v"i-v'S) = (G"Govr. (3l
Par hypothèse, V et V* sont positives entre les limites a et b , et l'on a G' > G'; le terme 'G* — G') V'V" est donc positif et l'on a
d /,T„ dV'
d'où il suit que la quantité V" -3 V -r- augmente, tandis que x
croît depuis « jusqu'à b. Si donc on suppose cette quantité positive ou nulle pour x = a , ce qui donne
dv" <rr
dx dx
ipr = yr pour x = a ,
on aura depuis a jusqu'à b , et par conséquent
d'où l'on conclut comme précédemment, que =™ augmente en même
temps que x, et que si l'on a V ~ V* pour x = a, on aura V > V" pour toutes les valeurs de x croissantes depuis a jusqu'à b.
On trouvera delà même manière que çs diminue tandis que x croît depuis a jusqu'à b, et qu'on a dans cet intervalle V > V", si
l'on a
dY dY
■yir = -yr et V ~ V" pour x = b, au lieu de supposer, pour x = a,
dY dY
-^ = ^ et A >
On parviendra encore aux mêmes conclusions, si "V et V sont
nulles en même temps pour x = a , ou pour x = b , pourvu qu'alors
dY = dY dY = dY' ,
on prenne ^ > -^ pour x = a, ou ^ < -^ pour x = b, en
observant que le rapport ^ devient égal à celui des différentielles
dY dX"
^—' -^.» quand V et V" sont nulles.
On peut, parce qui précède, déterminer dans tout l'intervalle compris entre deux limites a et b des valeurs approchées de la fonction V définie par l'équation différentielle
^+GV = o, (Si)
G étant une fonction quelconque de x, lorsqu'on connaît les valeurs
dV exactes ou approchées de V et de -j- pour x:=.a ou pour xz=b, et
que V ne change pas de signe ou demeure positive entre ces limites.
A cet effet , on déterminera des fonctions V et V" qui vérifient les équations
G' étant une fonction de x ou une constante plus petite que G entre
PURES ET APPLIQUÉES. i8r
les limites a et b , et G" une autre fonction de x ou une constante plus grande que G.
( )n intégrera ces équations (53) en remplissant les conditions
<W dV dx ^> dx im ^ iT
-yr = y et v = v> Pour x = a>
dv" dv ? (34)
~~Y et V"2v, pour * = fl, )
V étant par hypothèse positive entre les limites a et b, V sera aussi nécessairement positive, et si l'on trouve que V" l'est encore, on aura pour toutes les valeurs de x croissantes depuis a jusqu'à b
V < V et V > V".
En outre ^ diminuera et =g augmentera, tandis que x croîtra dans
cet intervalle.
Si l'on intègre les équations (33) en supprimant les conditions (34) pour x = a et les remplaçant par celles que voici pour xz=. b ,
dV' dV
dx *C dx -,r, > T.
yr = y" et V = V'
— > *** et V" < V
pour x = b (35)
On aura encore entre a et £
V < V et V > V;
d'ailleurs ^ augmentera et ^diminuera, tandis que x croîtra depuis
a jusqu'à b.
On peut ainsi, en rapprochant suffisamment les limites a et b et choisissant convenablement G' et G", déterminer pour chaque valeur de x entre a et b , des valeurs V et V" entre lesquelles soit comprise celle de la fonction inconnue V. Par exemple, si G est positive entre
Mai i836. 24
i8a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
a et b et qu'on prenne G' et G" constantes , G' < G et G" > G, on aura pour V une expression de cette forme
V = Csin.r(.r — a)\'(P] + Dcos.[(x — «)v'G'j, ou bien
V = Csin.'(£ — x)\'G\ + Dcos {{b — x)\'G'],
et une expression semblable pour V" ; on déterminera les constantes arbitraires C , D , . . . de manière que les conditions (54) ou (55) soient satisfaites ; alors pour chaque valeur de x entre a et b , la valeur de V sera comprise entre celles de ces deux fonctions trigonométriques V et V" qui pourront différer très peu l'une de l'autre, surtout si G varie peu entre les limites a et b. Si G est négative entre a et b, V et V deviendront des fonctions exponentielles. La courbe inconnue crnd dont l'ordonnée serait V, se trouve par là renfermée entre deux courbes connues c'm'd', c"m"d" ayant pour ordonnées V et V", qui lui servent de limites , pour toutes les valeurs de l'abscisse x croissantes depuis a jusqu'à b , comme l'indique la figure (*).
