J = A + 2A, cos/>6 4- 2B,,sin

et il est clair que le développement de <p (ic, 57 j ne contiendra

aucun terme indépendant de a : donc en multipliant par di et intégrant, entre les limites <7 = o, ff=27r, les deux membres de l'égalité précédente , on aura

A + 2A,cos/>6 + 2B,sinp8 = *(6), équation où l'on a fait

La fonction "^(S) est, comme on voit, une fonction périodique de 6, et l'on a

En changeant 6 en — 8 , notre équation devient

A -f- SA, cos/j8 — 2B,sin/>6 = *(— fl) :

combinant cette nouvelle égalité avec celle dont elle dérive, par voie d'addition et de soustraction, et posant

* 8) + *(— 6) = a<sr(0), *(8, — ■*(— 8) = an (8),

on obtient

(1) A + 2A,cos/>8 = <ar(6), (a) 2B, sinp8 = n(8).

PURES ET APPLIQUÉES. ao5

Dans la théorie de Jupiter et de Saturne, on doit regarder comme à peu près insensibles les coefficients A,, B., A3, Bs,. . . dont les deux premiers sont déjà du sixième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Or, en négligeant ces coefficients, il vient

A + A, cos9 = «-(Ô), B, sinô = n(9).

On peut donner à S une valeur arbitraire. En posant par exemple

9 = - , on trouve

A = *,£), B, = ng).

Si l'on veut, dans ces formules, substituer à la fonction «aria fonction-^, on se rappellera que l'équation 'i'(27r+ 6)= ^(9) qui a lieu en général donne

et l'on aura

Si dans l'équation

A + A, cos 9 = m (9) ,

on pose successivement 9=o, 9=7T, puis qu'on ajoute et qu'on retranche l'un de l'autre les deux résultats obtenus , on aura

A = iO(°) + ^M], A, = i[>r(o) — «•(t)],

ou, ce qui est la même chose,

Les valeurs de A sont exactes aux quantités près du sixième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons: celles de A,, B, sont exactes aux quantités près du neuvième ordre j car leurs expressions ne changeraient pas quand même on tiendrait compte des termes A, cos 29, Basin29 négligés tout à l'heure, en continuant à regarder comme insensibles les coefficients A3, Bs, A4, B4,... qui sont au moins du neuvième ordre. En effet , si l'on conserve les termes

2o4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

A, cos 2Q , B„ sin 26 , l'équation (2) doune

B.sinfl + B, sin 28 = n(fl),

d'où résulte, en posant 9 = -,

De même l'équation (1) donne

A -f- A, cos 9 + Aa cos 28 = ^(6; :

faisant donc successivement 8 = o, Ô = tt, puis retranchant les deuT résultats l'un de l'autre , on trouve

ces valeurs de A, , B, coïncident avec celles que nous avons obtenues en premier lieu.

En prenant la dérivée par rapport à 6 des deux membres de l'équation A -f- A, cos 6 -f- A, cos 2S = <ar(8) , on obtient

A, sin8 -+- 2A, sin 28 = — ^ = — <ar'(6) ;

faisant donc 8 = -, on a, au même degré d'approximation que cidessus : A, = — ■■&' (-\

6. Désignons en général par i, i' deux nombres entiers premiers entre eux , le premier étant positif et pour fixer les idées, plus grand que le second qui sera indifféremment positif ou négatif. Posons r=/'cr,

£' = Ï7 — -r, , ce qui donne iÇ — fÇ = 9 , puis représentons par A,,

B, les coefficients de cos p(iÇ — ivÇ') , sin p(iÇ — /'£') dans le développement de R En faisant

puis

* (6) •+■ * (— 0) = **0) , *(fl) — *(— 6) = an (8) ,

PURES ET APPLIQUÉES. ao5

on trouvera , par une analyse semblable à celle employée ci-dessus ,

(3) A + 2A,cos/>6 = <v(6),

(4) 2BP sin /jfl = n (6) :

les coefficients Ap , B, sont de l'ordre p (i — ï ) : si donc on néglige les quantités de l'ordre 2(1 — /'), on aura simplement

