Pour déduire des valeurs de p et q celle de l'intégrale

/ e~ -"> v~l f{y)dy, je désigne par g une quantité positive que

l'on prendra aussi petite qu'où voudra; je fais h=g-\-z \/ — 1 dans la valeur de p, et h=g — z\/ — t dans la valeur de q; on aura

p tW=i+sy 1 9(zi/=ï-gy

et, d'après les intégrales définies que représentent/; et q , si l'on fait £ =0 dans la différence p — q, il est évident qu'elle se changera dans l'intégrale demandée. Cette intégrale sera donc la limite de la valeur de p — q par rapport à g; ainsi, en regardant g comme une quantité infiniment petite que l'on fera tout-à-fait nulle à la fin du calcul, ou aura

Mais cette quantité s'évanouit en même temps que g , excepté pour les valeurs de z qui rendent nul le dénominateur <p(z \/ — 1) ; cette intégrale , et par suite celles de

cos zy . f{y)dy, si n zy . f{y)dy, cos z{ y— x) . f{y)dy ,

prises entre les mêmes limites rbic sont doue généralement égales à zéro; et il n'y a d'exception que pour certaines valeurs de z pour lesquelles ces intégrales deviennent infinies. La nature de la quantité

/ cos z(y — x)f(y)dy étant ainsi connue, il s'agit présentement

d'effectuer l'intégration relative à z qui se trouve indiquée dans l'expression de f{x) donnée par la formule de Fourier.

7. Il sera nécessaire, pour cette opération, de conserver la quantité

g dans la valeur de / cos,z{y — x)/(y)dy; nous ferons g=o, après

(*) Voyez pages 3i , 32, 33. Nous avons, sans aucun scrupule, emprunté les phrases mêmes de M. Poisson , inventeur de la méthode.

avoir achevé le calcul; jusque là nous traiterons seulement g comme une quantité infiniment petite. Or il est évident que les portions de l'intégrale relative à z, qui répondent à des valeurs de cette variable infiniment peu différentes des racines de l'équation <p(z \/ — i) = o, sont les seules qui pourront ne pas s'évanouir en même temps que g; si donc nous désignons par p l'une de ces racines, et que nous fassions 3 = p-f-i', il ne faudra donner à la variable z' que des valeurs infiniment petites, positives ou négatives, et prendre successivement pour p toutes les racines positives de l'équation <p(p V^ — 0 = °> on ne prendra pas les racines négatives, parce que, dans l'intégration, la variable z ne doit recevoir que des valeurs réelles et positives; et par la même raison, lorsque l'on prendra la racine p = o, on ne donnera à z que des valeurs positives. Faisons doncs=p + ^', et soit alors

f^e-yV^f{j)dj = Z, f+"e*rV^f(7)dr = Z

d'où il résultera

x cosz{y—x)f(y)dy = - Ze +-Ze

Substituant cette valeur dans l'équation (i), et négligeant la variable z en dehors de Z et Z', il vient

/(*) = ^{efxV~l fZdz' + e-^-'fZ'dz),

2 indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs positives de p, y compris p = o.

Maintenant soit -^- =<p'{h); mettons p + z' à la place de z dans

le second membre de l'équation (2); en traitant a' et g comme des quantités infiniment petites, on aura

fa^/^ldbg) = (:'\ -7=*=§y(p\/=7),

*(zv/=T=fcg) =^(V-î).

et il en résultera

ig*(f\/— i)

teM-='>)<p'(?V/-0'

si donc on prend une quantité positive eT, et qu'on intègre depuis z'= — cf jusqu'à s'=+cT, ou aura

fZd-J

^ / { arc tan» - ,

et dans le cas de p=o, l'intégrale ne devant être prise que depuis z'z=o jusqu'à z' ■==-{- S' , sa valeur sera réduite à moitié. Faisons actuellement g =o; cette valeur de fZidz deviendra

rzdz> = *£î£3.

