FORMULE

Pour la transformation d'une classe d'intégrales définies , Par M. JACOBI.

Dans un des derniers cahiers du Journal de M. Crelle (tome XV, page i), se trouve un mémoire de M. Jacobi sur la transformation des intégrales définies. Ce mémoire renferme une formule remarquable dont nous croyons devoir transcrire ici la démonstration. Soit f{z) une fonction de z développable en série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z et jx0(z) sa dérivée de l'ordre /", i étant un nombre entier positif. M. Jacobi démontre que l'on a

( 1 ) I y(cos x) cos ixdx= — = — TTITT / ■/**' (cos x) smtl xa"x-

L'équation (r) se vérifie immédiatement quand J\z) = \zp, A étant une constante et p un nombre entier positif. En effet si p est < i, les deux membres de cette équation sont alors nuls tous les deux : il en est de même quand , p étant >> /' , la différence p — i est impaire. Enfin, quand p- — / est un nombre pair, la formule (1) , en y faisant f{z) = kzf, devient

(2) / cos^j: cosixdx=p p~\' ' ' ,p~1?' ["ûn^xcosf-'xdx , Jo i-3. ,.(11— 1) J 0

résultat exact, comme on peut s'en convaincre en remplaçant les deux intégrales définies qui s'y trouvent par leurs valeurs connues. L'équa-

i96 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

tion (1) ayant donc lieu quand f{%) = Azp, il est évident quelle a lieu aussi pour une fonction f(z) développable en série de la forme A0 + A,z-(- A,z* -+- etc. M. Jacobi démontre cette équation de plusieurs manières. Nous renverrons à son mémoire les lecteurs qui désireraient de plus grands détails sur ce sujet. Contentons-nous d'observer que, d'après ses calculs , la formule (i) est exacte encore pour

une fonction f(z) non développable en série de la forme

A -+- A,3 + Aaza + etc. : il suffit qu'aucune des quantités f(cosx), f'fcosx),. • • f^~ ° (cos.r) ne devienne infinie lorsque x croît d'une manière continue de o à tt. On voit par là que la formule (2) subsiste lors même que p n'est pas un nombre entier, pourvu qu'on ait p > i — 1 : on la vérifiera aisément par exemple en y posant i= 1 , p = {.

Les intégrales de la forme f ""/"(cos x) cos ixdx se présentent en

analyse lorsqu'on veut développer, comme on a souvent besoin de le faire une fonction de x en série de cosinus. Malheureusement le second membre de la formule (1) renferme la dérivée de l'ordre i de la fonctiou /"(cos x) : la difficulté qu'on éprouve en général à former cette dérivée quand le nombre i est un peu grand , restreindra sans doule beaucoup l'usage de la transformation ingénieuse imaginée par M. Jacobi.

NOTE

Sur le Calcul des inégalités périodiques du mouvement des Planètes,

Par J LIOUVILLE.

(Présentée à l'Académie des Sciences, le 2g février i836) (*).

1. Lorsqu'une planète m! agit sur une autre planète m, elle produit dans le mouvement de cette dernière des inégalités séculaires ou périodiques qui font varier en fonction du temps les constantes arbitraires du mouvement elliptique. Le calcul de ces inégalités dépend du développement en série d'une fonction que Laplace désigne par R dans son ouvrage et qu'il appelle fonction perturbatrice. Les coefficients des divers termes du développement dont il s'agit peuvent être calculés de plusieurs manières. On les exprime , par exemple, en quadratures définies doubles. Je vais montrer que l'on peut quelquefois substituer à ces intégrales doubles des intégrales simples ayant à très peu près les mêmes valeurs , ce qui abrégera , ce me semble , le calcul des inégalités périodiques du mouvement des planètes. Au fond, la méthode dont je propose de faire usage, dépend de quadratures définies doubles, tout aussi bien que la méthode ordinaire; mais ici les quadratures sont rapportées à de nouvelles variables qui permettent d'effectuer, pour ainsi dire , immédiatement, et avec une approximation très grande, l'une des deux intégrations indiquées. Dans chaque cas particulier, on jugera sans peine quels peuvent être les avantages et les inconvénients de ce nouveau procédé.

(*) Voyez le rapport de M. Poisson sur cette Note {Comptes rendus hebdomadaires des séances de V Académie des Sciences. Avril i836).