A + A, cosô = <sr(Ô), B, sinâ = n(G),

d'où Ton conclura , sans difficulté,

ou A = { [<ar(o) + *•(*■)] == *[* (o) + * (*)] ,

puis A, = i (W(o) — «r (*)] = |t* (o) — * (*)] ,

Les valeurs de A,, B, sont même exactes aux quantités près de l'ordre 3(i — i'); car elles ne changeraient pas si l'on tenait compte des termes Aacos2Ô, B.sinsQ, en continuant à négliger les termes suivants : A3 cos 36, B3 siu 36 , • • • qui sont au moins de l'ordre 3(Z — i'). Ces formules A, = i[^(o) — "^OO], etc. sont d'autant plus exactes que la différence (i — i') est plus considérable et l'on pourra, ce me semble, en tirer parti, dans la théorie des planètes, pour la détermination des inégalités à longue période.

7. Si dans le calcul des coefficients A, A,, cîc. , on veut négliger seulement les termes de l'ordre q(î — if), voici quelle marche on pourra suivre (*).

(*) Trouver les valeurs de A, A, , etc., qui satisfont aux équations (3) et (4), aux quantités près de l'ordre q {i — i'), c'est-à-dire en négligeant les quantités dont l'ordre est = q ou><? (ce qui réduit les premiers membres de ces équations à un nombre limité de termes), est un problème indéterminé comme tous les problèmes d'interpolation. Quel'ondonne à dun nombre suffisant de valeurs particulières, choisies arbitrairement , et l'on formera par là autant d'équations qu'il en faut pour déterminer toutes les inconnues A, A,, etc. Chaque équation obtenue de la sorte est, pour ainsi dire, une observation à laquelle ces inconnuesdoivent satisfaire. Quand les Juin i836. ' 27

ao6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Los q valeurs de \A sont, comme on sait,

iir . . i . iit Lit / . Lit

i , cos r- V — i sin — , cos - V- y — i sin— ....

cos — - h \/ — i sin — — .

La somme des puissances p'm" de ces racines est égale à q ou à zéro, suivant que p est ou n'est pas un multiple de q. On a donc , en supposant p > o et différent de q, iq, etc. ,

,+(cos-+\/— i sin— )+... + (cos -a^+\/--i sin -a—-!-) 0>

ou , ce qui est la même chose ,

î -+- cos J- — h cos S— ■+• . . . + cos -^ '-*— = o ,

. 2HT . • Lpit , ■ i{q — i)px

sin -=- — r- sin — r- ... -4- sin — ^-£— = o :

la dernière de ces égalités subsiste même quand p est nul et quand p est égal à un multiple de q. Cela posé, reprenons l'équation

•* (8) = A + 2A, cos pd + 2B, sin pu ; faisons- y successivement § = o, ô = — , 6 = — ,... 6= ^~t-)ir

puis ajoutous tous lec résultats obtenus ; le coefficient de A et celui de A,, A,,, etc., seront égaux à q, et les coefficients des autres termes seront nuls : par suite il viendra

7(A+A,+A1,+etc.) = ^(o)4-^(|)+^)+. • .+4fi£^],

seconds membres v (5), n(fi) sont connus en nombres pour une valeur particulière de h telle que 3,, il est naturel de ranger les équations que produit l'hypothèse 8=6, parmi celles dontonfera usage pour de'terminer A, A„ etc. Mais presque toujours les formules que nous démontrons dans le texte seront celles dont l'emploi présentera le plus d'avantages.

ce qui donne

en ne'gligeant les termes A?, A^, etc., qui sont de l'ordre g(i — i') ou d'ordre supérieur. Si, pour abréger, on représente [quelle que soit la fonction f{^)~\ l'expression

/(o)-r-/(0+/(2)+.... +/(<7 - 0 P^ ^/(f*), on pourra écrire

q . \ ? y Je reviens à l'équation

* (Q) = A + 2AP cos />, 9 + SB,,, sin />,(),

dans laquelle j'ai écrit p, au lieu de p , et je regarde p comme une valeur particulière de p, comprise entre o et q. Eu multipliant les deux membres par cos pG , j'obtiens

■*• (9) cos p 6 =■ A cos p 8 + { 2A,,, [cos (/?, + />) 9 + cos (/>, — p) G] + i 2BP, [sin (p, -f- />) 6 + sin (p, — />) ô] :

faisant successivement dans cette équation 0 = o , 6 = — - — .

