T30 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Pour x — a £

on a X(x, fi) o ) quand, pour x = % et m=fi,

X(x, fi') o f £ et j- ont le signe +,

dx S'm

ou bien

V(.r, //.) + -\ — f- -f- o ) quand pour x — % et m = fi,

dV t\ dx h>

\{x,fi) + o — C et j- ont le signe —.

Le o placé entre les deux signes contraires de \T(x , fi') pour x = a et x=% indique l'évanouissement de cette fonction pour une valeur de x comprise entre a et £.

On vient de voir qu'à chaque valeur de x telle que £ qui annuité V(;r , /u.) correspond toujours une valeur de x un peu moindre que £ qui annulle V(.r, /*'), et l'on remarquera que cette proposition subsiste dans le cas même où la plus grande des valeurs de x désignées par g qui annullent V (x , fi) serait précisément égale à la limite X.

11 est nécessaire de prouver aussi que réciproquement à chaque valeur de x comprise entre x et X qui annulle X [x , fi') correspond une valeur de x un peu plus grande qui annulle X (x , fi). La démonstration de celte proposition inverse est semblable à la précédente. Nous renoncerons en peu de mots.

Supposons que X[x,fi) soit nulle pour x=%'. On peut donner à x une valeur b plus grande que £' telle que X(x, fi') ait toujours le même

signe quand x croîtra depuis %' j usqu'à b ; ce signe sera celui de -j- pour

.x=Ç' elm=[i'. La quantité X{b, fi) aura le même signe que X(b, fi')s'\ la différence entre p. et \j' est suffisamment petite. Comme oua X (£' ,<j-')—o , et que u. est plus petite que p-', V(£', p) aura un signe contraire à

celui de -r- (0', y') et conséquemment contraire à celui de -=- ( 0', p')

en vertu de l'équation (4). Mais X (b , p) a le même signe que cette

dV quantité -j- (£', p.') ; Y(.r, p) a doue deux valeurs de signes contraires

pour x = £' et pour x = b ; ainsi V(,r , p) doit s'évanouir et changer de signe pour une valeur de x comprise entre £' et b.

Ces résultats sont indiqués dans le tableau suivant :

Pour acz=%' b

on a Y(x, f*) — o + ) quand, pour x = % etm=u,

V(jc, «') o +++++ ( — et j- ont le signe + ,

dx £m

ou bien ,

i ""ind -r- et t— ont le sieue — .

„ .' quand -r- et -r—

\(JC, u') O J H dx ïm

Un a supposé ici g' < X. Il n'y a pas lieu de s'occuper du cas où l'on aurait £'=X, c'est-à-dire V(X, «') = o , puisqu'on ne fait pas croître x au-delà de X.

Il est donc prouvé qu'à chaque valeur § de .r qui annulle V(a?, ,"), valeur qui peut être inférieure ou égale à X, correspond une valeur de x un peu moindre que > qui annulle V (x , u.'), et vice versa; qu'à chaque valeur ?' de x moindre que X qui annulle Y(x , f*') correspond une valeur de x un peu plus grande que i*' qui annulle \ (x , u). On déduit de là les conséquences suivantes, en supposant que les deux fonctions V(x, </) et V(x, f*') aient pour ,r=x des voleurs différentes de zéro et de même signe, outre la condition

admise n°VI, que la valeur de — = — pour x=\ diminue quand m

croit depuis f. jusqu'à ft'.

Si V [x, u.) et V (x, u!) ont toutes deux des valeurs différentes de zéro pour ,r=X, la fonction V(x, ,"') s'évanouit et change de signe précisément le même nombre de fois que ^ {x , ,") entre les limites x et X , et pour des valeurs de x un peu plus petites que celles qui mmullent Y(x, u).

Si Y(x, fi) est nulle pour jc=X, Y(x, u.') s'évanouit encore autant de fois que V(.r, p) pour des valeurs de x un peu moindres que celles qui annullenl V(x, p), y compris X: Mais entre les limites x et X, V( x, jx') change de signe une fois de plus que V(a^., ,") et ce

changement de signe excédant de Y (x , y) a lieu pour une valeur de x un peu moindre que X. Car, d'après ce qu'on a démontré n° VIII, si l'on donne à x une valeur a moindre que X, telle que Y (x , p) conserve constamment le même signe dans l'intervalle de a à X , Y(x, y.') changera désigne en s'évauouissant une seule fois, avant que x atteigne la limite X pour laquelle ou a V (X, à) :=o.

Enfin, si Y{x, p') est nulle pour ;r=X, Y {x , p) s'évanouit une fois de moins que Y x, »'), mais elle change de signe le même nombre de fois, tandis que x croît depuis x jusqu'à X. En effet, si l'on désigne par a une valeur de x moindre que X , telle que V (x, y) ne change pas de signe dans l'intervalle de a à X, la fonction Y(x, p) aura pour x=a le même signe que Y (x, y) et conservera ce même signe pour toutes les valeurs de x croissantes depuis a jusqu'à X inclusivement, puisque si elle s'annullait pour une valeur? de x comprise entre a et X ou même pour i = X , Y(x, y) devrait s'évanouir aussi et changer de signe pour une valeur de x un peu moindre que £ ou que X dans l'intervalle de a à X, ce qui est contre l'hypothèse.

