V KH

sur la valeur de — -^r ou de ■ " ■ pour x = x.

Si l'on suppose V (.r, 7«' ) ou \'=o pour ,r=x, le théorème qui vient d'être énoncé aura toujours lieu, pourvu que l'on considère le

rapport ■ ' comme égal à + :c pour x=x , et qu'on ne tienne pas compte de la valeur x parmi celles qui annullent V, en les comparant avec celles qui annullent V" et V. En effet , on a ici — -=- =o

KdF pour x=x et m = m'; quand m croit au-delà de m , la valeur du

rapport — -~r- pour x = x doit augmenter, en vertu de l'hypothèse

établie n° VI, si V ne demeure pas nulle pour x=x. Donc la valeur

Y de — -Ty- pour x = x, qui est nulle quand m = m', devient plus grande

que zéro, quand m croît au-delà de m'. Alors le rapport in-

verse „ ■ a une valeur positive d'autant plus grande que m diffère moins de m'. C'est pourquoi quand mz=m', on doit considérer la valeur de — ^;— pour xz= x comme égale à -f- oc ; en même temps on

doit omettre la valeur x parmi celles qui annullent V, puisque quand m augmente, la fonction V n'est plus nulle pour .r = x.

Si l'on a V" = o pour xz=x, le théorème subsiste encore en suppo-

sant ■ = — oo pour x = x et en tenant compte de la valeur x

parmi celles qui annullent V". Car quand m est un peu moindre que m",

-y— a pour x = x une valeur négative d'autant plus considérable que m approche plus de m" ; et la fonction V s'évanouit pour une va-

PURES ET APPLIOUÉES.

leur de x un peu plus grande que x, qui diminue jusqu'à devenir égale à x, quand m atteint la valeur m".

Enfin si l'on a à la fois V' = o et V" = o pour .r =x, on doit supposer aussi V = o pour x=.x, pour toutes les valeurs de m entre m' et m", et il faut alors dans l'énoncé du théorème n'avoir égard qu'aux valeurs de x plus grandes que x qui annullent V, V" et V. On a cons-

tamment, dans ce cas,

dV dx

= o pour x = x, quelle que soit m .

La considération de la courbe V(x, m) =0 représentée n° VII peut servir à faire comprendre comment le théorème subsiste dans ces cas particuliers, en adoptant les conventions et restrictions énoncées.

On peut donner encore plus d'extension au théorème précédent, en supposant dans son énoncé que la limite X au lieu d'être constante , augmente insensiblement en même temps que m. Cette extension résulte de la remarque qui a été faite à la fin du n° X , et l'on peut s'en rendre compte par l'inspection delà figure ci-jointe.

On peut sans altérer les fonctions G et K dans l'équation

+ GV = o, (i)

faire varier seulement le rapport de V à K — pour x=- . La formule (4) se réduit alors à

i5o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

La constante C est e'gale à la valeur arbitraire du premier membre pour.r=x, et prendre cette constante positive, c'est supposer que la

valeur du rapport — ^ — pour x = x, que nous dési g aérons par h, diminue , quand m augmente. La démonstration précédente comprend ce cas particulier dans lequel les variations JG et cTK sont nulles. On en conclut que lorsque h diminue, les valeurs de x qui annullent V diminuent par degrés insensibles, et conséquemment , si h augmente, ces mêmes valeurs augmentent.

Désignons par V, et Va deux fonctions qui substituées à la place de V satisfassent à l'équation (I) et en outre aux conditions

V' = °> ~d*-==11 V»=I > ~te —°> P0ur x = x:

la valeur générale de V sera

V = AV, + BVa ,

A et B étant des constantes arbitraires; V, est une valeur particulière de

V qui satisfait à l'équation (I) et correspond à l'hypothèse de h = o. V, est de même une valeur de V eu supposant h = ± co .

Cela posé, on a la proposition suivante : Si l'on fait croître la valeur du

rapport -^=— pour x=xpar degrés insensibles depuis — oo jusqu'à

-{- ce, chaque valeur de x qui annulle V augmente continuellement , en passant par toutes les grandeurs comprises entre deux valeurs consécutives qui annullent V, ; quand h est égale à zéro , on aies valeurs de x qui annullent Vs.

Il suit de là que deux valeurs de x qui anuullent V, comprennent toujours entre elles une valeur de x qui annulle V et n'en comprennent qu'une : elles comprennent aussi une valeur de x qui annulle V, et n'eu comprennent qu'une; et cette valeur de x qui annulle

V est plus petite ou plus grande que celle de même rang qui an-

PURES ET APPLIQUÉES. i3i

nulle V,, selon que la valeur h de —=— pour x=:\ est ne'gative ou positive.

La proposition précédente admet une autre démonstration fort simple.

Soient les deux équations

dxJ + GV = o,

dxJ + GV = o.

dx On en tire , comme au n" II ,

K(v£-'V'gHC. (,o)

La constante C est égale à la valeur arbitraire de l'expression K (V— V'-j- J pour x = x. Cette constante C sera positive si Ton

a —^- < —yr- pour.r = x, V et V ayant d'ailleurs pour àr=x

des valeurs de même signe qu'on peut rendre positives.

Cela posé, soient a et S deux valeurs de x consécutives qui aunullent V. Il résulte de l'équation (10), comme on l'a déjà vu n° II, que

pour ces valeurs de x, -r- ne peut pas être nulle en même temps

que V, et il est aisé de voir que -y- aura des valeurs de signes contraires pour x= a et pour x = 6. En effet, pour les valeurs de x un peu plus grandes que a, V et -7— ont un même signe qui est celui

dV dx

de -7— pour x = a, tandis que pour les valeurs de x un peu plus pe-

tites que ê, Va un signe contraire à celui de -j- pour x = Ç. Mais

V a un même signe pour toutes les valeurs de x comprises entre a

et € .donc -7— a pour .r = £, un signe contraire à celui qu'elle a

pour x = a.

Maintenant l'équation (10) où C est positive, fait voir que, toutes

dV les fois que V est nulle, V a le même signe que -j— . Conséquem-

ment V a pour x = a. et pour x = ë deux valeurs de signes contraires; V s'évanouit donc au moins une fois pour une valeur de x comprise entre a et C.