On en conclura celle de fZ'dz', en y changeant le signe de V7 — 1> et l'on aura

d'où l'on conclut

(-pV=T) '

etxV-> *(,)/=$, rMV-y?t/^)"

4>'(-pt/->)

en se rappelant toutefois que dans la somme 2 on ne devra prendre que la moitié du terme qui se rapporte à p=o.

Si l'on remplace maintenant les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sinus et cosinus, la fonction f(x) se trouvera mise sous la forme demandée

(a) f{x) = 2(A cos f>x + B sin px) ,

A et B ayant les valeurs suivantes :

p'uv/— 0 «p'C— «V — 0'

>(çt/-l

+ (— el/— 0'

<p'(çy/,J ç,'(êy i)

dans lesquelles p désigne une quelconque des racines positives de l'équation transcendante <p(p \/ — i) = o , mais qu'il faudra réduire à moitié dans le cas particulier où Ion aura f = o.

S. Admettons par exemple que pour déterminer la fonction f{j) hors des limites V et l que nous prendrons la première égale à zéro et la seconde quelconque, on se donne les deux conditions /(y) = f{ — y), f(J-\-y)z=. — f(l — y), lesquelles entraînent la condition particulière f(l)z=.o, que nous supposerons remplie. Si l'on multiplie par e~kydy les deux membres de l'équation f(y)-= f ( — y), et qu'on intègre ensuite depuis^'=o jusqu'à y= ce , il viendra

Le premier membre est précisément égal à la quantité représentée cidessus par/) {voyez n° 5), et il est aisé de voir que le second est égala — q; on a donc d'abord p = — q.

En multipliant de même par e~hydy et intégrant les deux membres de l'équation f{l-\-y) = — f(l~~j)> on obtient

f*e-*rf(l+y)dj — f" eh>J{l-S)dy; on a d'ailleurs identiquement

f e~hf(i +y)dr = e"fp — f e~h,f(y)eb'~\>

fo e~^f{l-y)dy =-6-» [q -fy f (y)dy~]; l'égalité précédente devient donc

*t[p--fl<r».fW4r] = «-"[?-/0/^/(rXr]^

et en ayant égard à l'équation p= — q, et posant

Çl(tP&-fl — e«>-»)f(y)dy = *(A), e" -f- e~hl = tp(h),

lii i r +(^) i +( — h)

on en tire tes valeurs de y et o sons la forme /; = -~- , q = — — j- exi-

gée pour le succès de notre méthode. D'après ces valeurs de "^(h), <p{h) , l'équation qui détermine les valeurs de p est cos fl = o, et l'on

, ... w 3tt 5a-

en tire , en se bornant aux racines positives, p = — c = —j, f = —?,.. .. On a de plus,

*0 V/I==^)=2 ^-T/0 sinc(Z-jr)/(j)^,

^'(pV' — i)=2l\/ — i sin p/.

En observant que la quantité sin p(/ — j)=sin p/cospj" — cos//sinpj se réduit à sin pi cos py, puisque cos fl= o , la valeur de ^(p V — i ) devient plus simplement

"Î^PV^m) = 2 ^^ïsmflj ocosfjf(j)dj.

La formule (a) nous donne d'après cela

f(x) = | 2 cos pa^ cos fjf(j)df,

ce qui est exact, en effet, entre les limites x = o, x = l, comme on peut s'en assurer par d'autres méthodes , pour une fonction f{x) assujettie à la condition /"(/) = o.

g. Supposons en second lieu que pour déterminer la fonction f(y) hors des limites V et / que nous prendrons égales et désignes contraires en sorte que l'on ait /'= — l, on se donne les deux conditions

lesquelles renferment implicitement ces deux conditions particulières /(/)=o,/(-Z)=o.

