V. L'inverse aura lieu , si ^ est négative pour la valeur de
x que l'on considère.
G étant positive, si l'on remplace p par une quantité pt constante ou fonction décroissante de x qui pour chaque valeur de x soit un peu plus grande que p , les valeurs de x qui annulleront la fonction
K ^ — r-/>,V seront un peu plus grandes que celles qui annullent K -z — (- p\ , puisqu'on a pour chaque valeur de x ,
dx , - dx .
et que ces deux fonctions décroissent l'une et l'autre quand .x augmente. On peut au surplus appliquer ici le raisonnement du nu XIX.
Si donc on prend successivement pour p des valeurs constantes croissantes depuis — oo jusqu'à -f- oo , ou des fonctions de x de plus en plus grandes qui décroissent tandis que x croit depuis x jusqu'à X,
chaque valeur de x qui annulle K -j-+^V doit augmenter en même
temps que p , sans cesser d'être seule comprise entre deux valeurs de x consécutives qui annullent V ; celles-ci répondent à p= =fcx . Les
valeurs de x qui annullent -j- répondent àp = o. Chacune d'elles
rend V maximum (n° XXX).
On a supposé depuis le u° XXX, la fonction G positive et p égale à une constante ou à une fonction de x qui décroît, tandis que x croit depuis x jusqu'à X. De là résulte GK + p% — K £ > o. Celle condition (14), la seule à laquelle p fût assujettie dans les nos \XV... XXIX. étant actuellement remplie, en supposant G positiveet/7 constante ou fonction décroissante de x, on peut combiner les propositions de ces n°s XXV... XXIX avec celles des n°s suivants XXX, XXXI et XXXII et en déduire de nouvelles conséquences qu'il nous paraît superflu de développer.
En différentiant plusieurs fois l'équation (I) après l'avoir écrite ainsi :
v d-\ , dK d\ , r>\T
K -y— -f- -,- -j h GV = o ,
dx* ' dx dx
. . . . - . d V rf'V ,
on obtiendra pour toutes les fonctions — , -j-j , etc. . . . des expressions de cette forme Q -7- + RV, Q etR étant des fonctions connues
de x. Par conséquent, si l'on multiplie V, -=- , -7^ , etc. par des fonctions de x arbitraires , la somme des produits pourra se réduire à une expression semblable M - — |- NV. En la mettant sous cette forme
M/v dX , KN,A , , . . KN , • ..
K \K dx + "M V ' et faisant3T = P> on poun"a lui appliquer
ït(kS + ¥v)' et faisantir
les diverses propositions démontrées précédemment sur les change
d\ dx
ments de signe de la fonction K -j--f-/>V, pourvu que p remplisse les
conditions énoncées.
PURES ET APPLIQUÉES. i65
Un peut déduire de la théorie qui précède un grand nombre de conséquences. Celles que nous allons développer suffiront pour faire comprendre le sens et l'usage de nos théorèmes.
Soit donnée l'équation
où L, M, N sont des fonctions de x données entre deux limites x et X. On peut la transformer dans la suivante :
-^- + GV = o, (,6)
en faisant
u = ev.
6 étant une fonction arbitraire de x.
En effet l'équation ( i5) devient en y remplaçant U par 6V,
et on la rend identique avec l'équation (16), en faisant
dK ^ . M
Kdx ~26dJ~T' L '
On tire de là
puis
T d'6 , „ de
G LdF+MT* + *ê
rmdx « ' iL
PMdx
/— r^ï r>idx
= r-e +He dï + e • t-sJ.
Mai .836.
ou enfin ,
On connaît ainsi les fonctions K et G (17) et (18) dans la nouvelle équation (16) qui remplace l'équation (ij)
Si l'on prend la fonction arbitraire G positive entre les limites x et X, U et V s'évanouiront pour les mêmes valeurs de x.