On reconnaîtra de la même manière que deux valeurs de x consécutives qui annullent V doivent comprendre au moins une valeur de x qui anuulle V.

Donc ces deux fonctions V, V s'évanouiront pour des valeurs croissantes de x, l'une après l'autre alternativement. V s'évanouira la première. Car si l'on suppose que a. soit la plus petite valeur de x qui annulle V, les valeurs de V et de V pour x = x étant toujours censées

positives, la valeur de -3— pour x = x sera négative, puisque V'doit

en s'évanouissant pour x = a passer du positif au négatif; V sera donc aussi négative pour x = &, d'après l'équation (10); mais elle est positive pour x=x ; donc V change de signe et s'annulle pour une valeur de x plus petite que cl, c'est-à-dire que V s'annulle avant V.

Il suit de là que si l'on attribue au rapport -^r- , pour x = X , des

valeurs h de plus en plus petites , les différentes valeurs de x qui annullent V diminueront progressivement : on est ainsi ramené à la proposition du numéro précédent.

Jusqu'ici l'on s'est donné à volonté la valeur du rapport -^ pour

x = x et l'on a supposé celte valeur décroissante ou invariable , tandis que le paramètre ^augmentait j maison peutaussi se donner la valeur de

-=— pour x = X et la faire varier avec m , en conservant d'ailleurs les autres conditions relatives aux fonctions G, K, G', etc. On ramènera ce cas au précédent, en faisant la variable x=a — z, a étant une constante, et considérant toutes les quantités G, K, V, G', etc., qui étaient jusqu'à présent fonctions de x , comme fonctions de la nouvelle variable z qui augmente quand x diminue. La proposition du n° XII deviendra par cette inversion celle que nous allons énoncer et qu'on peut aussi établir directement à l'aide de la formule (5) de la même manière qu'on a démontré celle du n° XII , en s'appuyant sur la formule (4).

Soient les deux équations différentielles

dans lesquelles les fonctions G', K', G", K" remplissent les conditions énoncées n* XII. Si l'on a

K»Ç' > kÂ

dx "^ dx -v

—yô- = -yT" POUr X=&,

la fonction V" doit s'évanouir autant de fois ou plus de fois que V entre les limites x et X, et si l'on considère x comme décroissante à partir de X , les valeurs Je x qui annullent V sont respectivement plus petites que celles de même rang à partir de X qui annullent V".

Soit encore une fonction V telle que

d\\ li)

+ GV = O,

Atril i836. '8

i34 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

G et K étant des fonctions de x et de m qui remplissent les conditions énoncées n° XII. Supposons que tandis que m croit depuis m' jusqu'à m", V ait constamment pour x = X un même signe qui soit aussi

commun à V et à V", et que la valeur de - pour x=X d'abord

égale à celle de — ^ — quand m-=zm'} croisse avec m ou du moins

dV"

K"S" ne décroisse pas et devienne égale à celle de — yp—, quand mdevient

m". Cela posé, l'excès du nombre des changements de signe de V" entre les limites x et X sur le nombre des changements de signe de V est égal au nombre des changements de signe qu'éprouve la fonction VYx, m), lorsque m croît depuis m! jusqu'à m".

Si l'on suppose V' = o pour jc = X, ce théorème aura encore lieu

pourvu que l'on considère — ~p — comme égal à — od pour x=X,

et qu'on ne tienne pas compte de la valeur X parmi celles qui annullent V.

Si 1 on a V"= o pour ,r = X, il faut supposer — ~ô- = -f- oo pour x = X, et tenir compte de la valeur X parmi celles qui annullent V".

Enfin, si l'on a à la fois V = oet V" = o pour ,r = X, on doit aussi avoir constamment V = o pour ar = X, en faisant varier m; et dans ce cas , il faut ne considérer que les valeurs de x plus petites que X qui aunullent V, V" et V.

Si l'on se borne à faire croître par degrés insensibles la valeur du rapport -^-r — pour .r = X, sans altérer les fonctions G et K dans le-

quatiou — f-G\ ==o, on voit que les valeurs de.r qui annullent V augmenteront toutes à la fois. Cette proposition particulière, à

PURES ET APPLIQUEES. i35

laquelle nous pourrions donner plus de développement, correspond à celle du n° XIII.

Les propositions énoncées dans les n01 XII et XV vont nous donner de nouvelles propriétés des fonctions qui nous occupent. Soient encore les deux équations différentielles

dx) + G'V = o,

dx ,dV"

dxi +G'V" = o,

dx où l'on suppose toujours

Quelles que soient les valeurs des rapports -y— > — y?— > soit pour

x = x, soit pour x = X, deux valeurs dex consécutives qui annullent V comprennent toujours au moins une valeur de x qui annulle V".

En effet , soient a et € deux valeurs de x qui annullent V, et supposons qu'aucune autre valeur de x comprise entre a, et S n'annulle

dW" dx~

V. Si V" n'est pas nulle pour j?=a, le rapport — ^— aura pour

x = a une valeur finie plus petite que celle de v, - pour x = a. , qui doit être considérée comme égale à -f- oo , d'après la remarque

faite

ite au n* XII bis. COa peut dire aussi qu'on a - x = ~\-<x> pour

x — a, parce que , a des valeurs positives très grandes pour les valeurs dex un peu plus grandes que a.}

i36 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Alors, d'après le théorème du n° XII, si Ton fait croître x depuis <r jusqu'à £ , la fonction V" s'évanouira nécessairement au moins une fois pour une valeur de x plus petite que la valeur £ qui annulle V.

Il en sera de même, si V" est nulle pour x = a. en même temps que V.

On tirerait aussi la même conclusion dun°XV, en faisant décroître

K'dY

x depuis € jusqu'à a , et considérant — r^ — comme égal à — ce pour

Deux valeurs de x consécutives qui annullent V" ne peuvent pas comprendre plus d'une valeur de x qui annulle V. Car s'il y avait entre elles deux valeurs de x aunullant V, celles-ci comprendraient une nouvelle valeur de a; qui annullerait V" et qui tomberait entre les deux que l'on considère, ce qui serait contraire à l'hypothèse. Cette proposition subsiste dans le cas même où l'une des deux valeurs de x qui annullent V" annullerait aussi V. Il ne peut pas entre ces deux valeurs de x en exister d'autre qui annulle V.