Il est aisé de voir qu'on arriverait aux mêmes conséquences, si la limite X au lieu d'être constante augmentait insensiblement, tandis que m passerait de la valeur fjt, à la valeur (/.'.

On voit par là comment le nombre des changements de signe de Ja fonction V (x, m) entre les limites x et X pour chaque valeur attribuée à m, peut s'altérer quand on fait passer m par degrés insensibles d'une valeur quelconque à une autre plus grande. On admet que tandis que m augmente, la fonction V [x, m) ne change pas de signe pour ,x = x, et que de plus, comme on l'a dit n° VI, la valeur

K — de — =p- pour a: = x diminue ou demeure constante.

Si l'on fait croître m à partir d'une valeur quelconque m', tant que la fonction Y (x, m) ne s'évanouira pas pour a:=X, cette fonction aura toujours, entre les limites x etX, le même nombre de changements

de signe qu'elle a d'abord pour m = m' , et les différentes valeurs de x qui l'annullent diminueront par degrés insensibles.

Quand m atteindra une valeur pour laquelle V (X, m) s'évanouira, la fonction V (x, m) aura encore pour cette valeur de m le même nombre de cbangements de signe qu'elle avait pour les valeurs précédentes de m et pour m = m'. Mais dès que m dépassera la valeur dont il s'agit, V (x, m) acquerra un nouveau changement de signe en sïvanouissant près de la limite X ; et en général le nombre des changements de signe de V (x, m) entre x et X augmentera toujours d'une unité , chaque fois que m en croissant dépassera une nouvelle valeur qui annullera V (X, m).

En conséquence, si m croît depuis une valeur quelconque m' jusqu'à une autre valeur plus grande m", autant il y aura de valeurs de m entre m' et m" qui annulleront V (X, m), autant la fonction V (x, m") aura de changements de signe de plus que V (x, m) entre les limites x et X ; et les valeurs de x qui annulleront V (x, m') seront respectivement plus grandes que celles de même r.tng à partir de x qui annulleront V (,r, m").

On peut rendre cette proposition plus sensible en considérant comme au n° VII la courbe, lieu des points pour lesquels on a Y(x,m)=o entre les limites x et X; cette courbe est composée de plusieurs branches qui en seloignant de l'axe des x se portent toujours vers la gauche du côté des x négatives. (Tarez la figure placée à la fin du il» VII. )

Nous désignerons dorénavant par A la différence entre les nombres de changements de signe des deux fonctions V {x, m') et V {x, m").

Il ne faut pas oublier que V ( r, m') aussi bien que V (x, '»")

change de signe pour chaque valeur de x qui l'annulle, et que V (X, m)

change aussi de signe pour chaque valeur de m qui l'annulle; ce qui

- i. , . dV . <TV

resuite de ce que ni — m j- ne peut s évanouir en même temps

que V , à cause de l'équation (4).

On peut dire en d'autres termes que les équations V (x, m')=o, ^ (x, m")=o, V (X, m) = o, n'ont point de racines égales.

Maintenant on remarquera qu'il est permis de regarder la fonction G (x, m') comme une fonction de x tout-à-fait arbitraire, et G {x, m") comme une autre fonction de x également arbitraire, pourvu qu'elle soit pour chaque valeur de x plus grande que la première fonction G ( x, m') ou au moins égale à G {x, ni').

En effet , si l'on se donne à volonté entre les limites x et X deux fonctions G' et G'', telles que pour chaque valeur de x , G" soit toujours plus grande que G', ou au moins égale à G', on pourra toujours concevoir une troisième fonction G (x, m) contenant avec x un paramètre indéterminé m, qui devienne le même que G', quand on attribuera à m la valeur particulière m' , la même que G" quand on fera m-=.m', et qui en outre pour une valeur quelconque de x croisse par degrés insensibles ou du moins ne décroisse pas , lorsqu'on fera croître m d'une manière continue depuis m' jusqu'à m". Il y aura toujours une infinité de fonctions G ( x, m) qui rempliront ces conditions.

La détermination d'une telle fonction G (x, m) revient à celle d'une surface assujettie d'abord à passer par deux courbes données dans deux plans parallèles au plan xz et représentées la première par les équations j-=zm', z:=G', la seconde par les équations j'= m", z = G" , et qui soit telle que dans chacune de ses sections parallèles au plan rz à la distance x, les ordonnées : = G (x, m) croissent toujours en même temps que y = m, depuis G' jusqu'à G", ou du moins ne décroissent pas. Quand pour une valeur de x particulière , G' et G" auront la même valeur, G aura aussi nécessairement cette même valeur.

Parmi toutes les surfaces en nombre infini qui rempliront les conditions prescrites , on peut donner pour exemple , la surface gauche engendrée par une ligne droite indéfinie qui se meut en demeurant parallèle au plan yz et glissant sur les deux courbes données.

