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avoir le même signe que q , et l'on prend u! et u entre o et tt. La valeur de x immédiatement inférieure à b qui annulle V est
h — ; celle qui annulle V* est b -==. En désignant toujours
par £ la valeur de x comprise entre a et b qui annulle V, on a, d'après
le n° XX,
« > * - vë " t<h-h- (27)
Si ces deux limites ne sont pas moindres que a, on sera certain qu'il existe entre elles une valeur £ de x qui annulle V.
Si la limite supérieure b ^=. est plus petite que a, V ne pourra
point s'évanouir entre a et b.
Enfin, si a est comprise entre b = et b — -7= , il pourra
se faire que V s'annulle pour une valeur de x comprise entre a et
b -=. , ou bien que V ne s'annulle pas dans l'intervalle de a à b ,
on décidera la question si l'on connaît le signe de V pour x = a
comme pour x = b.
On peut donc par le moyen des formules (24, 25, 26 et 27)
lorsqu'on a deux limites a et b comprenant une seule valeur
de x qui annulle V , déterminer de nouvelles limites a' et b' qui
approchent davantage de cette valeur 0. Pour faire usage de ces for-
mules, il nest pas nécessaire d'avoir la valeur exacte/» de -^t pour
dx x = a; il suffit de connaître par un moyen quelconque une valeur plus petite que p et une autre plus grande que p. Il en est de même pour q.
On obtiendra de nouvelles valeurs encore plus approchées de £ en appliquant les mêmes formules (24,. . .) aux limites a' et b' qu'on vient de déterminer; il faut pour cela calculer, s'il est possible, des
valeurs approchées de -=. pour x = a' ou pour x~b', et prendre
~dx
PURES ET APPLIQUÉES. i73
deux nouvelles constantes G' < G et G" > G dans l'intervalle compris entre a' et b' .
Prenons maintenant pour les limites a et b deux valeurs de x consécutives a et € qui annullent V et supposons que pour x=. a, on ait V'=o, V* = o,enmême temps que V = o.
En prenant la constante G' < G et G" > G dans l'intervalle compris entre a et f, nous aurons
V = C sin . !> - a) V'G7^ , V" = C" sin . [(x — a) v/G"j.
D'après le théorème du n° XII, la valeur £ qui annulle V doit être plus grande que la première valeur de a: au-delà de a. qui annulle V" et plus petite que la première valeur de x au-delà de a qui annulle V, d'où résulte
€ — a > Vg" g - * < 7f
et par conséquent ,
£ étant une certaine valeur de x comprise entre « et ê, et G(^ la valeur de G correspondante à x = %.
On a de même, en désignant par y la valeur de x immédiatement supérieure à C qui annulle V,
y — C = — , £' étant entre C et>.
Supposons que G diminue continuellement jusqu à la valeur ?. , tandis que x croît depuis a jusqu'à b, et soient *,,J», y\ . . les valeurs de x comprises entre a et b qui annullent V; on a alors G(£') <[ G(£) et par conséquent y — ë > Q — a : ainsi les différences entre ces valeurs de x consécutives comprises entre a et b qui annullent V vont
en augmentant et s'approchent de la quantité — z qu'elles ne peuvent
dépasser.
Mai i836. *3
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Cette proposition subsiste lorsque G dimiuue jusqu'à la limite A tandis que x croit depuis la valeur a jusqu'à bz= x . Dans ce dernier cas, si la limite A de G est o, les différences € — a, y — Ç ,. . . deviendront plus grandes que tout nombre donné, quoiqu'il puisse exister encore une infinité de valeurs au-delà de a qui aunullent V.
On voit de même que si G augmente continuellement en s'approchant d'une limite A tandis que x croît depuis a jusqu'à b , b pouvant être infinie, les différences entre les valeurs de x comprises entre a et b qui aunullent V diminuent progressivement et convergent vers
—=: il s'ensuit que si b = x , V s'annulle pour un nombre infini de y/A ^ r
valeurs de x, comme on l'a déjà vu plus haut n° XXXVII ; et si G augmente jusqu'à l'infini en même temps que x, les différences entre ces valeurs finissent par devenir plus petites que toute quantité donnée Ces résultats sont applicables par exemple à la fonction U donnée par l'équation
— 4- - — -4- (r% — — "\ U = o dx x dx \ .r* )
^ dx ' . ( -. n\ TT
qu'on rencontre dans plusieurs problèmes de physique et de mécanique, r et n étant des constantes. M. Poisson a donné dans ses mémoires l'expression de cette fonction en intégrales définies.
La transformation U = —r= (n°XXXVT) donne ici
Lorsqu'on an < *-, G diminue continuellement en s'approchant de la limite r*, tandis que x croit depuis o jusqu'à oo . V ou U doit donc s'évanouir pour une infinité de valeurs de x, dont les différences consécutives vont en augmentant et convergent rapidement vers la limite
- sans pouvoir la dépasser; de plus on a
Ç étant une certaine valeur de .r comprise entre a et £ et conséquemmenl entre a et a + -•
Quand on a « > i, G augmente depuis o jusqu'à r% tandis que x croit depuis la valeur — jusqu'à -f-oc. V doit donc s'évanouir encore pour une infinité de valeurs de x dont les différences diminuent continuellement et tendent vers la constante -qu'elles surpassent toujours : on a de plus
G — a = — , £ tombant entre a et Q. ( 5o)
vr-~w
Lorsqu'on aura calculé à l'aide des formules du n° XXXVIII, quelques-unes des plus petites valeurs de x qui annullent V ou U, les formules (5o) donneront les valeurs suivantes avec assez d'approximation.