On a identiquement

f*e-»f(l+j)djr = e«[p-floe-*rfir)dJ~],

Jj>\ieii i836. •+

Or, si l'on multiplie par e-^dj, et si l'on intègre entre les limites j = o, / = <* , les deux membres de l'équation /(/+?-)=—/(/—)), il viendra

f~ e-*'f{l-\-y)dj = — f* e-h'f(ù—j)dj.

En remplaçant ces deux intégrales définies par leurs valeurs , on aura

e»p e-"'q = e»f^e->yf(j)dr-e-"f'e^f(j)dr.

En opérant d'une manière semblable sur l'égalité f{—l+j) -\-f{ — / — p) — o, on trouvera de même

,>->— eh'q = e-»f~le-hrf(j)dj — ^£ '/*/&)&>

équation qui du reste se déduit de la précédente, en y changeant /en — I. Ces deux équations ne renferment, outre p et q, que des quantités connues, puisque la fonction /(j) est donnée entre les limites j== — 1} y=-\-lt et il est évident que l'on en déduira les valeurs

de pet q sous la forme p — ^y , q = "jrz%y on continuera ensuite

le calcul comme il a été dit n° 7.

10. Mais sans nous arrêter là-dessus davantage, passons à un autre exemple beaucoup plus intéressant, et qui d'ailleurs comprend le précédent comme cas particulier. A cet effet, posons encore l'= — /, et pour déterminer la fonction f{j) hors des limites y= — /, yz=.-\-l, donnons-nous ces deux conditions

«/(' + x) + dJ^ + m -r) -^^2=0,

ê et Ê' étant deux constantes positives.

Ces deux conditions supposent que la fonction f{x) soit telle que l'on ait

"TET + ^/W = ° Pour x = l>

— Q' f(x) = o pour .r =1 — /;

et nous admettrons qu'en effet ces deux égalités ont lieu.

Cel.i posé, pour obtenir les valeurs de p e\ q , rappelons-nous d'abord que l'on a identiquement

Mettons ensuite , avec M. Poisson (*) , la première des équations (a) sous la forme

multiplions ses deux membres par e~hydj, puis intégrons par parties; nous aurons

e-»f(J+r)+(k+qfe-krf(l+I)dj = C + e-^f{l—y)

+ (h-qfe-»f(l-j)dj.

{*) Journal de l'École Polytechnique, 10/ cahier, page 3o. Cette méthode consiste essentiellement à multiplier par t~bydy et à intégrer depuis y = o jusqu'à y = 00 les deux membres des équations (a) , puis à exprimer toutes les intégrales en fonction de p , q et de quantités connues. En observant que par des

d"F(r) intégrations par parties on ramène l'intégrale de e~h* n dy à l'intégrale de

e-hy p (j-) dy, on comprendra que ce procédé réussirait encore en général et fournirait les valeurs dep, q, si les équations (a) renfermaient, sous forme linéaire, outre la différentielle première df de la fonction désignée parla caractéristique f, les différentielles d"f, d"f d'un ordre quelconque multipliées

par des coefficients constants.

Si les intégrales sont prises depuis y=o, la constante arbitraire C sera égale à zéro, et si elles s'étendent jusqu'à y=x> , les termes qui sont hors du signe f s'évanouiront à cette seconde limite. On aura donc alors

(k+e)f%-*rf(l+j)d7 = (h-è)f'%-»f(l-f)dy,

équation qui devient , en vertu des précédentes ,

(h+Sy'p + (h—ë)e-»q = (h+Ç)ehlfj-hyf(j-)dy

+ vh-ê)e-»floe>yf{y)dj.