En supposant 9 = 1 , on a U = V, et l'on retombe sur la transformation indiquée au commencement de ce mémoire , n° I , pour ramener l'équation
L$X+M^+JÎV = o
dx* ' dx
à la forme
dX \
**' + GV= o.
dx
Par cette transformation, l'équation (i5) peut toujours être préparée dL dx'
dV'
de telle sorte qu'on ait M = y- . Elle est alors
K/xJ + NU = o.
dx
En y faisant U = 9V, pour la transformer dans celle-ci
on trouve
±£l + GV = o. (.6)
G = N9' + 9. Kd* (*).
(*) La variable indépendante est la même dans l'équation (19) et dans sa transformée (16) obtenue en faisant U = AV. On pourrait encore ramener l'équation (19) à une autre de même forme qui renfermerait la même fonction U en prenant
Si l'on prend en particulier G = -J- \ d'0ù dô = ~"d^L , on aura
et par ces substitutions l'équation proposée
-\^l + NU = o (,9)
sera remplacée par celle-ci
dx que nous allons considérer.
S + GV = o (ai)
Supposons que la fonction G soit positive pour toutes les valeurs de x croissantes depuis une valeur a jusqu'à une autre b.
Prenons une constante G' égale ou inférieure à la plus petite valeur de G dans l'intervalle compris entre a et b , et une autre constante G" égale ou supérieure à la plus grande valeur de G dans le même intervalle , et posons
+ GV = 0,
une nouvelle variable indépendante z dont x serait fonction. Car cette équation (19) deviendrait
d r- L #Ut , ^(dx\
dz~
r L dU-i Kfdx\ Tr
Si par exemple on détermine z de manière qu'on ait — = L ou rfz = —, l'équation (19) deviendra
-r- + LN.U = o.
dz*
i68 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Ces deux équations linéaires à coefficients constants s'intègrent et donnent
V = C sin . 0 \ G' + c') , V" = C" sin . (x \/G" + c").
Quelles que soient les valeurs de V et de -7- pour x — a, on peut
toujours prendre les constantes arbitraires c', c", C, C", telles qu'on ait pour xz=a
dV d\ dV" dV
dx > dx dx <C dx
et que V et V aient pour xz= a, le même signe que V. Si V était nulle pour a: = a,oii prendrait
V = C sin . [(* — a) \ZG>] , V" = C" sin {{x— a) \/W] ,
afin d'avoir aussi V = o et V" := o pour x = a.
Cela posé, il résulte du théorème du n° XII, que la fonction inconnue V s'évanouira entre les limites a et b au moins autant de fois que V et au plus autant de fois que V".
Mais le sinus représenté par V s'annulle pour une suite de valeurs
de x équidifférentes dont la différence constante est r.Vdoit donc
s'évanouir entre a et b , au moins autant de fois que l'intervalle b — a contieut — - = ou autant de fois qu'il y a d'unités entières dans
. On verra de même que V doit s'évanouir entre a et b au
plus autant de fois qu'il y a d'unités dans + 1 .
Conséquemment , lorsqu'en prenant l'iiitervalle b — a de plus en plus grand, le produit [b — a) \ G' deviendra plus grand que tout nombre donné, V s'évanouira pour une infinité de valeurs de x croissantes jusqu'à l'infini. C'est ce qui a lieu toutes les fois que G ne diminue pas jusqu'à zéro , tandis que x croît depuis une valeur a jusqu'à l'infini; et lors même qu'en faisant croître x jusqu'à l'infini, G diminuera jusqu'à o, V pourra encore s'évanouir pour une infinité de
valeurs de x, puisqu'il suffit pour cela que le produit (b — a)\/G' augmente indéfiniment en même temps que b.
On peut prendre la limite b assez rapprochée de a pour que 1 intervalle b — a soit plus petit que ' -. Aloi's si pour x=.a et pour
x = b, Va des valeurs de même signe, V ne s'évanouira pas entre les limites a et b ; mais si V a des valeurs de signes contraires pour x = a et pour x = b,Y s'évanouira pour une seule valeur de x comprise entre a et b.