G = — ^ — , .... 6 = 2 i£ 1 Lf pUis ajoutant tous les ré

sultats obtenus, je trouve que, dans le second membre, les coefficients de A , A, , ... A,, sont nuls à l'exception de celui de Ap qui est égal a p-^-q : en négligeant les termes de l'ordre q (i — /'), on a donc

J p p + q . \p + qJ

ittpi

et l'on trouvera semblablement, au même degré d'approximation,

vyv p p + q o \p + q/

Si l'on était obligé de prendre pour q un nombre entier considérable , ces formules auraient peu d'avantages sur celles qui expriment

2o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

A, \p) Bp en quadratures définies doubles. Mais, dans la théorie des principales planètes, il suffira de poser </ = ?., q = 3, ou tout au plus q = 4 •' il faut excepter seulement le cas où l'on aurait i' =i, en sorte que jusqu'ici notre méthode ne s'étend pas aux inégalités dépendantes de la différence des moyens mouvements des planètes m , m! ; en effet, quand on a i' = /, les coefficients A,, As , . . . B,,Ba... sont tous de l'ordre zéro par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ; et les simplifications fondées sur la petitesse des nombres e, e, siu £ A cessent alors d'être possibles. Nous reviendrons tout à l'heure sur ce cas particulier.

(8) Quand dans la valeur de \p on pose p = 1 , q = 2 T il vient

tandis qu'en posant p = 1 , q == S, on a

a, = i [*.(<>) -*HL

formule beaucoup plus simple que l'autre , et en même temps beaucoup plus exacte, puisque les termes négligés sont dans la première de l'ordre 2 (i — i"; et dans la seconde de l'ordre 3 (i — if). Semblablement la formule

qui correspond à q = 3 est à la fois plus exacte et plus simple que celle qu'on obtiendrait en posant q = 2 dans la valeur générale de B,. Il est bien remarquable qu'on diminue la longueur des calculs numériques à effectuer, en employant des formules plus exactes. Ces deux

formules A, as \ [* (p) — * (<*-)] , B, = l- T ¥ Q — <t (^Y\ ,

qui fournissent aux quantités près du neuvième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons les coefficients relatifs à la grande inégalité de Jupiter et de Saturne, seront, je l'espère, appréciées par les astronomes. Elles exigent la réduction en nombres de quatre

intégrales définies simples, savoir "*' (o), "*" f-\ ^v'"") : "^(— ) • ces

quatre intégrales une fois calculées, on pourra trouver la valeur de A

aux termes près de l'ordre 4 (i — ï) , (c'est-à-dire, pour Jupiter et Saturne, aux termes près du douzième ordre), puisqu'on posant q = 4 > on a

(9) En modifiant légèrement notre méthode , nous la rendrons applicable aux inégalités dépendantes de la différence des moyens mouvements des planètes m et m1. Pour cela nous opérerons , comme il suit , le développement de R ou F (Ç , £').

En posant

o- = , t = , on a £ = (T + t , £' = t — 7 :

on a ensuite F (£ , £') = F (o- -f- r , r — 7) ,

quantité qui ne change pas lorsqu'on augmente de i-r une quelconque des deux variables 7, r, et qui par conséquent peut se réduire en une série de sinus et de cosinus d'arcs multiples de 7 et t. Effectuons d'abord le développement de F (<x -f- t, t — 7) en ayant égard à la seule variable T : le développement sera de la forme

F (ff -f- t, 7 — t) = P + 2 P, cos pr + 2 Q, sin pr ;

P , P„ , Q,, étant des fonctions périodiques de 7. Or, il est aisé de voir que les coefficients P,, , Q, sont en général de l'ordre p par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. On pourra donc négliger comme insensibles ceux de ces coefficients qui répondront à un indice p égal ou

(*) Les intégrales + (o) , *(-), *(*)i + (-J représentent les termes indépendants de s- dans les développements des fonctions respectives F(jV, if), FfiV, iV — -V), F (*'="> "" — %\ Fu», iv V\- en représentant par...