Il arrive fréquemment que, dans l'équation générale
dx qui devient
+ GV = o,
en faisant
V — UVL et G = j 7= '• ^L(n«XXXVL,
L y L dxJ K
les fonctions L, N, contiennent avec x une autre indéterminée r,
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et qu'on faisant croître r depuis une certaine valeur jusqu'à -f- x la fonction G est positive et augmente indéfiniment avec /*. Dans ce cas, V ou U s'évanouira autant de fois qu'on voudra entre deux limites a et b, quelque rapprochées qu'elles soient, pourvu qu'on attribue à r une valeur suffisamment grande.
De cette propriété et de la deuxième partie du théorème des nos XII et XV, on conclut encore que, si U a toujours le même signe pour une certaine valeur de x quelle que soit ;-, et si l'on attribue à x une autre valeur particulière quelconque plus grande ou plus petite, cette fonction U ne contenant plus d'autre variable que r, s'évanouira et changera de signe pour une infinité de valeurs de /croissantes jusqu'à l'infini, et d'après le n° XX, il en sera de même tle la fonction L-T--f-HU,
H étant une quantité constante ou une fonction quelconque de r.
Ces propriétés conviennent, par exemple, à la fonction U donnée par l'équation (29); elles auront encore lieu si l'on prend plus généralement
L = h* -f- /'/ + etc. , N = ru' -f- n'f' -f- . ■ . ,
/, n étant des fonctions positives de x sans /•, /', n', l" . . . d'autres fonctions de x tout-à-fait arbitraires, A, A'. . . des exposants quelconques rlécroissants de même que v , v1 . . . et A< v. Si l'on avait ,\ = v ou >• r, U ne pourrait s'évanouir qu'un nombre limité de fois entre a et b quelle que fut r, et en donnant à x une valeur particulière, il n'y aurait qu'un nombre limité de valeurs de r qui pourraient
annuller U aussi bien que L- — (-HU.
Dans les problèmes de physique, l'indéterminée /• ne se trouve ordinairement qu'au i" ou au 2e degré dans N et n'entre pas dansL.
Pour compléter la théorie qui précède , nous allons encore comparer les valeurs des deux fonctions V, V", définies par les équations différentielles
ÇÇ + G"V" = o ,
dans l'intervalle compris entre deux limites a et b, en supposant que ces deux fonctions ne changent pas de sigue dans cet intervalle, et qu'on ait
dY' dY'
~dx~ ^ dx
pour x = a , yTr = -yr ■■
G' et G" sont comme dans le n° XII des fonctions données de x, telles
que G" est > G'.
Ces fonctions V et V" ne changeant pas de signe entre les limites a et b, il est permis pour le but que nous nous proposons de les supposer toutes deux positives entre ces limites. Car si V par exemple était négative, on pourrait changer son signe et la regarder comme positive, sans qu'elle cessât de vérifier l'équation différentielle
rf3v; + G'v'=o,
dx et la condition
dY dV dx dx
v*- — ~W Pour x — a-
Considérons une autre fonction V donnée par l'équation différentielle
rfaV . rxr
*F + GV =°>
G étant comme dans les n°s VI et suivants, une fonction de x et d'une
indéterminée m, qui devienne la même que G' quand on fait m = m ,
la même que G" quand m = m", et qui augmente quand m croit de-
dx puis m' jusqu'à m". Supposons en outre que la valeur de -^- pour
dY
x = a, d'abord égale à celle de -^- quand m = m, décroisse ou du
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moins ne croisse pas quand m augmente et devienne égale à celle dV
de -==- quand m devient égale à m".
Ces conditions étant admises, il ne peut pas arriver que tandis que m croît depuis m' jusqu'à m", la fonction V s'évanouisse pour une valeur de x comprise entre a et b; car dans ce cas V" s'évanouirait pour une valeur moindre, ce qui est contre l'hypothèse. V sera donc constamment positive comme V et V* entre ces limites a et b , et le dV
dx • ...
rapport ■=■ ne deviendra point infini. Mais d'après le n° VI, cette
dV
quantité ^ doit décroître continuellement, tandis que m augmente :
ses valeurs extrêmes sont ■=- et -==y . On aura donc pour chaque valeur de x comprise entre a et b ,
dS" dX'
dx . dx
puis en multipliant par la quantité positive VV", v« Ç - V ?- > o.
On en conclut
d /V dx
c'est-à-dire que le rapport ~s augmente tandis que x croit depuis a jusqu'à b. Si donc on suppose V ~ V" pour x = a on aura
constamment V >■ V" pour toutes les valeurs de x croissantes depuis a jusqu'à b.
On peut arriver au même résultat dune autre manière plus diiecle. Les deux équations différentielles
donnent celle-ci
dx2 dx
ou bien