Les deux fonctions K {x, m') et K {x, m") peuvent de même être remplacées par deux fonctions arbitraires de x, K' et K", pourvu que K' et K" soient positives entre les limites x et X, et que pour uue même valeur quelconque de x, K" ait toujours une valeur inférieure ou tout au plus égale à celle de K' ; K' et K" ne peuvent être nulles

que pour x = x; pour toute autre valeur de x , K'et K" doivent avoir des valeurs plus grandes que o.

Cela posé, le théorème auquel nous sommes parvenus à la fin du n° X deviendra celui que nous allons énoncer.

Théorème. Soient les deux équations différentielles i(K'f)

fdM'

,dV"

qui ont lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre les deux limites x et X et pour lesquelles on admet les conditions suivantes :

G' est une fonction arbitraire de x donnée entre les limites x etX; G" est une autre fonction de x assujettie à la seule condition d'avoir pour chaque valeur de x une valeur supérieure ou au moins égale à celle de G'. Les deux fonctions K' et K" sont positives pour toutes les valeurs de x comprises entre x et X ( * ). En outre , pour chaque valeur de x, K" doit être inférieure ou au plus égale à

K"~d~x~ K'. On suppose encore que la valeur du rapport — =— pour x=x

ne soit pas plus grande que celle de v,

àv'

(*) K' aussi bien que K" peut être nulle pour x = x, pourvu qu'on ail en même temps

d¥>' d\' dK" dV" , „„„,

-3— .-; h « » — ° ou -7- — — -f- G \ =0 pour .r= x,

dx dx dx ' dx r

selon la remarque qui termine le n° I.

Avril i836. 17

i26 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Ces conditions

„, dX" , •„ dV

dx dx

et — =j — = — ttt — , pour j:== x,

étant admises, la fonction V" s'évanouira et changera de signe autant de fois ou plus de fois que V entre les limites x et X; et si l'on considère par ordre de grandeur à partir de x les différentes valeurs de x qui annullent V et \", les valeurs de x qui annullent V seront respectivement plus grandes que celles de même rang qui annullent V".

Concevons une nouvelle fonction G ou G (x, m) contenant avec x un paramètre indéterminé m, qui devienne la même que G' quand on attribue à m une valeur particulière m' , la même que G" quand on tait /?z=m", et dont les valeurs successives correspondantes à une même valeur quelconque de x, croissent dune manière continue ou du moins ne décroissent pas, quand on fait croître m depuis m' jusqu'à m'. Il y aura toujours une infinité de fonctions G (x, m) qui rempliront ces conditions. Soit de même K ou K (xrm) une autre fonction de x et de m qui devienne égale à K' pour mz=m', à K" pour m=m", et qui décroisse ou du moins ne croisse pas, quand m croît depuis m jusqu'à m" , x demeurant constante. Soit une fonction V déterminée par l'équation différentielle

(KdJ\ d. \ dx) rv

et supposons que pour chaque valeur de m, V ait toujours pour

o: = x un même signe qui soit aussi commun à V et à Y", et que

KTx la valeur du rapport — — pour x = x , d'abord égale à celle

de — rrr— quand m = m', décroisse quand m augmente ou du

~dx~

moins ne croisse pas, et devienne égale à celle de — ^r— quand

m devient m!'. Cela posé, l'excès A du nombre des changements de signe de V" entre les limites x et X sur le nombre des changements de signe de V, est précisément égal au nombre des changements de signe qu'éprouve la fonction V (X, m) lorsque m croît depuis m' jusqu'à m".

D'ailleurs, d'après ce qu'on a dit plus haut, V doit s'évanouir et changer de signe entre les limites x et X au moins autant de fois que V et au plus autant de fois queV", et chaque valeur de x qui annulle V est plus petite que la valeur de x de même rang qui annulle V, et plus grande que la valeur de x de même rang qui annulle V".

Dans la première partie de ce théorème, il n'est pas nécessaire de supposer que les fonctions V et V" aient le même signe pour x = x. A la vérité nous avons admis cette hypothèse dans notre démonstration, ncs IX et X. Mais la première partie du théorème a toujours lieu, quand même les valeurs de V et de V" pour x = x sont de signes contraires; car on peut changer le signe de l'une de ces fonctions, par exemple de V, sans qu'elle cesse de satisfaire à l'équation différentielle

et à la condition — =7— = — =3 — pour x = x.

XII bis.

On a supposé dans tout ce qui précède , q'^e tandis que m croit depuis 7?*' jusqu'à m", la fonction V (x, m) conserve toujours le même

signe pourx=x et que d'ailleurs la valeur de — ^ — pour xz=x diminue ou demeure constante. Mais on peut supposer encore que cette fonction V (x, 7?7,)soit nulle pour x = x quand m=m', ou quand m = m", ou enfin pour toutes les valeurs de 7?z depuis m1 jusqu'à m", sans qu'elle change de signe. On peut étendre le théorème précédent à ces différents cas particuliers, en ayant égard à l'hypothèse adoptée n" VI

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