V -j V -r- o ou

dx dx = V V

il doit exister entre x , et la valeur de x immédiatement supérieure à x qui annulle V, au moins une valeur de x qui annuité V".

De ces propositions réunies on conclut la première partie du théorème du n° XII , en y réduisant K' et K" à l'unité.

On peut encore la démontrer de la manière suivante :

Supposons de nouveau , s'il est possible , qu'entre deux valeurs de x consécutives a et C qui anuullent V il n'y ait pas de valeur de x qui annulle V". On peut alors supposer V'et V" positives entre les limites a et f dans l'équation (36); l'intégrale J (G" — G') V'V dx prise entre ces limites sera donc positive. La constante C sera positive ou nulle puisqu'elle est égale à la valeur de V " -— -=—

pour x = *, et que pour * — * , V est nulle , -3— est positive et V" positive

ou nulle.

On a donc pour toutes les valeurs de x croissantes depuis a. jusqu'à C ,

PURES ET APPLIQUÉES. i85

On t'ait d'abord x = a + x' et en désignant par G', K' et V ce que deviennent les fonctions G, K et V par la substitution de a-\-x' a la place de x , l'équation (1) devient

En faisant de même x — a-\-x", elle devient aussi

dx"

On suppose maintenant que a' et x" représentent une seule et même variable croissante depuis o jusqu'à/, et Ton établit la comparaison

a ou V —j— > o pour x = Q ; par conséquent V qu on suppose positive entre

les limites et. et € ne peut pas être nulle et doit être encore positive pour x = S.

„ . v„ dV' v, d\" . d /V'\ . ..

Mais V -r- — V — — > o, donne -7- { tts ) > o. Ainsi , tandis que x croît dx dx dx \V / ^

depuis a. jusqu'à C, la quantité ^ augmente continuellement , sans devenir infinie. Mais pour les valeurs de x un peu plus grandes que a on a — , ^> o,

puisque V et V" sont positives. On devrait donc avoir aussi ^ ^> o pour r =£,

ce qui n'est pas, puisque pour x = Ç , V est nulle par hypothèse et que V* ne peut pas l'être. On ne peut donc pas supposer que V ne change pas de si»,ne entre les limites « et C. On prouvera de même que si l'on a pour x := x

dV" d\~'

dV' dV" > dx~ < dï

djr dx = V = T

en faisant croître .z à partir de x , V devra s'annuller avant V . J)e la résulte

la première partie du théorème dun° 12 , les fonctions K' et K" y étant réduites

i l'unité.

Quoique la démonstration de ce théorème développée dans les d" VII. . .XI soit plus complète et plus lumineuse que celles que nous venons d'indiquer , nous n'avons pas cru devoir les passer sous silence, parce qu'elles peuvent être utiles dans d'autres occasions.

i86 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

eutre V et V". C'est ainsi qu'on peut comparer entre elles deux portions différentes d'une ligne courbe correspondantes à des intervalles égaux pris sur l'axe des abscisses, en superposant ces deux intervalles.

Plus généralement on peut faire successivement x égale à une fonction quelconque d'une indéterminée x , puis à une autre fonction d'une autre indéterminée x". Alors V se changera en une fonction V de x' et en une fonction V" de x". On comparera ensuite V et V" en supposant que x' et x" représentent une seule et même variable indépendante.

La théorie exposée dans ce mémoire sur les équations différentielles linéaires de la forme

L~ -f- M$" + NU — o.

dxx dx '

correspond à une théorie tout-à-fait analogue que je me suis faite antérieurement sur les équations linéaires du second ordre à différences finies de cette forme

LU/+1 -f- MU, + NU,., =f o.

i est un indice variable qui remplace la variable continue x; L, M, K, sont des fonctions de cet indice i et d'une indéterminée m, qu'on assujettit à certaines conditions. C'est en étudiant les propriétés d'une suite de fonctions U0, U,, U„ U3, . . . liées entre elles par un système d'équations semblables à la précédente que j'ai rencontré mon théorème sur la détermination du nombre des racines réelles d'une équation numérique comprises entre deux limites quelconques, lequel est renfermé comme cas particulier dans la théorie que je ne fais qu indiquer ici. Elle devient celle qui fait le sujet de ce mémoire, par le passage des différences finies aux différences infiniment petites. Je dois dire cependant que j'ai trouvé pour les équations à différences finies dont il s'agit , des propositions et des démonstrations spéciales qui ne sont pas susceptibles d'être transportées aux équations différentielles.

Sur les surfaces du second degré </ui n ont pas de foyers: Par M. CHASLES.

Les surfaces du second degré de révolution sont engendrées par la rotation d'une conique autour de l'un de ses deux axes principaux.

L'axe de révolution peut être le grand axe ou le petit axe principal de la conique génératrice; il résulte de là deux classes de surfaces de révolution, qui ont, sous un rapport, des propriétés caractéristiques essentiellement différentes.

