbitraires A et B quou peut attribuer à V et à -r-pour une valeur particulière de x.
Nous allons examiner quel changement V éprouvera, si l'on altère en même temps les fonctions G et K pour chaque valeur de x , et les constantes A , B, de quantités infiniment petites , ou pour parler avec plus de rigueur, aussi petites qu'on voudra.
Pour fixer les idées et pour abréger le discours, nous regarderons les quantités G, K, A, B, comme fonctions d'un paramètre indéter-
PURES ET APPLIQUÉES. m
miné et indépendant de x que nous désignerons par m ; elles seront des fonctions de m tout-à-fait arbitraires, assujetties à la seule condition de varier par degrés insensibles en même temps que m : on pourra d'ailleurs ne pas faire varier ces quantités G, K, A , B, toutes à la fois avec m; on pourra supposer aussi que la fonction G ou K reste la même pour certaines valeurs de x , malgré la variation de m; en un mot, les altérations infiniment petites que G, K, A, B, éprouveront quand m variera infiniment peu , seront entièrement arbitraires.
Pour exprimer que ces fonctions G, K , varient non-seulement par la variation de x , mais encore par celle du paramètre m, nous les désignerons, quand il en sera besoin, par G(x, m) et K(x , m). De même V qui dépend implicitement de x et de m sera représentée par y (x, m), et dans cette expression , on pourra remplacera: ou /// par telle valeur particulière qu'on voudra.
On peut considérer les deux variables indépendantes x et /«comme: étant les coordonnées rectangulaires x et y d'un point pris à volonté sur un plan horizontal, et concevoir une ordonnée r perpendiculaire à ce plan en ce point-là, et égale à la valeur de la fonction G(x, m) correspondante aux valeurs actuelles de x et de m. On aura ainsi , eu faisant varier x et m, une surface représentée par l'équation z = G(x , m). A chaque valeur particulière de m correspond sur cette surface une courbe dont le plan est parallèle au plan xz à la distance m, et dont les ordonnées verticales représentent les valeurs successives de la fonction G pour cette valeur de ni. Cette courbe change de forme insensiblement et engendre la surface quand m varie par degrés insensibles. On peut de même imaginer deux autres surfaces dont les ordonnées verticales représentent les deux fonctions K (x , m) et V (x , m).
En concevant ainsi les altérations arbitraires des quantités G, K, A, B, comme produites parla seule variation du paramètre m, faisons maintenant varier m dans l'équation (l). Désignons par la caractéristique/ cette espèce de variation, indépendante de celle indiquée par cl qui se rapporte à x.
lia JOURNAL DE MATHEMATIQUES
En observant que l'on a en général pour toute fonction P de x et
de m ,
MF __ rfcTP,
c*i> n n i vpvipii t à
\dx) \dmj
V,C ULll IC) H.- 1 1 l Cl
dm dx
l'équatioQ
\ dx) . rv dx + GV = °
différentiée par
rapport
à ?», donnera
d.f.Cx
dV\
Multiplions l'équation (i) par JY.dx, l'équation (2) par — Y.dx, et ajoutons les produits, nous aurons
Intégrons les deux membres de cette équation , par rapport à x, depuis x = x jusqu'à une valeur indéterminée de x.
En intégrant par parties le premier terme <FY .d.(K -jj> sans fi*er les limites de l'intégration, on trouve
rf.r.
On a de même
ou bien à cause de <T . f K — j = -— . cPK -f- K -p
/v.A/(* $v.(k t)-m^^-mt :^
En retranchant cette dernière intégrale de la précédente, on aura
PURES ET APPLIQUÉES. n3
donc
pv.rf.(K-)-/v.,y.Ir(KÇ>^.KS-v^.(K-)+/(©-.JK.rf,.
C'est l'intégrale indéfinie du premier membre de l'équation (5) : par conséquent en intégrant cette équation depuis x = x jusqu'à une valeur quelconque de x, on aura
«î-T/.(iî)-c+/i>^*-y;i©,jiA «
La constante C introduite par l'intégration est égale à la valeur de la formule cfV.K -j- — ^•^•\^tÙ> Pour x = x, et l'on peut attribuer à cT V et à cT [K -j- \ des valeurs arbitraires pour x = x.
Si au lieu d'intégrer l'équation ( 3 ) entre les limites x et x , on l'intègre entre les limites x et X , on aura de même l'équation suivante :
JV.KS-V.J.(KS)=C-/V.«fG.^+//@-.JK.<fa,(5)
la constante C étant égale à la valeur de «TV.K -3 V. S1 (K -j- ) pour
On remarquera qu'on a identiquement
/T.iî-v./<k3-(kî)\/.(-y)
et aussi
JVJl£-V.^K$ = -V^.(^J. (7)
La formule (4) peut encore se déduire d'une autre qu'il est bon de connaître.
n4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Combinons l'équation
dx avec cette autre équation de même forme
' +GV= o,
dx
dans laquelle G' et K' sont des fonctions quelconques de x différentes de G et de K. Ces deux équations donnent la suivante :
V'.rf.(K^)-V.rf.(K'^)=(G'-G)VV'^. (8) Or, on a
Conséquemment en intégrant l'équation (8) depuis x = x jusqu'à une valeur quelconque de x , on aura (g)
V'.K^-V.K'^ = C-r-/;VV'(G-G)^-/;^.(K'-K^.