Ces propositions ont lieu, quelles que soient les valeurs des rapports

— —} - x- , soit pour x = x, soit pour x = X. Maintenant, admettons comme dans les nos XII et XV, qu'on ait à la fois

pour x = x

âS" ,dV'

dx > dx- -v-

-yj- = — yr- pour X = X.

Alors V" s'évanouira au moins une fois pour une valeur de x moindre que la plus petite valeur de x au-dessus de x qui annulle V, et aussi pour une valeur de x plus grande que la plus grande valeur de x audessous de X qui annulle V.

On est ramené par là à conclure, conformément à la première par-

tiedu théorème du n° XII, que tandis que x croît depuis la limite x jusqu'à une valeur quelconque a, V" s'évanouit et change de signe entre les limites x et « au moins autant de fois que \ ' et pour des valeurs de x respectivement moindres que celles de même rang qui annullent V. Car tandis que x croît depuis x jusqu'à a , V" s'évanouit au moins une fois avant que x atteigne la plus petite valeur qui annulle V, et d'ailleurs il y a toujours entre deux valeurs de x consécutives qui annullent V au moins une valeur qui annulle V*.

De même, tandis que x croît depuis une valeur & jusqu'à X, V" s'évanouit entre les limites b et X au moins autant de fois que V, et pour des valeurs de x respectivement plus grandes que celles du même rang à partir de X qui annullent V. Car V" s'évanouit pour une valeur de x qui surpasse la plus grande de celles qui annullent \ ', et d'ailleurs deux valeurs de x consécutives qui annullent V comprennent au moins une valeur de x qui annulle V". Cette proposition a été déjà énoncée dans la première partie du n* XV.

Si l'on considère par ordre de grandeur à partir de x les différentes valeurs de x qui annullent V et V", la nicme valeur de x à partir de x qui annulle V sera plus grande que la niim' valeur de x qui annulle Y" et plus petite que la valeur de x qui annulle V d'un rang marqué par n-t-ùk, A désignant comme précédemment l'excès du nombre des changements de signe de V" entre les limites x et X sur le nombre des changements de signe de V. En effet, la n'"" valeur de x à partir de x qui annulle V est plus grande que la valeur de x de même rang qui annulle V", d'après le n° XII , et d'un autre côté , cette valeur de x qui annulle Vest, d'après le n° XV, plus petite que la valeur de x de même rang à partir de X qui annulle V, valeur dont le rang à partir de x est marqué par n -+■ A.

En particulier , si A=i, c'est-à-dire si V" ne s annulle qu'une fois de plus que V entre les limites x et X, chaque valeur de x qui annulle V tombe entre la valeur de x de même rang , à partir de x qui annulle V" et la valeur de x immédiatement supérieure qui annulle aussi V", de sorte que les deux fonctions V" et V s'évanouissent l'une après l'autre alternativement, tandis que x croit depuis x jusqu'à X.

On peut aussi le conclure de ce que deux valeurs de x consécutives qui annullent V doivent comprendre au moins une valeur de x qui .

i38 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

annulle V", n° XVI, et de ce qu'il y a au moins une valeur de x qui annulle V" entre x et la plus petite valeur de x qui annulle V, comme aussi entre X et la plus grande valeur de x qui annulle V.

Si l'on a V' = o ou V" = o pour .r = x ou pour j?=X, ou si l'on a à la fois V' = o et V"=o pour x = \ ou pour ar=X, les propositions précédentes subsisteront , pourvu qu'on ait égard aux observations faites dans les nos XII bis et XV.

Considérons deux valeurs de x quelconques, a et b, entre x et X ( a pouvant être égale àxouèàX). V" ne peut s'évanouir entre les limites a et b qu'une fois de moins que V. Car entre deux valeurs de x qui annullent V, il y a toujours au moins une valeur de x qui annulle V".

V" s'évanouit entre les limites a et b au plus A.Jbis de plus que Y' : car V" s'évanouit au moins autant de fois que V soit entre les limites x et a, soit entre b et X.

Il suit de là qu'entre deux valeurs de x consécutives a et € qui annullent Y'} il ne peut exister plus de A valeurs de x qui annullent Y".

Il peut arriver que V" soit nulle en même temps que V pour x = a: dans ce cas particulier, V" s'évanouit au moins une fois de plus que V, tandis que x croit depuis x jusqu'au-delà de a, et au moins autant de fois que V, tandis que x croît depuis une valeur un peu moindre que £ jusqu'à X. Donc V* s'évanouit au plus A — i fois entre a. et C, sans compter son évanouissement pour x=ci.

On voit de même que si V* était nulle pour x=€ en même temps que V, sans l'être pour x=a., Y" s'évanouirait encore au plus A — i fois entre a et £. Enfin, si V* était nulle en même temps que V poulies deux valeurs a et Ç , il y aurait au plus A — 2 valeurs de x entre a et £ qui annulleraient V".

En adoptant les hypothèses énoncées n° VI, on a reconnu que la

yaleur de la fonction — ;=- pour chaque valeur de x diminue quand

PURES ET APPLIQUÉES. i3g

m augmente, aussi long-temps que V ne s'évanouit pas. Il en sera de

K^ K^ + HV même de l'expression — ^ (- H ou ^ , si l'on désigne par

H une quantité constante ou une fonction de m qui décroisse aussi continuellement quand m augmente. Faisons x=X dans cette fonction

^ qui ne contiendra plus alors d'autre variable que m, et

considérons les changements de signe qu'elle pourra éprouver par la

variation de m.

dV K^ +HV

Cette fonction - — = , où l'on fait x = X, ne peut changer de

signe qu'en devenant nulle ou infinie. Lorsqu'elle devient nulle, on a K-i — }- HV = o, et l'on ne peut pas avoir en même temps V = o, car

alors on aurait à la fois V = o et -7- =0 pour x = \, ce qui est

*S+HV impossible. Puisque la fonction ^ a la propriété de décroître

continuellement tandis que m augmente, elle passe en s'évanouissant du positif au négatif; ensuite m continuant à croître, elle décroit indéfiniment en prenant des valeurs négatives de plus en plus éloignées de o, jusqu'à ce que V devienne nulle à son tour.