Dans le premier cas , la révolution se faisant autour de l'axe qui contient les foyers de la conique génératrice , la surface engendrée a elle-même deux foyers (dont l'un peut être à l'infini, c'est le cas du paraboloide), et un plan directeur correspondant à chaque foyer. De sorte que ces surfaces sont le lieu géométrique d'un point dont les distances à un point et à un plan fixes sont entre elles dans un rapport constant.

Tels sont l'ellipsoïde allongé, l'hyperboloïde à deux nappes , et le paraboloide.

Ces surfaces participent aux nombreuses propriétés des coniques considérées par rapport à leurs foyers. C'est là leur caractère distinctif.

Les surfaces de révolution de la seconde classe sont engendrées par la rotation d'une conique autour de celui de ses deux axes principaux qui ne contient pas ses foyers. Tels sont l'ellipsoïde aplati , l'hyperboloïde à une nappe , et le cylindre parabolique que nous considérons comme engendré par une parabole tournant autour de son a\e principal situé à l'infini.

i88 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES.

Ces trois surfaces, qui sont toujours restées en dehors de l'étude que l'on a faite des trois premières, sont douées, comme celles-ci , d'une propriété générale et caractéristique, qui consiste en ce quelles sont le lieu géométrique d'un point tel que le rapport des distances de ce point à' un point et à une droite fixes soit constant; c'est ce que nous exprimerons par le théorème suivant :

L'ellipsoïde de révolution aplati , l'hyperboloïde a une nappe de révolution , et le cylindre parabolique , jouissent de la propriété que les distances de l'un quelconque de leurs points à un joyer de l'une de leurs sections méridiennes , et à la directrice corespondante à ce foyer, sont entre elles dans un rapport constant , quel que soit le point pris sur la surface.

En effet, cette relation aura lieu pour tous les points de la section méridienne, c'est-à-dire que les distances de chacun des points de cette conique, à l'un de ses foyers F et à la directrice correspondante D. seront entre elles dans un rapport constant u.

Maintenant menons un plan perpendiculaire à la directrice, il coupera la surface suivant un cercle, la conique en deux points m , m', et la directrice en un point d. Si l'on cherche quels sont les points dont les distances au foyer F et au point d sont entre elles daus le rapport p, ces points seront , comme on sait , sur une sphère ; et si l'on demande ceux de ces points qui seront sur le plan coupant, ces points se trouveront sur un cercle; ce cercle passera par les deux points m, m', qui satisfont à la condition commune à tous les points de ce cercle. Ce cercle sera placé symétriquement par rapport au plan de la section méridienne ; il aura donc la droite mm! pour diamètre ; ainsi ce cercle sera précisément le cercle provenu de la section de la surface de révolution par le plan perpendiculaire à l'axe de révolution.

Or les distances des points de ce cercle au point d de la directrice sont aussi les distances de ces points à la directrice elle-même ; donc tous les points de la surface jouissent de la propriété que leurs distances au foyer d'une section méridienne et à la directrice correspondante, sont entre elles dans un rapport constant.

Ainsi le théorème est démontré.

Dans le cas du cylindre parabolique, la section méridienne est la parabole comprise dans un plan perpendiculaire à la direction des

arêtes du cylindre; le rapport^ est alors égal à l'unité; et le cercle compris dans le plan perpendiculaire à la directrice de la parabole se réduit à une ligne droite qui est une arête du cylindre. La démonstration précédente s'applique parfaitement à ce cas particulier.

Les trois surfaces dont nous venons de démontrer la génération commune jouissent d'une autre propriété commune que nous énoncerons d'abord pour l'ellipsoïde et l'hyperboloïde , et ensuite pour le cylindre parabolique.

Dans l'ellipsoïde de révolution aplati , et dans l'hyperboloïde aune nappe de révolution , si l'on conçoit une section méridienne , le cône qui aura pour sommet un foyer de cette courbe, et pour base une section faite dans la surface par un plan quelconque mené parla directrice correspondante à ce foyer, sera de révolution.

Soit 2 cette section. Cette courbe, d'après le théorème ci-dessus, jouit de cette propriété que le rapport des distances de chacun de ses points au foyer F et à la directrice D de la section méridienne , est constant. Si l'on conçoit un plan fixe mené arbitrairement par cette directrice, les distances des points de la courbe 2 à ce plan seront proportionnelles à leurs distances à la directrice ; on peut donc dire que les dislances de chaque point de la courbe 2 , au point F et à ce plan fixe , seront entre elles dans un rapport constant, ce qui prouve que cette courbe est une surface du second degré de révolution qui a un foyer au point F, et pour plan directeur le plan fixe; et par conséquent, d'après la propriété connue des surfaces de révolution à foyers, cette courbe sera vue du point F suivant un cercle; c'est-à-dire qu'elle sera sur un cône de révolution ayant son sommet lu point F.

Ainsi le théorème est démontré.