Je» i836. 26

2. Soient r le rayon vecteur Om mené du centre de la planète m au centre 0 du soleil, a le demi-grand axe, e l'excentricité de l'orbite de cette planète , y son inclinaison sur un plan fixe que nous prendrons pour plan des xy et qui sera , si l'on veut , le plan de l'écliptique à l'époque d'où l'on compte le temps t : désignons par a la longitude du nœud ascendant OA comptée sur le plan des xy à partir de l'axe des x, par v — cl l'angle du rayon vecteur r avec la droite OA et par « la valeur de t>qui répond au périhélie. Si l'on nomme «l'anomalie excentrique , les valeurs de /• et de i>, dans le mouvement elliptique de la planète m , seront données en fonction de u par les équations

/•=a(i — ecos«), tang^(y— co) = >/' ctang^M.

Pour trouver à son tour la valeur de u en fonction de l'anomalie moyenne £ , il faut résoudre l'équation

Z, = u — e sin u.

Enfin , en nommant nt le moyen mouvement de la planète m et é — co la valeur de Ç pour t = o, on a , au bout d'un temps t quelconque , Ç=nt-\-e — u>.

Pour une autre planète m', il existe des formules semblables :

r'=a'(i — e' cosu'), tang^(t'' — co') = . /-- 6, tang \ u', £' = u' — é sin u', £' = n't + e' — a'.

Le cosinus s de l'angle compris entre les deux rayons vecteurs / et r' se calculera aisément d'rprès ce qui précède : en effet on a

s — xx + Jjr + zz' rr '

x, y, z, étant les coordonnées du point m, x', f > z celles du point m!; mais, par les formules connues , si l'on transforme les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires, il vient

x = r[cosacos(f — a) — cos^ sin a sin {y — a)], y = r[sina cos(f — a) + cos> cosa sin(p — a)],

z = r sin 3, sin (e — a),

x? = r'[cosa'cos(y' — a!) — cosy' sin a' sin (y — a')]. y' = ^[sin a'cos(p' — a') ■+- cosy' cosa'sin V — a')], z = r sin 3/ sin (t>' — a') ,

d'où l'on peut tirer la valeur de s en fonction de r, t*. v , v', a, a!,

3. Ces formules du mouvement elliptique des planètes représentent encore leur mouvement troublé par une cause quelconque pourvu que l'on remplace les constantes a , e, co, a., y, g, a', ë, a>'. a! , y', î par des fonctions convenables du temps t : en même temps on écrira fndt au lieu de nt, fn'dt au lieu de rit; et les intégrales fndt, fn'dt que nous désignerons par p, f', représenteront ce qu'on appelle alors les moyens mouvements de m , m'.

Pour déterminer les perturbations que la planète m' produit dans le mouvement de la planète m, il faut développer en série la fouction désignée par R dans la Mécanique céleste et nommée fonctio/i perturbatrice , parce que ses dérivées partielles prises par rapport à x , j , z et précédées du signe — représentent les composantes de la force perturbatrice respectivement parallèles aux axes des x , des r et des z. L'expression de R en fonction de r, r, s est

m rs

r \/ r% -\- r' — irr s

et par conséquent, on doit regarder R comme une fonction périodique de Ç et £", renfermant en outre les éléments elliptiques a, a', e , e', etc. (*).

Cela posé, pour calculer les variations des constantes a, e, a>, a, y, r et du moyen mouvement p, en fonction du temps t, qui sont produites par l'action perturbatrice de la planète m', on se servira des formules

(*) Les inégalités produites par le premier terme — 77- de R étant aisées à calculer par divers procédés , on pourra, si l'on veut, appliquer les raisonnements qui suivent au second terme de R seulement. Il est d'ailleurs naturel de considérer à part ce second terme puisqu'il reste le même (abstraction faite du coefficient numérique m') quand, au lieu d'étudier l'action de m' sur m , on étudie celle de m sur m'.

2oo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

de Lagrauge dans lesquelles les dérivées -j-f , c— , -j-, etc. sont exprimées au moyen des différentielles partielles de R prises par rapport aux éléments de la planète troublée et multipliées par des coefficients dans lesquels le temps t n'entre pas explicitement. On a , par exemple,

rfR

dft

de '

il existe des formules semblables pour les variations des autres éléments.