Par un procédé semblable ou déduira de la seconde des équations (fi) une autre relation entre p et q, qui s'obtient aussi en changeant dans celle-ci 4° en — £' et / en — /, ce qui donne

(h-€')e-hlP + {h+S')erJq = (k—ë')e-h'f~le-hrf(y)dj

+ {h+€') <r< f~léyf{y)dy ,

De ces deux équations on tirera les valeurs de p et q sous la torme demandée

n-tB a - ttrM r — p{h)' * — *(-*/

en faisant pour abréger

(h+ë)(h+sy"'f'e-y{y)dj—(k—€^h—€y-'h'f~le-hyf(y/ij

^-e)\h+Z)[floe?Ay)dy-f-iêrf{y)dy'] = *(h),

{h+e)(h-\-Z')eM—{h — eXh—Ç')e-'»' = <p(A). L'équation de laquelle dépendent les valeurs de p sera donc

çf » \/ i)

" = (bb' — p*) S;,U2fl -f- (ê -f- €')fCOS?f( = û.

On aura en outre

ip'O \/- l) = [g+g'-f-2/(gg--f')]cOSfZ-[24-2/(g + gQ]fMQ2p/,

et <p'( — p \/ — 1) = <p'(p \/ — 1). Quant aux valeurs de ^(p V — 1) ,

*( — P V — 0> ^ est a*se ^e ^es former; toutefois, je me dispenserai de les écrire à cause de leur complication. Lorsqu'on les aura obtenues, les équations (£) du n° 7 nous donneront les coefficiens A, B; et la formule (a) nous fournira ensuite le développement de f{oc).

1 1 . Les expressions de A et B contiennent en dénominateur la dérivée <p'(p \/ — 1); si donc deux des racines positives de l'équation (p Çp \/ — i) = o se trouvaient égales entre elles, ces coefficiens deviendraient infinis. Mais pour que cette circonstance pût se présenter dans l'exemple que nous traitons, il faudrait que l'on eût à la fois

(Se1— pa)sin3[>Z-f-(6+£')/COS2j^=0> [£+£'|2/(Êg'(-Yjc0s2p/— [2 + 2/(£4- £')] fsin2p/ = o;

égalant entre elles les deux valeurs de tang apZ fournies par ces deux équations, on aurait donc

ou bien

ii{€%— p»)'+2/'(e+e')y + (£+£') (£€'+p*) =0;

or, cette dernière égalité est absurde quand on a £>o, €' > o (comme nous l'avons supposé n° 10), puisque son premier membre est la somme de trois quantités positives; et lorsqu'une des deux constantes Q, £', est nulle, ou lorsque toutes les deux le sont , elle ne peut être satisfaite qu'en posant p=o. L'équation p(p \/ — i)=o n'a donc pas de racines positives égales lorsque les constantes €, &' sont > o; ilestaisé de s'assurer que ce théorème subsiste encore si l'une seulement de ces constantes est nulle, l'autre restant positive, car la racine nulle que prend dans cette circonstance l'équation que nous discutons est évidemment une racine simple; il n'en est plus de même quand on a à la fois £ = 0, C = o: il y a alors une racine triple égale à zéro;

So JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

mais alors aussi les deux quantités "^(7/), <p(h), possèdent le facteur commun A* que l'on doit supprimer pour réduire les fractions p, a, à leur plus simple expression; cette réduction faite, l'équation ? (f V/ — i) =o se trouvera débarrassée de deux de ses racines nulles et n'aura plus que des racines toutes inégales entre elles.

12. Nous avons vu précédemment (n° 10) que la fonction f{x)que nous venons de développer dans la série 2(Acos/>.r-f-Bsinp.r) doit être regardée comme assujettie aux deux conditions particulières

- -j- &f(x) = o pour x = l,

dx df(i

— £'f{x) = o pour x= — /.

Ces deux conditions devrout être satisfaites si l'on remplace f(x) par sa valeur 2(A cosp.r-f-Bsinp.2:) ; mais il est assez remarquable que chaque terme A cosp.r-f-Bsin fx de la série satisfasse isolément à cette relation, en sorte que si l'on pose v = Acos p.r+Bsin f>x, on aura

- — (- Ç,v = o pour xz=l, et t £'f=o pour x = — /(*)•

Les divers termes de la série 2(Acosp.r-{-Bsin f>x) , jouissent de plusieurs autres propriétés remarquables qui sont connues depuis long-temps. Soient par exemple v et v deux termes de la série répon-

vv'dx = o.