(*) En intégrant l'équation (3i) entre des limites quelconques, on trouve
„„ dW' ,„ rfV"
V dï - ^ rfF = C + f <G" - G') V'V" dx- C36)
Cette formule coïncide avec l'équation '(g) du n° V, lorsqu'on suppose dans celle-ci et dans les deux équations différentielles dont elle provient, K = i et K' = i.
On peut en s'appuyant sur cette formule (36) , démontrer d'une manière nouvelle la première partie du théorème du n° XII , en y supposant toutefois les fonctions K' et K" réduites à l'unité.
On prouve d'abord que deux valeurs consécutives de x qui annullent V comprennent toujours au moins une valeur de .r qui annulle V".
En effet, supposons , s'il est possible , qu'entre deux valeurs de x consécutives « et S qui annullent V, il n'y ait pas de valeur de x qui annulle V. On peut alors
PURES ET APPLIQUÉES. i83
Les considérations précédentes sur l'équation -j— -|-GV=o peuvent s'étendre avec quelques modifications à l'équation plus générale
^' \ K ~dx J d-V dC
-j — - f- GV=o à laquelle on ramène L -y- ; 4- M -r- -f-NU = o
en faisant U= ÔV, 6 étaut un facteur arbitraire.
supposer ces deux fonctious V et V positives dans l'intervalle compris entre « et ô, puisqu'il est permis de changer le signe de chacune.
Dans l'équation (36), l'intégrale /(G" — G'jY'V'iir prise entre ces limites « et C sera donc positive. La constante C sera positive ou nulle, car elle est égale
. , , , , wdV' .-, dX" „ „
a la valeur du premier membre V — \ -r— pour r = a ; or \ est nulle
r dx dx r
pour x = a , — r— a pour x = ee le même signe que V a pour les valeurs de x un dx
peu plus grandes que u. , c'est-à-dire le signe + ; et en outre V est supposée
positive ou nulle pour .r = «.
On aura donc pour toutes les valeurs de x depuis « jusqu'à £
d\" dX"
1 Ix"^ -dx->°'
et puisque V redevient nulle pour x = C on a
v dX' „
\ — ; — >> o pour x = ».
dx
Donc V" qu'on suppose positive entre les limites et et C ne peut pas être nulle
pour la valeur même x = C , de sorte qu'elle est encore positive pour x = C . Et
,„ dX' „ d\" , . .
puisqu on a \ —j— > o pour x — o , - — devrait être aussi positive pour
• dX' , . .
i = o, mais au contraire - — est négative pour x — £, car la ionction \ passe
du positif au négatif en prenant le signe de -r— quand x atteint et dépasse la
dx
valeur C.
Il est donc absuide de supposer que Y ne change pas de signe entre les limiter,
a. et C , Y" étant ou n'étant pas nulle pour x = a.
Oo pourrait aussi, d'après lesnos XXVI. . .XXXV, établir relativement aux valeurs de x qui anuullent la fonction K — +pV, des propositions analogues à celles que nous avons données pour V. Il nous paraît superflu de nous y arrêter. Nous terminerons par quelques remarques.
Etant donnée l'équation
dV\
si l'on considère la fonction V dans l'intervalle compris entre deux valeurs quelconques de x , a et a -f- i, et ensuite dans un autre intervalle égal au premier compris entre deux autres valeurs c et c-j-i, on peut à l'aide de nos théorèmes comparer les états de cette fonction dans ces deux intervalles.
On démontrera d'une manière semblable à l'aide de la même formule (36) que si l'on a pour une valeur de x désignée par x
.„ d\' „, d\" > dx < dx