La constante ai-bitraire C étant égale à la valeur du premier membre
Si l'on suppose actuellement les différences G — G, K' — K, infiniment petites, et les valeurs de V et de K' -^ pour x = x infiniment peu différentes de celles de V et de K -^- , V différera infiniment peu de V, et en faisant G'=G+<TG, K'=K+cfK, V'=V+«TV dans l'équation (9) , elle deviendra l'équation (4) du numéro précédent.
Il reviendrait au même de différentier cette équation (9) , par rapport au paramètre m qui n'entre que dans G, K et V et non dans
PURES ET APPLIQUÉES. n5
G', K' et V, et de faire après cette différentiatioa , G' = G, K':=K et par suite V = V , en prenant d'ailleurs la constante C égale à la valeur du premier membre pour ;r = x.
On arrivera de la même manière à la formule (5).
A l'inspection de l'équation (4) , on reconnaît que l'expression JV.k£-V.J\(k£) équivalente à (k£)V. f-^\ et aussi
à — V\ef.l / aura pour chaque valeur de x une valeur dif-
férente de zéro et positive, si le second membre de cette équation 4} est positif pour toutes les valeurs de x depuis x jusqu'à X. Or, on le rendra tel, si, en supposant J m positive, on prend la constante C positive ou nulle , la variation arbitraire ef G aussi positive ou nulle , et cf K négative ou nulle, pourvu toutefois qu'on ne suppose pas ces quantités C , cTG et cTK, nulles toutes trois en même temps. En considérant
que C représente la valeur de cTV.K -= Y.cF. f-j j pour x =x, on voit
que prendre C positive ou nulle, c'est supposer que la valeur du rapport
— ^r pour a; = x augmente ou du moins ne diminue pas , quand on
fait croître m , ou ce qui revient au même, que la valeur du rapport
inverse -^- pour x = x diminue ou du moins n'augmente pas, quand m augmente; en particulier, si l'on a V = o pour x = x, il faut admettre que la valeur de —^ pour x=n devient positive, ou de-
dx
meure nulle,quand m augmente; et, si l'on aK- = o pour x=x, que
Kcelle de — y- pour xz=. x devient négative ou reste nulle , quand
m augmente.
n6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Lorsqu'oa fait SQ positive et cTK négative , on suppose que , pour chaque valeur de x la valeur de G augmente et celle de K diminue, tandis que m augmente. Et quand on fait cTG ou JK nulle pour certaines valeurs de x , alors pour ces valeurs-là , G ou K conserve la même grandeur, malgré la variation de m.
En admettant donc ces hypothèses qui rendent le second membre de l'équation (4) positif, et observant que le premier
oV.K •—■ — V .<?. (K—j peut être présenté sous les deux formes
(6) et (7), on voit, que pour chaque valeur de x, la variation
v fKSh
ê . f — ~jv) sera positive, et <P.\ — =- J négative, ce qui signifie que
la valeur de l'expression — -= augmente quand m augmente, ou que
Kd7
celle de — ==- diminue. On a donc cette proposition :
Si pour chaque valeur de x la valeur de la fonction G augmente infiniment peu , si en même temps K diminue, et si la valeur du rap-
port — -jy pour x = x augmente ou si celle du rapport inverse
dx
— r^ diminue , pour toute autre valeur de x plus grande que x , la
V dx
valeur de — hî augmentera ou celle de -=— diminuera infiniment
dx peu. Et il en sera de même, si les altérations indiquées n'ont pas lieu toutes à la fois , pourvu qu'une d'elles au moins ait lieu.
En admettant toujours les hypothèses énoncées dans le numéro précédent, nous allons maintenant considérer les différentes valeurs de x qui annullent la fonction V et montrer que chacune de ces va-
leurs diminue quand m augmente. Cette proposition est fondée sur ce que, d'après la formule (4) , toutes les fois que V est nulle, -^ et j^ ont des valeurs différentes de zéro et de même signe.
En effet, supposons que V soit nulle pour des valeurs particulières de x et de m. Si l'on donne à ces valeurs de x et de m des accroissements infiniment petits dx et dm, la fonction V deviendra
rfV dV
V + — dx + -r- dm, et cette fonctton sera encore nulle pour ces
1 dx dm ' '
nouvelles valeurs x-\~dx et m-\-dm, si l'on a -j- dx-\—j- djn = o.
dx dm
0, n dm dx
n tire de la -7— = — -7^7-
dx aï
dm dn dx
Cette valeur du rapport -3— est négative ; car, en vertu de la formule (4), lorsque V est nulle, t— et ^ ou t— ont des valeurs différentes de zéro et de même signe. Les accroissements infiniment petits dx et dm qu'il faut donner aux valeurs de x et de m qui annullent
V pour avoir toujours V = o, doivent donc être de signes contraires; en d'autres termes , chaque valeur de x qui annulle V diminue quand m augmente , et augmente quand m diminue.