Quand V s'annulle pour une valeur de m, on a vu plus haut, n°s VII et VIII, que, pour les valeurs de m un peu plus grandes que

celle-là, V aie signe de —t et pour les valeurs de m un peu plus petites le signe contraire ; ce qu'on peut aussi conclure de ce que — j~ augmente en même temps que m. Donc, quand V s'annulle , la

Kdx+m , fonction ^ change de signe en passant de 1 infini négatif

à l'infini positif ; m continuant à croître, cette fonction recom-

mence à décroître, en prenant des valeurs positives de plus en plus petites, jusqu'à ce qu'elle s'évanouisse derechef pour une nouvelle valeur de m.; en s'évanouissant , elle passera du positif au négatif, puis continuera à décroître jusqu'à l'infini négatif qu'elle atteindra par un nouvel évanouissement de V ; de sorte qu'en général

les deux fonctions V et K -z p- HV s'évanouiront toujours l'une

après l'autre alternativement pour des valeurs croissantes de m..

De là il est aisé de tirer les conséquences suivantes : K ^L + HV

Si la fonction — -^ où l'on fait toujours a? = X, a des valeurs positives pour m = m' et pour m = m'', m croissant depuis m' jusqu'à m", elle doit changer de signe un nombre pair de fois, en passant d'abord par zéro, puis par l'infini, et ensuite par zéro et par l'infini alternativement. Le nombre des valeurs de m comprises entre

m' et m" qui annullent K -3- + HV est donc égal au nombre de celles

qui annullent V ou V ( X, m), et par conséquent, n° XII , à l'excès A du nombre des changements de signe de V(.r, m") ou V" entre les limites x et X sur le nombre des changements de signe de V(,r, m')

ou V. Ces deux fonctions V et K ~-j — |-HV s'évanouissent l'une

après l'autre alternativement , quand m croît depuis m' jusqu'à

dV • •»

m", et c'est K -\ — |- HV qui s'évanouit la première.

Si la fonction — -^= a une valeur négative pour m = m'

aussi bien que pour m = m', elle doit encore changer de signe un nombre pair de fois , en passant alternativement par l'infini et par zéro, et d'abord par l'infini. Ainsi, m croissant depuis m' jusqu'à m",

les deux fonctions V et K -f-HV s'évanouissent l'une après l'autre

alternativement le même nombre de fois , V étant la première qui s'é-

vanouisse; et par suite, le nombre des valeurs de m comprises entre dV dx

m' et m" qui annullent K -j- -f- HV est égal à l'excès A

Si a une valeur positive pour m = m' et une valeur

négative pour m = m", elle doit changer de signe un nombre impair

de fois , en passant alternativement par zéro et par l'infini , et d'abord

par zéro, taudis que m croît depuis m' jusqu'à m" : la fonction

dV K -p-f- HV s'évanouit donc avant V et une fois de plus que V ; le

d\ nombre des valeurs de m entre m' et ?n" qui annullent K — -f-HV est

donc égal à A + 1 .

dV Enfin , si • ^ a une valeur négative pour m = m' et positive pour m = m", m croissant depuis m' jusqu'à m", la fonction

rfV K - — |- H V s'évanouira après V et une fois de moins que V, par

conséquent un nombre de fois marqué par A — 1 .

Dans tous les cas , ces deux fonctions V et K T. — H HV où l'on at-

tribue à x la valeur particulière X, ont une corrélation telle, que deux valeurs de m consécutives qui annullent l'une d'elles comprennent toujours entre elles une valeur de /nqui annulle l'autre, et n'en comprennent qu'une.

Soientfiet/A' deux valeurs de m consécutivesqui'satisfont à l'équation

dV K -j- -f- HV = o pour x = X. Puisqu'elles comprennent entre elles

une valeur de m qui annulle V(X, m) et n'en comprennent qu'une, on en conclut, d'après la 2e partie du théorème dn n°XII, que la fonction V ( x , /*') s'évanouit et change de signe entre les limites x et X une fois de plus que V(x , /*).

Nous ajouterons que cette équation K —■ + HV = o ne peut pas

KTx avoir de racines égales , car elle est la même que — y — f- H = o et

Avril i836. 19

1 on ne peut pas avoir en même temps r— l -^ -f- H I = o, ce qui est le caractère d'une racine multiple, puisque d'après la formule (4),

(ktJ)

£ \ —^- J est toujours négative, et que J^H est par hypothèse négative ou nulle. On peut voir encore qu'on ne peut pas avoir pour une

même valeur de m, K -z — (- HV = o et <--( K -7- + HV j = o , en

dx ' fm\ dx J

ohservant que la formule (4) donne

^V.(K^ + HV)-V^(K^+HV)>opour* = X,

pourvu que cTH soit négative ou nulle.

On a déjà remarqué, n° X, que les équations V(X,w)=oet V(x, m') = o , \(x,fÂ.) = o, etc., n'ont pas non plus de racines égales.

Si l'on remplace la quantité H qui est une constante ou une fonction décroissante de m par une autre quantité H/ aussi constante ou fonction décroissante de m qui pour chaque valeur de m soit plus grande

que H, la fonction = aura toujours une valeur inférieure

dV Kg + h;v-

a celle de r- — — pour chaque valeur de m; et comme ces deux

fonctions décroissent en même temps jusqu'à — ce, tandis que m augmente , la seconde s'évanouira nécessairement après la première , si m croit depuis une valeur quelconque qui rende la première positive jusqu'à la valeur immédiatement supérieure qui annulle V.

Conséquemment , lorsque m croît depuis m' jusqu'à ?n" , ces trois

fonctions V, K -z — (~ HV et K -j- -f- H,V s'évanouissent l'une après

l'autre alternativement dans l'ordre suivant : K -= (- HV s eva-

PURES ET APPLIQUEES. 145

dY dx

nouit toujours immédiatement après \ , K —-\-Hy s'évanouit après

K ^ + HV , et V après K ^ + H,V.