A -f- sApCos/xr -f- 2BP sin/(s- un quelconque de ces développements, A aura tour â tour pour valeur chacune de ces intégrales; et on pourra calculer A par la formule («) où l'on aura soin de remplacer la fonction + parla fonction F et de prendre q assez grand pour que l'ensemble des ternies A, + Aa, -1- etc. soit négligeable comme on l'a supposé en établissant cette formule («).

3io JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

supérieur à un certain nombre q et calculer ensuite les autres par la méthode du n° j: En effet, pour appliquer ici les formules du n° 7, il suffira d'y remplacer A par P, Ap par Pp, Bp par Qp , ns (r) par

et n (t) par

■£• F (ff -{- T , T — a) — T F (<r — r, — T — t).

Et comme, dans la théorie des principales planètes, ces formules seront toujours suffisamment approchées en prenant pour q un nombre entier très petit , on voit que les coefficients P, Pp, Qp se trouvent déterminés en fonction de 0", sous forme finie et sans aucune intégration. On développera ensuite P, Pp , Qp en série de sinus et cosinus des multiples de a ; et dans ce nouveau développement tous les coefficients de la série se calculeront à l'aide d'intégrales simples.

Considérons en particulier la quantité P : les arcs qui figureront dans son développement sous les signes sinus et cosinus seront multiples non-seulement de a , mais encore de iv, car d'une part on

a 7 = ^ et d'autre part R ne peut contenir dans son dévelop-

pement que des multiples de £ , Ç' et non de leurs moitiés. On fera donc

P = A -f- 2 Ai cos ii<r -f- 2 B; sin 2/7, et l'on aura

A = - H Td7

A. = - / P cos 217 dcr,

B,= - / P sin 2/7 de

ir J o

En remplaçant a par ~ " , les deux termes A, cos 2/5-, B, sin 117 deviennent A, cos i (£ — Z') , B, sin i (Ç — Ç') : ces deux termes sont précisément ceux qui , dans le développement complet de R , repondent à l'argument i(n — n'); et l'on voit que notre méthode, convenablement modifiée , s'applique presque aussi bien à ces termes-la qu'aux autres.

MÉMOIRE

Sur les Équations générales du Mouvement (*) , Par A. M. AMPÈRE.

Quand un point matériel m est soumis à l'action d'une force extérieure constante ou variable, ou, ce qui est la même chose, à l'action de plusieurs forces extérieures qu'on peut toujours réduire à une seule résultante , on sait que les trois composantes de cette résultante parallèlement à trois axes coordonnés rectangulaires ox, oy, oz sont proportionnelles aux différentielles secondes, prises par rapport au temps, des coordonnées x,y, z, du point mobile. Lorsque le mouvement est rectiligne uniforme , ces trois différentielles sont égales à zéro , et cela doit être en effet , puisque le mouvement rectiligne uniforme est précisément celui d'un mobile sur lequel les forces extérieures ont cessé d'agir. Lorsque le mouvement au contraire est varié , en nommant X, Y, Z, les trois composantes de la force extérieure, t le temps, et m la masse du point mobile , on a les équations connues

df- dl* ' dt*

lesquelles servent à deux fins, i°. à faire connaître X, Y, Z lorsque

(*) Ce mémoire a été rédigé en 1826, à t'occasion des leçons que je faisais sur ce sujet au collège de France.

ara JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

xi J> z> sont des quantités connues en fonction du temps ; 2°. à faire connaître x, jr, z, lorsque les données de la question sont X, Y, Z.