Dans le cylindre parabolique , si l'on fait une section par un plan perpendiculaire aux arêtes , et que par la directrice de cette courbe, on mène un plan coupant quelconque , le cône qui passera par la section que ce plan fera dans le cylindre et qui aura pour sommet le foyer correspondant à la directrice , sera de révolution.

La démonstration de ce théorème est la même que celle du théorème précédent.

Aux nombreuses propriétés des surfaces du second degré de révolution, relatives à leurs foyers et aux plaus directeurs, correspondent

Mai i83G. 25

i9o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

d'autres propriétés des mêmes surfaces , relatives encore à un point et à un plan, mais qui ne sont plus le foyer et le plan directeur; et ces propriétés s'appliquent à l'ellipsoïde aplati.

Concevons un ellipsoïde de révolution à foyers ; el prenons un point quelconque de son axe de révolution pour centre d'une sphère par rapport à laquelle on formera la surface polaire de l'ellipsoïde (c'està-dire que chaque point de la surface de l'ellipsoïde étant considéré comme le sommet d'un cône circonscrit à la sphère, le plan de la courbe de contact enveloppera une seconde surface du second degré qui est appelée la surface polaire de l'ellipsoïde). Cette surface sera évidemment de révolution et aura, en direction, même axe de révolution que l'ellipsoïde. Aux foyers et aux plans directeurs de l'ellipsoïde correspondront dans cette surface , deux plans et deux points; et les propriétés de l'ellipsoïde relatives à ses foyers et à ses plans directeurs, se transformeront en propriétés de la nouvelle surface, relatives à ces deux plans et à ces deux points.

De là dérivent une foule de propriétés nouvelles des surfaces du second degré de révolution.

On reviendra sur cet objet dans un autre moment.

NOTE

Sur les rayons de courbure des sections coniques ;

Par Abel TKANSOiV

La construction du rayon de courbure des sections coniques, qui est l'objet de cette note, m'a paru mériter d'être connue par son extrême simplicité et aussi parce qu'elle permet de démontrer, saus aucun appareil de calcul, les lois de la gravitation universelle.

Je rappellerai d'abord que Smith, dans son Traité d'Optique, liv. 2, chap. 9 (*), a donné, pour trouver tous les points de la caustique par réflexion d'une courbe quelconque , une construction qui se traduit par la formule

rr' = i r(f -H cl cosi,

dans laquelle 1 représente l'angle d'incidence, r le rayon de courbure de la courbe réfléchissante au point d'incidence , p et />' les distances respectives de ce point au point lumineux et au point correspondant de la caustique.

La foi-mule telle que je viens de l'écrire suppose que les rayons réfléchis soient convergents. Sinon on considérera lequel des deux points conjugués se trouve situé, par rapport à l'élément sur lequel la réflexion a lieu , du côté opposé au centre de courbure de cet élément , et on changera le signe de celle des deux quantités p ou p' qui s y rapporte.

(*) Voyez aussi Y Analyse des infiniments petits de l'Hôpital , section FI.

i92 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

On voit de suite qu'en appliquant cette formule aux foyers d'une section conique, considérés comme points lumineux conjugués, on aura une relation entre les deux rayons vecteurs, l'angle qu'ils font avec la normale, et le rayon de courbure. Cette relation se trouve exprimée pour l'ellipse et l'hyperbole par une même formule

f> f' = arcosi, (A)

dans laquelle ia est le grand axe de la courbe. Pour la parabole on a

2p = rcosi. (B)

Déjà ces formules fournissent des constructions très simples pour les rayons de courbure. Mais nous allons donner une autre formule commune à la fois aux trois courbes.

Premièrement, si l'on considère dans l'ellipse et dans l'hyperbole le triangle formé par les deux rayons vecteurs et la partie de l'axe qui joint les foyers, on aura

4 {a* =p b*) = p* -f- f'* =p 20 f' cos 21 :

les signes supérieurs se rapportent à l'ellipse et les inférieurs à l'hyperbole , et comme cos ai =2 cos H — 1, il vient

4 (a" =p b>) = (f =fc p'Y qp 4P p' cos'/;

observant maintenant que 4«* = (f =t f')', on aura finalement

b* = pp'cos*/,

relation qui convient à la fois à l'ellipse et à l'hyperbole. Eliminant le produit f f' entre cette dernière équation et (A), on trouvera

b' "~ acossi '

ou bien , en appelant A le rayon de courbure au sommet du grand axe^

cos ' i '

Il est facile de prouver que la même relation subsiste dans la para-

PURES ET APPLIQUÉES. i95

bole. En effet, si l'on y considère la normale comme base d'uu triangle isoscèle, ayant pour côtes le rayon vecteur et la partie de l'axe comprise entre le foyer et le pied de la normale, on aura pour la valeur de cette ligne 2p cos i. Mais ensuite comme la sous-normale est constante et égale à la moitié du paramètre ip , cette même

normale est égale à -*—. : on a donc