On voit par là que si l'on fait varier H en lui attribuant successivement des valeurs constantes de plus en plus grandes depuis — ocjusqu à-f- 00 ou en la remplaçant par des fonctions décroissantes de m de plus en

dV plus grandes, les diverses valeurs de m qui annullent K -r -\~ HV

augmenteront en passant par toutes les grandeurs comprises entre les valeurs de m consécutives qui annullent V(X, m). On a vu d'ailleurs que les valeurs de x qui annullent la fonction V (x , m) diminuent, quand la valeur attribuée à m dans cette fonction augmente.

Tout ce qui précède s'applique en particulier aux valeurs de m qui

donnent ~y- = o pour :r = X, puisque la fonction K-3-+HV se

dY réduit àK-r-i quand on fait H = o.

Nous avons désigné par h la valeur de — y— pour x = x et admis

que cette valeur h diminue ou reste la même, tandis que m augmente Si en prenant toujours pour G et K les mêmes fonctions de x et de m, on remplace h par une autre quantité ht constante ou fonction décroissante de m , qui pour chaque valeur de m surpasse h d'aussi peu

qu'on voudra , ou sait d'après le n° VI que la fonction -^f- aug-

mentera ou que — -^ diminuera pour chaque valeur de x et en

Kdi

particulier pour x = X. Conséquemment la fonction -^ — f-H ou dV

y où Ion fait x = X, qui conserve la propriété de dé-

>44 JOURNAL DE MATHÉiMATlQUES

croître quaud m augmente, s'évanouira pour de nouvelles valeurs de m un peu plus grandes que celles qui l'anuullaient d'abord , quand

on supposait -^- = h pour x = x .

Pour le voir encore plus clairement, supposons que la fonction K^r + HV où l'on fait ar=X, soit nulle pour tn = /JL, lorsqu'on a

^-- = h pour x = x. Alors la fonction -^- + H ou „ dV

y où l'on fait x=X, étant nulle pour m=fx, et décroissant quand m augmente, est négative pour les valeurs de m plus grandes que/* jusqu'à celle qui annulle V (X, m).

Faisons maintenant * = ht pour x — x, h, surpassant h dune

quantité aussi petite qu'on voudra; la fonction ^ , où l'on

tait .r=X, deviendra plus grande qu'elle n'était avant le changement de h en h£ or elle était mille pour m = /x et négative pour m^>/j.; donc après la substitution de h, à la place de h, cette fonction sera positive pour /«=/* et aussi pour des valeurs de m un peu plus grandes que fj. ; mais m continuant à croître , cette fonction reprendra le siyue — qu elle avait d'abord, puisque son augmentation due au changement de h en ht est aussi petite qu'on le veut , en prenant kt très peu différente de h. Ainsi les valeurs de m qui aunullent la fonction

K^ -f- HV où l'on fait ,r=X, augmentent quand on remplace h

par ht , c'est-à-dire quand la valeur de — ^— pour x = x devient

plus grande. Si au contraire elle devient plus petite (ou si Ton remplace ht par h), on prouvera pareillement que chaque valeur de m

qui annulle la fonction K -±- -f- HV où l'on fait x=X, devient plus petite.

On reconnaît de la même manière que les valeurs de ni qui anuullent V (X, m) augmentent ou diminuent toutes à la fois, selon que la

valeur de v pour x = x devient plus grande ou plus petite, en

considérant qu'alors celle de — -=n- pour x = X diminue ou aug-

dx mente.

Ainsi, lorsqu'on fait varier la valeur h du rapport — ==— pour

.r = x, soit en lui attribuant des valeurs constantes de plus en plus grandes depuis — co jusqu'à + 00, soit en prenant pour h des fonctions décroissantes de m de plus en plus grandes, sans changer les fonctions G et K, les valeurs de m qui satisfont soit à l'équation

dV K -7- -f- HV = pour x = X, soit à l'équation V(X, m) =0, augmentent toutes à la fois.

Les valeurs de m qui satisfont aux deux équations

K— — n\ = o, pour x = x,

dW et K — 4- HV = o, pour.r = X.

augmentent donc en même temps que les quantités h et H, dont chacune est une constante ou une fonction décroissante de m.

Supposons que dans l'équation (I)

■4- GV = o,

on remplace la fonction de x et de m que G représente par une autre fonction G, de x et de m, qui pour chaque valeur de x et de m surpasse G d'une quantité aussi petite qu'on voudra. On peut concevoir, si

l'on veut, que G dépende non-seulement de x et de m, mais encore d'un autre paramètre indéterminé n, et qu'en faisant croître celui-ci, G augmente et devienne G,. Remplaçons aussi K par une autre fonction K, de x et de m qui soit moindre que K d'une quantité aussi pelite qu'on voudra : on peut encore considérer K comme fonction du nouveau paramètre n, et admettre que K devient plus petite et se change en Kt par l'augmentation de n. L'équation (I) deviendra

Supposons enfin qu'on ait — ^ — = ou un peu < — ^— pour

x = x , quelle que soit m , et que d'ailleurs chacun de ces rapports diminue ou demeure constant , quand m augmente.

Cela posé, on conclut du théorème du n° XII, en y remplaçant m par n, que la nouvelle fonction V, doit s'évanouir entre les limites x et X autant de fois ou plus de fois que V , et que chaque valeur de x qui annulle V, est plus petite que la valeur de x de même rang à partir de x qui annulle V. En outre on aura d'après le n° VI pour toute valeur de x plus grande que x

*" dx . dx V, V

-V- < "y" ou ^TyJ > ^'

1 dx dx

Conséquemment en faisant x = X, on aura pour chaque valeur de m

et comme ces deux fonctions décroissent l'une et l'autre quand m

dV K, a-h. + HV,

augmente, ^ , s'évanouira en passant toujours du positif

au négatif pour des valeurs de m un peu plus petites que celles qui

PURES ET APPLIQUÉES. i47

K^ + HV annullent ^ , c'est-à-dire que les racines m de l'équation K,-j-^ + HV, = o sont un peu moindres que celles de l'équation

K - — f- HV = o; proposition qu'on pourrait rendre encore plus évidente par le raisonnement développé dans le numéro précédent. En considérant qu'on a — -jy- > -^y j on reconnaît de même

dx dx

que V, (X, m) s'évanouira pour des valeurs de m plus petites que celles qui annullent V (X, m) (*).