Les trois équations fondamentales que uous venons de rappeler sont admises par tous les géomètres , et le principe qui les contient est connu sous le nom de principe des forces accélératrices. Mais si l'on s'accorde généralement à en reconnaître l'exactitude, ou est au contraire loin de s'entendre sur la manière dont on doit les démontrer, puisque les uns regardent avec Laplace le principe des forces accélératrices comme déduit d'un résultat d'expérience, tandis que d'autres au contraire, parmi lesquels figure Euler, ont essayé d'en établir la vérité a priori. Cette dissidence entre les premiers géomètres indique assez les difficultés du sujet. Toutefois, en examinant attentivement la question , il nous a semblé qu'elle se trouvait résolue sans beaucoup de peine, pourvu que l'on se fît une idée bien nette de l'inertie de la matière et de la force que cette inertie produit lorsque l'on vient à altérer le mouvement d'un mobile par l'action d'une cause extérieure quelconque. Il est visible, en effet, que cette force est nulle dans le mouvement rectiligne uniforme; et que dans un mouvement varié, elle est toujours égale et directement opposée à la force extérieure qui sollicite le mobile, et qui altère l'intensité ou le sens de sa vitesse. On voit donc que pour établir le principe des forces accélératrices, il suffit de déterminer la direction et l'intensité de la force produite par l'inertie, ce qui paraît beaucoup plus facile , et ce que nous avons essayé de faire dans ce mémoire dont l'idée fondamentale nous est connue depuis plus de vingt ans. Il est clair que dans notre démonstration, uous serons contraints d'admettre quelque chose du principe des mouvements relatifs de Lapiace , que ce grand géomètre a pris comme une donnée de l'observation et dont il a déduit celui des forces accélératrices; mais tandis que ce principe considéré en lui-même et dans toute sa généralité , est loin d'être évident , nous croyons n'en avoir conservé que ce qui est d'une évidence manifeste, à peuples comme pour démontrer le parallélogramme des forces , on part du cas très simple où les forces sont de même grandeur et où la direction de la résultante est connue/; priori, puisqu'elle partage alors leur angle en deux parties égales.

Considérons un point mobile M qui, par l'action d'une cause quelconque , décrive une ligne droite ou courbe AMB (*). Pour lui faire décrire cette ligne, on peut imaginer que le mobile soit placé dans une petite cavité sphérique , au centre d'un parallélépipède solide qui l'en veloppe et dont les arêtes demeurent constamment parallèles à ellesmêmes pendant que le centre décrit la ligne AMB , et que l'enveloppe se meuve en entraînant le point matériel M sur cette ligne AMB que l'on veut faire décrire à celui-ci. Cela posé, examinons les deux cas distincts qui peuvent se présenter, celui du mouvement rectiligne uniforme et celui du mouvement varié quelconque.

Si le mouvement est rectiligne uniforme , ce qui exige que le parallélépipède enveloppe et la molécule matérielle aient reçu à la fois et conservent le même mouvement, il n'y aura aucune raison pour que la molécule exerce une pression contre l'enveloppe. Si au contraire ou fait prendre au parallélépipède un mouvement rectiligne varié ou un mouvement quelconque sur une courbe AMB

et que de cette manière on amène forcément la molécule de M en M", au lieu de la laisser aller de M en M' sur la tangente MT, comme cela

(*) Cette ligne est courbe dans la figure, parce que c'est le cas général : le calcul s'applique également aux deux cas.

Jrm i836. 28

ar4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

arriverait si elle était libre, il est incontestable qu'en vertu de la tendance qu'elle a à conserver son mouvement suivant MT, c'est-à-dire en vertu de l'inertie de la matière, elle pressera l'enveloppe qui l'entraîne. Or, nous nous proposons présentement de déterminer : i". la direction de cette force produite par l'inertie. 2". Son intensité.

ni.

Première question. — Direction de la force produite par l'inertie.

Pour voir dans quelle direction s'exerce en un point quelconque M de la courbe la pression du mobile contre l'enveloppe , il faut supposer que tout à coup l'enveloppe devienne perméable en M et chercher dans quel sens elle serait alors percée par le point mobile devenu libre. Cette notion de la direction de la force nous paraît la plus simple et la plus exacte de toutes ; et nous croyons qu'on devrait l'introduire même en statique. Ainsi pour déterminer la direction d'une force P appliquée à un point M, il faut, suivant nous, renfermer d'abord ce point dans une enveloppe solide ; l'effet de la force P est alors de presser l'enveloppe dans le sens même où elle tire; si maintenant ou rend l'enveloppe perméable, il est clair que le point M se mettra en mouvement et au premier instant la percera dans une direction déterminée qui est la direction de la force P. Dans ce cas, l'enveloppe est immobile, mais cela est indifférent pour notre définition; qu'elle soit en mouvement ou en repos, on ne peut s'empêcher de regarder la direction dans laquelle le mobile la perce lorsqu'elle devient perméable, comme la direction suivant laquelle il la pressait lorsqu'elle était solide.