En effet , des deux équations -r^ = — fv, g» = — p'V, qui ont évidemment Heu , on déduit

en intégrant il vient donc

{*) Pour la démonstration de ce théorème nous renverrons aux calculs développés à la page 3^ du 19e cahier du Journal de l'École Polytechnique.

PURES ET APPLIQUÉES. 3i

Si maintenant ou prend — / et -\-l pour les deux limites de l'intégrale, je dis que le second membre se réduit à zéro. Pour le montrer, j'ob-

i dv p dv , ,>. , .

serve que pour x = i on a -: — \- kv = o , - — |- b v = o ; or, si après

avoir multiplié la première de ces deux égalités par v1 et la seconde

par v, on les retranche, il en résulte v - t>' — - = o pour r = /;

pour xz= — /ona- £V = o , -7- — £V = o , d'où l'on tire de

même v-~- — v' -r- = o. On conclut de là que le produit dx dx ■ r

/+l vv'dx esl constamment égal à zéro; et par suite, si les

deux racines p et p' sont différentes, on a / vv'dx = o.

/+' vv'dx = o

pour prouverla réalité de toutes lesracinesde l'équation <p(f V — i )=o; nous ne rapporterons pas ici sa démonstration qui est connue de tous les géomètres, et qui d'ailleurs est de pure curiosité dans notre théorie, puisque nous n'avons besoin que des racines positives de cette équation, en sorte qu'il nous importe peu quelle ait ou n'ait pas de racines imaginaires.

i3. Il nous serait aisé de donner beaucoup d'autres développemeus de la fonction f(x) en séries de sinus et de cosinus ; nous pourrions, par exemple, déterminer la fonction f(j) hors des limites — /, -\-l en employant, au lieu des équations Ça), d'autres équations aux différences mêlées qui contiendraient les différentielles de fÇj) d'un ordre supérieur au premier. Mais il serait fort inutile de généraliser ainsi les résultats que nous avons obtenus dans ce Mémoire. Nous n'avons eu pour but que de développer avec soin et de présenter sous un nouveau jour une méthode très ingénieuse à laquelle les géomètres n'avaient pas fait assez attention. Plus tard nous reviendrons sur ce sujet, et en partant d'un autre principe nous montrerons comment

ou peut arriver d'une manière à la fois directe et rigoureuse, nonseulement aux développemens des fonctions en se'ries de sinus et de cosinus, mais encore à ces développemens plus compliqués formés de suites infinies dont chaque terme est l'intégrale d'une équation différentielle du second ordre, et qui se présentent en analyse quand on cherche à déterminer les lois du mouvement de la chaleur dans une barre hétérogène primitivement échauffée d'une manière quelconque (*).

(*) Le Mémoire que j'anuonce ici et qui roule sur les développemens des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre contenant un paramètre variable , a e'te' présente' le 3o novembre dernier à l'Académie des Sciences.

PURES ET APPLIQUEES. 33

MÉMOIRE

Sur une question d Analyse aux différences partielles;

Par Joseph LIÔUVILLE.

(Présenté à l'Académie des Sciences le 17 mars i834-)

La question d'analyse aux différences partielles, à laquelle se rapportent les recherches suivantes, peut être utile dans plusieurs théovies physiques, et spécialement dans celle de la chaleur. Le titre place en tète de ce Mémoire montre assez que je veux la considérer sous un point de vue purement mathématique, abstraction faite de ses applications. Néanmoins, il sera bon d'indiquer en peu de mots la natuee (ies problèmes qui m'ont conduit à m'en occuper.