On voit par tout ce qui précède comment l'augmentation ou la diminution de chacune des quantités H, h, G et K, indépendamment de la variationde m, influe sur lesvaleurs de.r qui annullent \(x, /n) entre les limites x et X, et sur les valeurs de m qui satisfont à l'équation

d\ K - — f- H V = o pour x = X.

On a supposé dans tout ce qui précède que H était une quantité constante ou une fonction décroissante de m. Si l'on prend pour H une fonction quelconque de m assujettie à la seule condition de ne pas devenir infi-

Kg KS+HV nie, la fonction -^ f- H ou == où l'on fait x = X, pourra

(*) Par exemple , le problème de la distribution de la chaleur dans une sphère homogène conduit à des e'quations de cette forme

qu'on intègre en supposant V = o pour x — o.

D'après ce qui précède les valeurs de m qui satisfont à l'équation -r- -f- H V = o ,

pour x= X ou à l'équation V (X , m) = o, diminuent quand la quantité n augmente , et si n n'admet pas de valeurs positives , les racines m de ces équations sont les plus petites quand n = o.

tantôt croître, tantôt décroître. En désignant par et et ë deux valeurs

de m consécutives qui annullent V (X, m), cette fonction — =- -f- H

aura toujours pour les valeurs de m un peu plus grandes que a des valeurs positives très grandes et pour les valeurs de m un peu plus pe-

tites que £ de» valeurs très grandes, puisque — .— où l'on fait .r = X passe de — ce à -f- oo, toutes les fois que m atteint et dépasse une valeur qui annulle V (X, ni) : par conséquent K — -f- HV changera de signe en s'évanouissant une fois ou un nombre impair de fois tandis que m croîtra depuis ajusqu'à €; il pourra même arriver que K-j — f- HV s'évanouisse pour d'autres valeurs de m entre a et £sans changer de signe.

KS + HV

On voit aussi que si la quantité ^ est positive pour une certaine

dV valeur de m, K — -f- HV devra changer de signe une fois ou un nombre

impair de fois tandis que m croîtra depuis cette valeur jusqu'à celle immédiatement supérieure qui annulle V (X, m) et que K — -j- HV ne

changera pas de signe ou en changera un nombre pair de fois, tandis que m variera depuis la valeur dontils'agit jusqu'à celle immédiatement inférieure qui annulle V(X, m). D'après cela il est aisé de voir comment on devra modifier les propositions des nos XX. . .XXIII, en supposant que H soit une fonction quelconque de m, au lieu d'être une constante ou une fonction de m décroissante.

Nous avons considéré précédemment les changements de signe qu'éprouve entre les limites x et X la fonction V définie par l'équation différentielle

+ GV = o. (I)

G et K étant des fonctions de a; et de m qui satisfont aux conditions énoncées n° XII.

dV Maintenant nous allons nous occuper de la fonction K-^-+//Vque

nous désignerons par T, p étant une fonction de x ou une constante.

En posant T = K -^ + p\ ,

dT d(Kdx) , dV y d?.

ona Tx= ~~dx r/>s+' dx>

1 \ dxf 1 . , , .

en remplaçant dans le second membre -d~ par la quantité équivalente — GV, et ^ par T~f , on trouvera

Kg-pT + (GK+^-K|)y=o. (x,)

La formule

donne aussi

cTT = ^(Kg)H-^V, d'où l'on tire

T.«fV — V./T = «TV.K^ — V -cT(k^).

En combinant cette dernière formule avec les équations (4) et (5) du n° VI , on aura les suivantes :

TJT — V«JT = C +f*V\£G.dx—f*(^).£K.dx, (12)

T J V — V<f T == C —f* V».cTG . dx +f*(^y • ^K . rfr. (1 3)

Les constantes C et C représentent ici les valeurs de T<TV — VJT pour x = x et pour ,x = X.

Mai i836. 20

ioo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

La formule ( 1 2) fait voir qu'on aura , pour chaque valeur de x ,

TSY — VcTT > 0,

si l'on prend C et cTG positives ou nulles, et cfK négative ou nulle,

comme dans le n° VI (fin étant positive). Alors la quantité ,-jr aug-

mente ou ^ diminue, quand m augmente, car on a

T^V — VcTT = T'.cT (I) = — V.«T (£).

Prendre C positive on nulle, c'est supposer que la valeur de -^ pour

T x=x augmente ou que celle de — diminue, quand m augmente .

ou que l'une et l'autre demeure constante. Nous admettrons en outre

que T ne change pas de signe pour x = x, mais que V(x, ni) peut en

changer.

Cela posé, attribuons km une valeur arbitraire et soit £ une valeur

d\ de x qui annulle T. Comme T représente K -,--{- p\, V ne peut pas

être nulle en même temps que T pour x = £ , puisque si V était nulle,

dV on aurait à la fois V = o et -7- = o pour x = %, ce qui est impossible, n* II. On le voit encore par l'équation (12).

L'équation (12) prouve aussi que eTT ne peut pas être nulle en même temps que T, puisque alors T«TV— VeTT serait nulle, tandis qu'au contraire on a toujours, en vertu de nos hypothèses,

TcfV — VcTT>o.

A cause de T = o , cette inégalité se réduit à

— VÉTT>o;

ainsi quand T = o , «TT ou t-- a un signe contraire à celui de V.

D'ailleurs l'équation (11) fait voir que -r- sera aussi différente de zéro et d'un signe contraire à celui de V, si l'on a pour chaque va-

PURES ET APPLIQUÉES. i5i

leur de or.

gk + />'-k|>o. (,4)

En admettant cette nouvelle hypothèse, toutes les fois qu'on aura T = o pour un système de valeurs de x et de m, les deux dérivées

dT i'T

j- et j— auront des valeurs différentes de zéro et de même signe.