On peut rendre plus sensible la vérité de cette proposition par la considération de la courbe qui est le lieu géométrique des points pour lesquels on a V (x , m) = o , en regardant x et m comme des coordonnées relatives à deux axes tracés sur un plan. Supposons qu'on passe d'un point de cette courbe ayant pour coordonnées x et m à un autre point infiniment voisin sur la même courbe dont les coordonnées soient x-\-dx et m -{-dm. On aura le rapport des accroissements infiniment petits dx et dm en différentiant l'équation de la courbe
dY
», , . .-, . dY , , dV , . dm dx
V (x, m) = o. On en tire ^ dx -\- -^dm — o; puis -^ =— ^ ,
dm valeur négative, à cause de l'équation (4). Donc quand on passe d'un point de la courbe VT (x , m) = o à un autre point infiniment voisin sur la même courbe, la valeur de m augmente, tandis que celle de
Avril. i836. 16
i iS JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
r diminue, ou bien au contraire m diminue et x augmente. Ainsi , chaque branche de cette courbe, en s éloignant de l'axe des x, se dirige vers la gauche du côté des x négatives, comme l'indique la figure.
\AAX
Tn1
La proposition dont il s'agit peut encore se démontrer d'une manière tout-à-fait rigoureuse , sans aucune considération de quantités infiniment petites , comme uous allons l'expliquer.
Attribuons à 1 indéterminée m une valeur particulière quelconque jx, et supposons que la fonction V {x , u) s'évanouisse pour différentes valeurs de x. Nous avons vu, n° II, que cette fonction doit changer de signe chaque fois qu'elle s'évanouit.
Attribuons encore à m une nouvelle valeur fx' qui surpasse la première [A d'une quantité aussi petite qu'on voudra. Nous allons démontrer que la nouvelle fonction \(x, fx) s'évanouira et changera de signe entre les limites x et X au moins autant de fois que V (x , u.) , pour des valeurs de x un peu moindres que celles qui annullent V (x, u).
Soit ? l'une quelconque des valeurs de x pour lesquelles V (x , /x) s évanouit, de sorte que V( ?, fx) =. o. D'après la formule (4),
-r- et j- doivent avoir, pour x = £ et m = u des valeurs différentes
de zéro et de même signe.
Attribuons à x une valeur a plus petite que Ç, telle que pour cette valeur a et pour toute autre comprise entre a et ? la fonction \Çx,y-) ne soit point nulle et conserve constamment le même signe : on peut toujours prendre a assez près de £ pour que cette condition soit remplie. Alors V(.r, p.) aura pour x = a le même signe qu'elle a pour
PURES ET APPLIQUÉES. i Iy
les valeurs de x un peu moindres que ?, et par conséquent un signe contraire au signe de j- pour .r=r?; car pour les valeurs de x un peu plus petites que % , \ (x , f/.) a un signe contraire à celui de
Tx (? ' **)•
Considérons maintenant V {x , tt') : si l'on y fait d'abord xz=a , \{a,fji) aura une valeur différentede zéro et de même signe que V(a, fi) qui n'est pas nulle; en effet on peut toujours prendre //assez peu différente de/*, pour qu'en taisant croître m depuis/* jusqu'à /*', la fonction V(a, m) ne change pas de signe. Ainsi Y (x, /*') aura comme V(r, /*)
pour x = a , un signe contraire à celui de y- (£ , fi).
J'Y Si l'on fait 'x=%, V (£, /*') aura le signe de j— pour jr= £ et
m — (a.. Car V étant nulle pour x = % et m = /* , doit prendre pour x = 0 et pour une valeur de m, telle que jX ' , un peu plus grande que
tt, le signe delà fonction dérivée y- (£, /*)• Or, en vertu de l'équa-
tion (4) dont le second membre est positif, j- a le même signe que
-j-, toutes les fois que V est nulle. Donc V (x , u.') a pour x=%
le même signe que — (£, /*).
Mais on a vu tout à l'heure que, pour x = a, \(x, //.') a le signe contraire à celui de cette même quantité -j- (Ç, ft) ; donc
V (ar, tt') ayant pour x=a et pour x=% deux valeurs de signes contraires , doit s'évanouir et changer de signe au moins une fois pour une valeur de x comprise entre a et £.
On conçoit que cette valeur de x plus pefite que ? qui annulle
V (x , tt') doit différer infiniment peu de 0, si t*' surpasse /u d'une quantité infiniment petite, puisqu'on pourra prendre l'autre limite a aussi près qu'on voudra de 0, en remplissant toujours la condition que V (x , [/.) ne change pas de signe dans l'intervalle de a à £.
On peut représenter et résumer ce qui précède par le tableau suivant :