La principale difficulté de la résolution des équations numériques est, comme on sait , d'assigner des intervalles qui ne comprennent pas de racines ou qui n'en comprennent qu'une. A l'égard des équations V = o qui nous occupent, cette difficulté est réduite par ce qui précède, à celle de déterminer le signe de la fonction V pour diverses valeurs de x suffisamment rapprochées.
ÎN'ous allons donner dans le numéro suivant des formules pour déterminer approximativement les valeurs de x qui aunullent Y.
L'intervalle b — a étaut pris plus petit que — r= . , il ne peut y avoir
entre a et b qu'une seule valeur de x qui annulle V. Il s'agit de déterminer cette valeur, si elle existe.
En posant les équations différentielles
g + GÎV- = o,
% + G"V= o, on peut prendre pour V et V" les expressions suivautes
V = C sin.Lr(<r ayG/ — t'], ] V" = C" sin.[(* — aVG77 — t" \ , J
C, C", t', t!', étant les constantes arbitraires. On peut d'ailleurs supposer les arcs de cercle t', t", compris entre o et tt.
• 7o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
On doit, d'après le théorème du n° XII, remplir les conditions
dT dV kV* dV
dx > dx dx <? dx
-yr- __ y- et yr __ y pour x = a.
Or les valeurs (23) de V et de V" donnent pour x = a ,
d\' dV"
V tangt' V" " tangt"'
En désignant donc par p la valeur (positive ou négative) du rapport
jy pour x = a, il faudra qu'on ait
dx
— }^F >I et J/ÇÏ < L tang t' = p tangj" = p'
On tire de là
tang t1 > p\/Q', tangi" < — py/G' , (24)
pourvu toutefois qu'on prenne tang t' et tang t" d'un signe contraire à celui de p : les quantités t' et t" doivent d'ailleurs être comprises entre o et ir.
On voit d'après l'expression (23) de V qu'on aura la plus petite valeur de x immédiatement supérieure à a qui annulle V en posant
d'où l'on tire
de même la plus petite valeur de x au-dessus de a qui annulle V* est
Cela posé , si l'on désigne par £ la valeur de x immédiatement supérieure à a qui annulle la fonction V, et si cette valeur £ ne surpasse pas b , on aura en vertu du théorème du n° XII.
Les quantités t ', t" comprises entre o et tt étant déterminées par les formules (24)-
Ainsi l'on connaîtra deux limites entre lesquelles sera comprise l'inconnue £ , pourvu que j* tombe entre a et b , comme on l'a supposé.
Si ces deux limites ne surpassent pas£, on sera certain qu'il existe entre elles une valeur de x qui annulle V; cette valeur désignée par ? est d'ailleurs la seule entre a et b qui annulle V.
Si la limite inférieure a-\ — -=. surpasse b , on en conclura que la
fonction V ne s'évanouit pas quand x croît depuis a jusqu'à b.
Mais si b est comprise entre a -f- — = et a H — , on sera dans
l'alternative de savoir si V s'annulle pour une valeur de x comprise
entre a -\ — et b, ou si V ne change pas de signe dans l'intervalle
de a à b; la question serait décidée si l'on connaissait le signe de V pour x = b, comme pour x = a.
Les formules (24 , 25) sont relatives à la valeur a plus petite que la racine cherchée £. On peut établir des formules analogues qui se rapportent à la valeur b plus grande que £.
On présente les valeurs de V et V" qui satisfont aux équations (22), sous cette forme :
V = C sin.[(.* — b) s/V + u], V" = C" sin.[(a? — b) \/G' + u").
On remplit les conditions
dY dY dT d\
dx <C dx dx *> dx ,
Y -y , -yr -y pour xz=b;
en prenant
tang u' > q s/G', tang u" 5 q\/G' , (26)
q désigue la valeur de -7^ pour x = b ; tang u' et tang m" doivent
dx