En conséquence, on pourra appliquer à la fonction T tout ce qu'on a démontré dans les n°5 VII. . .Xf sur les changements de signe de V,

en s'appuyant sur ce que les dérivées -y- et 5— ont des valeurs différentes de zéro et de même signe , toutes les fois que V s'évanouit. Puisque T jouit de la même propriété, on en conclura successivement comme on l'a fait pour V, que T change toujours de signe eu s'évanouissant , que les valeurs de x qui annullent T décroissent progressivement quand m augmente, et que si T est nulle pour j?=X et pour une valeur particulière de m, T acquiert pour une valeur de m un peu plus grande un nouveau changement de signe près de la limite X.

De là résulte le théorème suivant.

Soient les équations différentielles

d\'\ ~dx~)

+ G'V = o, 4- G'V"= o, 4- GV = o,

dans lesquelles les fonctions G', K', etc. remplissent les conditions énoncées n° XII. Soit p une fonction de x telle qu'on ait pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x et X,

i5i JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

GK 4- J* — K ^ > o,

p pouvant se réduire à une constante.

Si l'on a pour x = x, „.?' > ^ ,1a fonction

K' — — |-»V"doit s'évanouir etchanger de signe autant de fois ou plus que

K' — + pV, entre les limites x et X, et chaque valeur de x qui an-

nulle K' — — + pV' est plus grande que la valeur de x de même rang

à partir de x qui annulle K" -^ -f- pV".

En outre, si K -z — |-//V a toujours pour ,r = x un signe constant qui soit aussi celui de K' -^ + pT et de K" -^- + p\" pour ar== x , et si la valeur du rapport — jç pour x=x, étant d'abord égale

à celle de — -rrp quand m= m', augmente ou du moins ne di-

minue pas quand m augmente, et devient égale à celle de — -^

quand m = '«", l'excès du "nombre des changements de signe de K" — — f- p" sur le nombre des changements de signe de K' - — (-p\ ' entre les limites x et X , est précisément égal au nombre des changements de signe qu'éprouve la fonction K -j- + pVoù l'on fait a?=X,

lorsque m croît depuis m' jusqu'à m".

Remarques. — Quoiqu'on ait supposé pour établir ce théorème que

PURES ET APPLIQUEES. i55

dY la fonction K -r — \- pV ne change pas de signe pour x = x, et que

dY' dY"

par conséquent K' -j \- pV et K-"-r: + />V" ont le même signe

pour .r = x, cependant la première partie du théorème a lieu, lors

même que les valeurs de K' -z — (- p\' et de K" -, f- pS" pour

x=x sont de signes contraires. En effet, on a la faculté de changer le signe de la fonction V par exemple, sans qu'elle cesse de vérifier l'équation différentielle

et la condition

— w - ~~W' Pour x — x-

En changeant le signe de V, celui de K' -z |-/>V' est changé en

même temps pour chaque valeur de x et en particulier pour x = x. Chacune des fonctions V, V et V peut avoir pour x = o une valeur positive, négative ou nulle, indifféremment.

dY' Si l'on a K'-^— -j- pV = o pour xz=x, le théorème qui vient

d'être énoncé a toujours lieu, pourvu que l'on considère le rapport

,v, comme égal à — oo pour x = x (*) et qu'on ne tienne

K'1sr+j,r'.

(*) En effet, on a — = o pour x = x et m = m': or quand m

augmente, ce rapport (yj doit décroître, et conséquemment devenir négatif:

en sorte que — -y^ a pour xz= x une valeur négative d'autant plus consi-

dérable que m diffère moins de m'.

i54 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

pas compte de la valeur x parmi celles qui annullent K',-, f- pV eu

les comparaut avec celles qui annullent K*^- -hpY'.

Si l'on a K" — (- p\" = o pour x = x , le théorème subsiste en-

V" core en supposant — -j™ = + co pour x=x et en tenant

K' 1Ï- +PV' compte de la valeur x parmi celles qui annullent K" -; hpV".

Enfin si l'on a à la fois K' — -f-pV' — 0 et K"~-\-p\" = o pour

x = x, on doit supposer aussi constamment K -j- + pV = o pour

x—x, tandis que /«croit depuis m' jusqu'à m", et il faut alors dans l'énoncé du théorème n'avoir égard qu'aux valeurs de x plus grandes

que x qui annullent les fonctions K' d— + pV', K" ^ + p\" et

On peut sans altérer les fonctions G et K dans l'équation . . .

2£- h GV = o , faire varier seulement le rapport de V à R -v

pour a- ==x. En supposant toujours GK+p' — K.-^ > o, le théorème du n° XXVI se réduit alors au suivant, dans lequel les fonctions V, et V, sont celles qui ont été définies au n° XIII*

«S Si 1 on fait croître la valeur h de pour x = x par degrés in-

sensibles depuis — m jusqu'à -f- ce , chaque valeur de x qui annulle

dV K. -j--\-p\ augmente continuellement en passant par toutes les grandeurs comprises entre deux valeurs de x consécutives qui annullent K -r-^ + pV, : quand h = o, on a les valeurs de x qui annullent

PURES ET APPLIQUÉES. i55

Il est aisé de voir comment on doit modifier le théorème du n° XXVI , si l'on remplace les conditions énoncées pour la limite x par des conditions analogues pour la limite X. Nous ne donnerons ici qu'une partie du nouvel énoncé.

Soient les deux équations différentielles

dxj + Q'/y''^ 0j

dx et supposons toujours

Si l'on a

dv ~ =—d\-' — — Pour X = X>

dX" la fonction R"-y- -4-pV* s'évanouira entre les limites x et X autant

rfV' de fois ou plus de fois que K' -j- + pV, et pour des valeurs

de x respectivement plus grandes que celles de même rang à

partir de X qui annullent R' -j f-/>V'.

Si l'on a R' -3 \-p\'=o pour x = X, cette proposition subsiste pourvu que l'on considère — —= comme égal à -f- x

i56 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

pour x =='%., et qu'on ne tienne pas compte de la valeur X parmi celles qui annullenl R' -. — \-p\', en les comparant à celles qui ao-

nullent K"^ + pV".

Si l'on a R" -z — \-p\T"=o pour.r=X, il faut regarder „.„

comme égal à — » pour x=~S., et compter la valeur X parmi celles qui annullent V".