Les lois de la distribution variable ou permanente du calorique dans les substances solides dépendent, comme on sait, d'une équation aux différences partielles qu'il s'agit d'intégrer, et d'une ou de plusieurs conditions particulières relatives, soit à la surface du corps, soit à l'état initial des températures. Ces conditions définies servent à déterminer les quantités arbitraires introduites par l'intégration de l'équation indéfinie. Lorsque le système dans lequel la chaleur se propage est placé dans un milieu de tempééature donnée, l'équation relative à la surface a pous coefficient d'un de ses termes le pouvoir rayonnant ; et si l'on veut laisser à la question toute la généralité qu'elle comporte, il faut regarder ce pouvoir rayonnant comme une fonction connue quelconque des coordonnées de chaque point de la smface; car en

Ftvr.iEs i8?6 5

supposant même qu'il s'agisse d'un corps homogène, la quantité de chaleur émise au dehors par un élément superficiel de grandeur constante, varie, toutes choses égales d'ailleurs, avec le degré de poli ou la coloration de cet élément.

Lorsqu'on étudie, par exemple, le mouvement de la chaleur dans une harre d'un très petit diamètre, le pouvoir rayonnant doit être regardé comme une fonction arbitraire de l'abscisse ; et si l'on remplaçait cette fonction arbitraire par une simple constante, on restreindrait beaucoup l'étendue de la solution. Au reste, dans le cas d'une barre très mince, l'introduction d'une fonction arbitraire pour représenter le pouvoir rayonnant et même pour représenter la chaleur spécifique et la conductibilité intérieure , ne complique pas beaucoup les calculs, du moins tant qu'on se borne à établir des formules algébriques, sans essayer de les réduire en nombres. C'est ce que j'ai fait voir dans un Mémoire présenté il y a plusieurs années à l'Académie des Sciences , et ce que M. Sturm a prouvé aussi, à peu près à la même époque, par une marche très différente de celle que j'ai suivie, quoiqu'elle conduise aux mêmes résultats. Mais ea général on peut dire que la détermination des lois du mouvement de la chaleur dans un corps solide de forme donnée , se complique beaucoup dès qu'on représente le pouvoir rayonnant h propre à chaque point de la surface de ce corps par une fonction quelconque f{x) de l'abscisse correspondante à ce point. Aussi voyons-nous que jusqu'à ce jour les géomètres ont regardé la lettre h comme exprimant une constante, même dans la théorie des températures terrestres où il serait intéressant d'examiner les effetsproduits par la variabilité de h.

En cherchant à résoudre divers problèmes dans lesquels je regardais la quantité h comme variable, je suis tombé sur la question d'analyse aux différences partielles dont je ferai le sujet de ce Mémoire. Cette question a pour objet de déterminer les coefîiciens des termes successifs d'une série de quantités périodiques, au moyeu dune équation de condition à laquelle cette série doit satisfaire entre deux limites données. - • •

Une des équations de condition dont je parle est, par exemple, de la forme :

(A) 2AMm cosmx-\- f{x) 1\m cos mx=.Y{x),

le sigue S s étendant à toutes les valeurs de m exprimées par les nombres impairs 1,5,5 Lequation (A) doit subsister pour toutes les

valeurs de x comprises entre les limites x=o, ^'=\ '■ les fonctions

f(x) et F(x) sont connues, et il s'agit de déterminer les coefficiens A,, A3, A5,... Am... Cela serait facile par les méthodes ordinaires si l'on avait f{x)=. constante; mais quand /(x) est variable, la chose devient plus délicale.

Il est aisé de trouver dans la Théorie de la Chaleur un problème qui conduise à l'équation (A). Pour cela, généralisons celui que Fourier a résolu dans le chapitre m de son ouvrage. Ce problème a, comme on sait, pour objet d'exprimer le mouvement permanent de la chaleur dans une lame rectangulaire infinie.

