COS I

1 ros3 :

ce qui, combiné avec (B), donnera finalement

cos' i cosJ i

<( D'après cela,- pour construire le rayon de courbure en un poiut m quelconque d'une section conique, on fixera d'abord les directions * de la normale et de l'un des rayons vecteurs qui se rapportent à ce » point. Sur la direction du rayon vecteur et à partir du point donné » on portera une longueur égale au rayon de courbure de la courbe » au sommet de son grand axe; à l'extrémité de cette longueur on » élèvera une perpendiculaire sur le rayon vecteur jusqu'à rencontre » de la normale; de ce point de rencontre on reviendra au rayon vec- » teur par une ligne perpendiculaire à la normale; du point ainsi » déterminé on élèvera de nouveau une perpendiculaire au rayon » vecteur; et le point où cette perpendiculaire rencontrera la normale » sera le centre de courbure. *>

Je passe au deuxième objet de cette note. Déjà, par la simple composition des forces, on prouve que la première loi de Kepler ou la proportionnalité des aires aux temps , est le résultat de ce que la force motrice des planètes est constamment dirigée vers le Soleil. Avec la relation

A r = — j-., nous sommes en état d'établir les conséquences de la

deuxième loi , sans calcul et en supposant connus seulement les principes fondamentaux du mouvement curviligne.

En effet, si nous supposons que G soit la valeur de la gravitation loEsque la planète est à la distance / du Soleil , i étaut l'angle que fait le rayon vecteur /> avec la normale à la courbe décrite par la planète, cette force de gravitation pourra se décomposer en deux autres; l'une,

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dirigée suivant la tangente à l'orbite, ayant pour effet d'accélérer ou retarder la vitesse; l'autre dirigée suivant la normale, ayant pour effet d'écarter la planète de la ligne droite pour la soumettre à la courbure de l'orbite. Cette dernière force, comme Composante de la gravitation est égale à G cos i. D'ailleurs elle est égale et directement opposée à la force centrifuge dont la valeur est donnée par le théorème d'Huygens ; de sorte que si v est la vitesse actuelle de la planète ,

G cos /' = — ; (a)

ensuite nous observerons que, par la première loi de Kepler, l'aire élémentaire décrite par le rayon vecteur ou -| f cos i ds est proportionnelle au temps, c'est-à-dire égale à Cdt, en représentant par C une constante propre à chaque planète; et vu que j- = v , nous obtiendrons

« COS l v '

combinant (a) avec (#), il vient

f . r. cosJ i

expression très générale qui permettra de calculer G en fonction de p toutes les fois qu'on aura, d'après la nature de la trajectoire, la valeur du produit rcos3/ en fonction de cette même quantité f. Comme les orbites planétaires sont elliptiques et que pour toute ellipse, comme pour toute section conique , le produit rcos'i est constant, ou voit que la gravitation varie pour une même planète en raison inverse du carré de la distance.

Pour ce qui est de la troisième loi de Kepler, on sait qu'il est extrêmement facile d'en tirer cette conséquence que l'attraction solaire serait la même à égalité de masse pour toutes les planètes transportées à une même distance du Soleil. On peut donc considérer la démonstration des lois de la gravitation comme ramenée entièrement à des considérations élémentaires.

PURES ET APPLIQUÉES. f95