X. En supposant toujours G positive , la fonction — f- P ou

doit, d'après ce qui précède, décroître à mesure que x

augmente, aussi long-temps que Vue sevanouit pas. Cette fonction

ue peut changer de signe qu'en devenant nulle ou infinie. Elle devient infinie lorsque V sevanonit; alors elle passe du négatif au positif. Elle

devient nulle quand onaRj+/5V = o; on ne peut pas avoir en

même temps V = o, car alors on aurait V = o et K -v- = o pour la

même valeur de x, ce qui est impossible. Puisque la fonction dV

^ décroit, taudis que x augmente, elle passe quand elle s'évanouit du positif au négatif; puis x continuant à croître, elle décroit indéfiniment en prenant des valeurs négatives de plus en plusconsidé-

rables , jusqu'à ce que V devienne nulle. Alors y devient

infinie et change de signe en passant de — zc à -f- oo ; et x continuant à croître, elle recommence à décroître et prend des valeurs positives de plus en plus petites jusqu'à ce qu'elle s'évanouisse de nouveau ; après quoi elle devient négative jusqu'à ce que V s'annulle :

de sorte qu'en général les deux fonctions V et K -, — \-p\r s'évanouissent l'une après l'autre alternativement pour des valeurs croissantes de x.

dV

En conséquence, si la fonction ^ est positive pour x=x

et pour jc = X, tandis que x croîtra depuis x jusqu'à X, elle ne pourra changer de signe qu'un nombre pair de fois, en passant d'abord par zéro, puis par l'infini, et ensuite par zéro et par l'infini

alternativement. Les deux fonctions K - — f- pV et \ s'évanouissent

donc l'une après l'autre tour à tour un même nombre de fois, et c'est

dV K — -f- p\ qui s'évanouit la première.

.Kd7 + ?y

Si ^ est négative pour x = x et pour x = X, les deux

fonctions V etK— -f- p\ s'évanouiront encore entre ces limitts

i62 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

un même nombre de fois et toujours l'une api'ès l'autre : V sevanouira

la première.

T. dV

• K Tx + ^V Si = a une valeur positive pour x=x et négative pour

x = X , K^ — |-/>V sevanouira une fois de plus que V entre les limites x et X ; d'ailleurs ces deux fonctions s'annullent toujours l'une après l'autre alternativement, et c'est K -y- -f-/>V qui devient nulle la première.

Enfin, si est négative pour x = x et positive pour

dV x = X , K -j- -f- p\ s'évanouira une fois de moins que V entre les limites x et X et V deviendra nulle la première.

Dans tous les cas, deux valeurs de x consécutives qui annullent l'une

de ces fonctions V et K — — f- pY comprennent toujours entre elles

une valeur de x qui annulle l'autre et n'en comprennent qu'une , pourvu que G soit positive et que la quantité p n'augmente pas quand x augmente.

Lorsque G changera de signe entre les limites x et X, ou que p ne

sera pas constante ou fonction décroissante de x, la fonction^- -f- p

pourra tantôt croître, tantôt décroître. Comme en désignant par a. et £ deux valeurs de x consécutives qui annullent V , cette fonction

—y r p a toujours pour les valeurs de x un peu plus grandes que

a des valeurs positives très grandes et pour les valeurs de x un peu plus petites que Q des valeurs négatives très grandes, on voit que la

dW fonction K - — \-p V changera de signe une fois ou un nombre impair

de fois entre aet£, et pourra même eu outre s'évanouir sans changer de

PURES ET APPLIQUÉES. it>5

signe si Ion n'a pas constamment GK+p* — K^>o.On voitaussique

si la quantité = est positive pour une certaine valeur de x,

K — +p\ changera de signe une fois ou un nombre impair de fois dans

l'intervalle compris entre cette valeur de x et celle immédiatement

supérieure qui annulle V , et que K -r -f-//V ne changera pas de signe

ou en changera un nombre pair de fois dans l'intervalle compris entre la même valeur de x et celle immédiatement inférieure qui annulle