Nous supposerons avec l'illustre auteur, que les deux arêtes parallèles et infinies A et C qui comprennent le rectangle, sont retenues par une cause quelconque à la température fixe o°; mais quant à l'arète transversale B, au lieu de la regarder comme entretenue aussi à une température fixe i°, nous admettrons qu'elle rayonne dans un milieu dont la température est donnée pour chaque point , et nous représenterons son pouvoir émissif par une fonction arbitraire variant d'un point à l'autre de B. La lame étant d'ailleurs homogène, si nous plaçons l'origine des coordonnées au milieu de l'arête B, et si nous comptons les abscisses x le long de cette arête, taudis que les ordonnées^- seront comptées dans une direction normale à celle-là, il est visible que la température permanente u qui répond au point M doDt les coordonnées sont .r et^-, sera déterminée par l'équation aux diffé-

rences partielles :

d'u , d'u dx* dy*

En choisissant l'unité de longueur de telle manière que l'arête B , interceptée entre les faces A et C, soit égale à -7r = 3,i4i5 ,

on aura » = o pour jr=rh -, puisque les faces A et C sont entretenues

a o°; à cause de l'action de ces mêmes arêtes, la portion du rectangle située à une distance infinie de.B doit aussi être à o°. Ainsi, l'on doit avoir «=o pour j== + oo. Le long de l'arête B, il y a une autre condition définie, savoir :

k-j- = h(n — 0 pourj'=o de x = — - à x=- ,

les deux quantités positives h et k désignant le pouvoir émissif et la conductibilité intérieure, tandis que £ désigne la température du milieu ambiant. D'après nos hypothèses , h et £ sont des fonctions de x, Nous pouvons donc poser

et l'équation dont il s'agit deviendra

Ty— "/(*) + Ff» = o.

Les fonctions f(x) et F \x) sont jusqu'ici des fonctions quelconques, mais, pour plus de simplicité, nous les regarderons désormais comme des fonctions paires de x, en sorte que l'on ait y( — x) = j (x] , F( — a")=F(.r); la température u sera aussi dès lors une fonction paire de x. Par conséquent la question se réduit à trouver pour la température u une fonction paire de x, qui satisfasse à l'équation

d'u , d7u qui s'annule, quel que soil y quand x= - , et quel que soit x quand

7'=-f-co; et qui, en oulre, lorsqu'on a y — o, satisfasse à l'égalité

g — uf(x) -f- F(x) = o,

pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites o et-.

Or, on trouve que toutes ces conditions seront remplies eu posant u = 2Ame~my cosmx;

m étant un quelconque des nombres entiers impairs i , 3, 5 et

Am représentant une fonction de m tellement choisie que, pour les valeurs de x renfermées entre les limites o et -, on ait

(A) lAmmcos wx -\- f{x) 2Am cos mx = V(x).

Pour déterminer la fonction inconnue Am dontlavaleur de u dépend, il est donc nécessaire de traiter l'équation (A) dans laquelle J(x) est une fonction positive arbitraire de x.

Si la longueur de l'arête B que nous avons supposée égale à 77 , était au contraire égale à 2/, au lieu de l'équation (A), on aurait à traiter une équation de condition de la forme

(B) 2A„. —t cos -g- +J>x) 2Am cos -^- = ¥ (x).

Eu supposant la longueur / infinie, transformant les sommes en intégrales, et substituant à la lettre A„ une fonction <p(9)e/9 de la variable (j= —jk laquelle se rapporte l'intégration, l'égalité précédente deviendra

(C) f" 6<p(9) cos (U-rfO + f(x) f %(9) cos Qx = Y(x).

Il s'agira donc alors de trouver une 'onction <p('â) qui satisfasse à l'équation (C); et cette fonction une fois déterminée, la température u d'un point quelconque du solide, sera fournie par la formule générale

u = f <p(ô>~,f'. cos 9.XY/9.