Si l'on a en même temps R' -y- + />V = o et R" -, \- p\ " pour

a:==X, il faut dans le même énoncé n'avoir égard qu'aux valeurs

de x plus petites que X, qui annullent R' -z \-pV et R" -j- + Y".

Les théorèmes des n0i XII et XV sur les changements de signe de V et de V", nous ont donné comme corollaires les propriétés développées dans les ncs XVI , XVII et XVIII. Eu appliquant les mêmes

raisonnements aux deux fonctions R'-^-f-pV et R" -5 h />Y",

on déduira des nos XXVI et XXVHI des propriétés de ces fonctions tout-à-fait analogues à celles de V et de V". Il suffira de les énoncer.

V V" Quelles que soient les valeurs de — -r^ et de — -fur, •

soit pour x=.x, soit pour x—X, deux valeurs de x consécutives qui annullent R' -z — (-pV comprennent toujoursau moins une valeur dex qui

aunulle R"^ — f-pV", et deux valeurs de x consécutives qui annul-

dx d

dx "

lent R" ^- -\-p\" ne peuvent pas comprendre plus d'une valeur de x

~, dV T,

qui annulle R' -3 r- />V •

Admettons maintenant qu'on ait à la fois

pour x = x ,

^- — — pour x = X.

dx r dx

dV Alors la nitmt valeur de x à partir de x qui annulle K.' -^ -\-pV, est

dV" plus grande que la ri'm' valeur de x qui annulle K" -j- +/A "et plus

petite qu'une autre valeur de x qui annulle K" -. |- p\" d'un

rang marqué par n + 1 (à partir de x), e désignant combien de fois

K' f- p\" s'évanouit de plus que K.'-t- + /?V' entre les limites

x et X.

En particulier, si 6=1, c'est-à-dire si K." ^--f-pV" ne s'an nulle

qu'une fois de plus que K' — +/?V entre x et X , chaque valeur

île x qui annulle K' -j — \- pV tombe entre la valeur de x de même

rang à partir de x qui annulle K" -f- pV" et la valeur de x im-

d\r" médiatement supérieure qui annulle aussi K" ~^~hp^ "> de sorte

que les deux fonctions K" -z |-/?V" et R ' j^"^"P^' s'évanouissent

l'une après l'autre alternativement , tandis que x croît depuis x jusqu'à X.

Si l'on prend entre x et X des valeurs a et b , K" -3 (- p\' ne

peut s'évanouir entre les limites a et b qu'une fois de moins que K' -j- + p\~' ; d'un autre côté K" -j- -j-p\" s'évanouit entre les limites

a et b au plus ê fois de plus que K' ^ f- p\'. Conséquemment , entre

deux valeurs de x consécutives a et £ qui annullent K' \-pS' ', il ne

peut exister plus de g valeurs de x qui annullent K'— — \-pV". Si l'on avait K" ^— -f- p\" = o, en même temps que K' — (- p\' = o , pour

Mai iS36. 21

i58 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

x = a ou pour x = Ç, K" -3 \- p\" s'évanouirait au plus t — i fois

entre et et Q, sans compter son évanouissement pour x = a ou pour x = 6. Et si K" ~- -+-pV" était nulle en même temps que K' -j- -f pV' pour les deux valeurs aetS, il n'y aurait au plus que e — 2 valeurs de x entre a. et C qui annuleraient K" - f- ^V.

Si l'on aK'^- -r-/>V = o ou K.' ^- + />V" == o pour x = x ou

pour x=X, ou si l'on a à la fois K'^- -+- pV = o et

dV" K" ^- + />V" = o pour ,r = x ou pour x = X , les propositions précédentes subsisteront, pourvu qu'on ait égard aux remarques qui terminent les nos XXVI et XXVIII.

En observant qu'on a

<ir\ V / — V3

il/-™

on peut mettre l'équation

dx dV\

'^ + GV=„, (,)

sous les deux formes suivantes

C$*,+iCgU

On voit ici que si la fonction G est positive comme K entre les liites x et X, — I x ) est constamment négative entre ces limites

*-t3bJ\ positive , et par conséquent en faisant croître x depuis

Kd-1

dx ■ V

x jusqu'à X, la fonction — =■- diminue continuellement et — ^

KTr

augmente.

Quand x en croissant atteint une valeur qui annulle V, on a simplement -j- C — -jtA = ^ , d'où l'on conclut que lors même que G \^TxJ

(*) Ainsi en faisant

l'équation

se transforme dans les

deux

suivantes :

Tx + G +-r=o et = Gz> + R,

qu'on peut réciproquement ramener à l'équation (1). Ces dernières renferment comme cas particulier l'équation de Riccati ; on peut leur appliquer les transformations dont l'équation (I) est susceptible et qui seront indiquées dans le n° XXXV.

i6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

11 est pas positive, — jçT passe toujours du négatif au positif quand

V sevanouit. Cette propriété qu'on a déjà remarquée n° II, n'est pas particulière à la fonction V; car en généra] , lorsqu'une fonction f(x)

d'une variable x s'évanouit, le quotient *-— passe du négatif au positif, f'(x) étant la fonction dérivée de f(x).

m rv -J—

Quand -j- devient nulle pour une valeur de x, — ^ passe eu s'évanouissant du positif au négatif, si G est positive; donc pour cette valeur de x qui annulle -3- , V a une valeur maximum soit positive soit négative , puisque pour les valeurs de x un peu plus grandes que celle-là — prend un signe contraire à celui de V et que pour les valeurs

de x un peu moindres, -- a le même signe que V, ce qui indique une

valeur maximum de V. On peut encore le reconnaître en écrivant l'équation (I), ainsi

K— -1- d-^d-l + GV = 0

dx' dx dx '

r ,, . . . , dX dY

L» étant positive, on voit que quand on a -j- = o, ^— , a un signe

contraire à celui de V, ce qui est le caractère d'une valeur maximum

de V. Cette fonction V ne peut donc point avoir de valeur minimum,

dV quand G est positive ; elle deviendait minimum , si -j- s'annullait pour

une valeur de x qui rendrait G négative.

Désignons par p une quantité constante ou une fonction de x qui décroisse continuellement, tandis que x croit depuis x jusqu'à