Quand on néglige , comme nous le ferons dans cette note , le carré de la force perturbatrice, on doit regarder dans le second membre toutes les quantités £, £', a, a', e, e', etc., comme réduites à leurs valeurs elliptiques ; et en désignant par la caractéristique eT les variations éprouvées par ces quantités , on a

dïa

df a"

' dt '

dt "

Si maintenant on développe R en une série de sinus et de cosinus d'arcs multiples de Ç et Ç', le terme de ce développement qui sera indépendant de £ et £' produira seul les inégalités séculaires des éléments de l'orbite de m ; et au contraire les termes contenant sous les signes sinus et cosinus les quantités Ç et £' produiront les inégalités périodiques de ces mêmes éléments.

Si par exemple R contient un terme de la forme M siu(i£ — i'C), i et i- étant deux nombres entiers positifs ou négatifs, ce terme produira dans les valeurs de <Pp, S'a les inégalités respectives

t- T-TTî • cos iiC — if -r-. ^-rr . sin (il — i'C ) ■.

a1 {in — m)' vs v/' an (in — in) v • -'

de même si R contient le terme Ncos(i£ — i'C), ce terme produira dans cff , cTrt les deux inégalités

. sin «T — i%' ) , ..2iri, ,, • cos(£ — i'C) :

\ ' ' ' ' an/ m — in} x ' ' '

a'(in — i'n')' ' S s * '■' an(in — i n )

ces quatre inégalités dépendent du même argument in — i'n'.

4. On peut calculer les valeurs de M et N, correspondantes à un argument donné, par diverses méthodes. En effet, les excentricités e, e' et

1 angle A du plan de l'orbite de m avec le plan de l'orbite de m1 étant de très petites quantités pour les principales planètes , on peut développer la fonction R suivant les puissances croissantes de e , e', sin ~ A, et de la sorte on obtient avec tel degré d'approximation qu'on veut les valeurs de M et N en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons des deux planètes.

En faisant usage de cette méthode , on prouve aisément que les coefficients M et IN qui répondent à l'argument in — i'n' sont de l'ordre ' — i' par rapport aux excentricités et aux inclinaisons (la différence i — i' étant calculée abstraction faite du signe), de manière que si les nombres e , e', sin \ A devenaient infiniment petits du premier ordre, les nombres M etN deviendraient infiniment petits de l'ordre i — F ou i' — i suivant que i est supérieur ou inférieur à i' . Ce théorème remarquable nous sera très utile par la suite.

M. Poisson a donné, pour calculer les valeurs de M et N une méthode qui. dans un grand nombre de cas, est préférable à la précédente. Cette méthode, dont M. Hansen aie premier fait usage dans la théorie de Jupiter et de Saturne, consiste à exprimer les coefficients M et IN par des intégrales définies doubles relatives à £, Ç' et prises entre les limites o et itt.

Je me propose de montrer, dans cette Note, que l'on peut quelquefois remplacer avec avantage les intégrales définies doubles par des intégrales définies simples exprimant les valeurs de M et N non pas rigoureusement, mais avec autant d'approximation que l'on voudra. Les formules auxquelles je suis arrivé reposent sur une anahse très simple.

5. Pour fixer les idées, proposons-nous de calculer les coefficients relatifs à la grande inégalité de Saturne produite par l'action de Jupiter, inégalité qui répond à l'argument 5n — 2n', nt étant le moyen mouvement de Saturne et n't celui de Jupiter. PuisqueRest une fonction de Ç, £' ', représentons cette fonction par F(£, £'); représentons m outre par A le terme du développement de R qui ne contient ni £, ni £', par A, , A,, A3, . . . , B, , B,. B3 , . . . les coefficients des cosinus et des sinus des arcs 5£ — 2^', io£ — 4£'> '5Ç — 8£', . . . que nous nommerons, pour abréger, ô, 28, 3S, ... D'après cela, si l'on pose

F(£, £') = A -f-A,cos9H-Aacos2Ô-f- A3cos3G + . . . -f- B, sin 8 -f- B, sin 28 + B, sin 36 + . . .

F (£, O = A + 2A, cos />8 + 2B, sin p6 + <p (C, Ç) ,

la fonction <p(r, £') ne contiendra aucun terme dépendant de l'argument 5n — a/i' ou de ses multiples. Maintenant faisons £=27,

Ç = 5t , (T désignant une nouvelle variable : il viendra