INous avons restreint tout à l'heure la généralité de notre problème en supposant la chaleur distribuée symétriquement de part et d'autre de l'axe qui s'élève au milieu de l'arête B, normalement à celte arête; admettons maintenant que cette symétrie n'existe pas. Il sera plus commode de placer dans ce cas l'origine des coordonnées au point où les deux faces A et B se rencontrent; d'après cela nous choisirons l'arête A pour axe desj- et l'arête B pour axe des x.

L'équation indéfinie à laquelle la température u doit satisfaire sera

encore

<£r' dj-* '

mais les conditions définies prendront la forme

u = o pour x = o et pour x = «r, u •=. o pour y = -f- 33 t ,jf,

■j- — uf(x)-\-Y{x) = 0, pour 7 = 0, de xz= o à x = 7r.

(Nous n'avons pas besoin d'avertir que la longueur de l'arête B est , comme précédemment, représentée parle nombre rf. La valeur de u qu'on déduit de ces équations est la suivante :

u = 2Aro e~"y sin mx,

m désignant un quelconque des nombres entiers successifs 1, 2, 5,

4, 5 ; et Am étant une fonction de m qui doit être telle que

pour toutes les valeurs de x comprises entre o et ?r, on ait

(D) 2A,„ ?h sin m,r -\~ f(x) 2Amsin/n,r as F(,r).

Pour obtenir la valeur de Am et par suite la valeur de u, il est donc nécessaire de savoir résoudre les équations de la forme (D).

Considérons actuellement l'état permanent de la chaleur dans un cercle dont le contour rayonne dans un milieu de température donnée , et nous tomberons de nouveau sur une équation semblable aux précédentes, quoique un peu plus générale. En effet, soit u la température fixe d'un point quelconque M du cercle; désignons par /• le rayon vecteur OM mené du point M au centre 0, et par x l'angle

PURES ET APPLIQUÉES. 5g

que ce rayon vecteur forme avec une droite invariable OX. L'équation indéfinie du mouvement permanent de la chaleur dans un plan, pouvant, comme on le sait, être mise sous la forme

d7u i du , i d*u

drï + 7,d?~*~?>'dlr~— °'

il s'agira d'abord d'intégrer cette équation. Or, si l'on effectue cette intégration en ayant égard à ces deux circonstances particulières à notre problème, i° que la valeur de u ne devienne pas infinie quand on y fait r=o; 2° que cette valeur reste la même quand on change x en x-\-?.it , on trouvera pour l'expression générale de u

u = 1rm (Am cos mx -\- Bmsinm,r),

m désignant un nombre entier quelconque y compris zéro, et Am, B„ des fonctions inconnues de m. Il reste encore à satisfaire à l'équation relative à la surface, laquelle, en prenant pour unité de longueur le rayon du cercle , est de la forme

k-j--\-h(ii — Ç) = o pour r = i , de x = — yr à xz=.-\-tt,

keth désignant la conductibilité intérieure et le pouvoir rayonnant, tandis que £ représente la température du milieu en contact avec la circonférence du cercle. Nous supposerons que h et £ sont des fonctions données de l'angle x, et nous poserons

En mettant donc, au lieu de u et -r- leurs valeurs dans notre équation définie, elle deviendra

(E) 2™(Am cos wx-f-Bmsin mx) +f(x) 2(A„ cos w.r-f-B„,sin mx)=h\x) ;

et il faudra en faire usage de manière à déterminer les deux coefficients A„ et Bm.

Les cinq équations que nous avons dénotées par les cinq premières lettres de l'alphabet, répondent à un nombre égal de problèmes dont

nous allons essayer de donner la solution. Nous traiterons d'abord le problème (A), qui renferme implicitement (B) et (C) , par deux méthodes différentes qui nous conduiront aux mêmes résullats. La seconde de ces deux méthodes étant plus abrégée que l'autre, c'est elle que nous appliquerons ensuite aux derniers problèmes (D), (E).