Après cette digression, revenons à l'examen du mouvement sur une courbe AMB; et au moment où le mobile est en M, rendons l'enveloppe perméable et cherchons dans quel sens alors elle doit être pénétrée. Or le mobile, devenu libre, s'échappera par la tangente MT et viendra en M' sur cette tangente, tandis que l'enveloppe continuant son mouvement transportera en M" le point où il se trouvait d'abord. On comprend d'après cela que les deux points M', M" appartiennent à la courbe que le mobile a tracée dans le parallélépipède enveloppe, et comme il nous faut seulement la direction du premier élément de

PURES ET APPLIQUÉES. 2i5

cette courbe, il est clair que pour l'obtenir, nous devrons joindre les points M', M" par une ligne droite et chercher ce que cette droite deviendra à la limite, lorsque l'on rendra infiniment petit ou nul le temps employé à parcourir MM'. La droite MR. limite de M'M" sera la direction de la force produite par l'iuertie.

En appelant 6 le temps que le mobile devenu libre emploie à >e transporter, d'un mouvement uniforme , de M en M' sur la tangente MT, désignant de plus par x , y, z et x', y', zf, les coordonnées respectives des points M, M', et observant enfin que x, y, z sont des fonctions f(t), f(t), F(^) du temps t qui répond au point M , on a par les propriétés connues du mouvement uniforme,

z<= z-Mf = F(f)-MF'(f).

Les coordonnées x",y", z", du point M" où se transporte pendant le même temps 6 le centre du parallélépipède sont également faciles à obtenir : en effet, comme l'enveloppe continue à se mouvoir sur la courbe AMB de la même manière qu'auparavant, il est évident que x", y", z", sont des fonctions de <-f-6 absolument composées en /-f-9 comme x, y, z, en t , de sorte que l'on a, par le théorème de Taylor,

.r"=/(r)+G/'(0 + ^/V-f-fô),

y" = f(/) + 6f'(0 + ~t'"(t + „fl),

z" = f(o + gf'(o + £ï*(i + m>

développements où l'on sait que £ , « , £, sont des nombres plus petits que l'unité. On déduit de là,

3i6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Si nous tirons à présent la droite M'M", et si nous observons que x" — oc', y0 — j',z"—z' sont les trois projections de M'M" = k surox, oj, oz, en nommant X, fi,v, les angles de cette droite avec ces mêmes axes, nous aurons

k cos A = x' — x",

k cos fx, s= y — y,

k cos v = z' — z' , c'est-à-dire

k cos A = - *- f(t + £fl),

k cos fJ. = f" (r -f- »6) ,

A: cos i = — £ F" (< + Çfl),

le signe — provenant de ce que nous cherchons les angles formés par la partie de la droite M'M" dirigée de M" vers M'.

Faisant la somme des quarrés de ces trois équations, ou obtient

*= *iVf"(.t + W + f(* + »8)* + F"(« + Ç8/, d'où résulte

cos A = — cos fx = —

f (t + ri)

Vf (' + ;S)" + f " {t + ,9)' + F" (/ + Ç8)« '

cos » = F" <' + W

• /* (« + ?»)' + f" (i + »»)* + F" (t + Of

Mais pour que ces valeurs conviennent à la droite MR. , il faut passer à la limite et y faire C = o ; si donc on désigne par W le radical

on aura

cos A r__w.,

cos v — ^- — w . -^ ;

pour les valeurs des cosinus des angles que la force produite par l'inertie fait à chaque instant avec les axes ox, oj, oz. Il reste encore à calculer l'intensité' de cette force.

Seconde question. — Intensité de la force produite par l'inertie.

Rappelons d'abord une propriété commune aux courbes planes et aux courbes à double courbure, dont nous aurons besoin dans ce qui va suivre. En menant aux divers points d'une courbe quelconque des plans normaux consécutifs , on forme par leurs intersections successives une surface développable, sur laquelle on peut tracer une infinité de développées de la courbe proposée. Ainsi, il est permis d'imaginer que le point matériel M décrive la courbe AMB d'après la loi que voici :

Soit A'M'B' une quelconque des développées de AMB : il suffit pour faire décrire au point M la courbe AMB de concevoir ce point mobile renfermé dans un tube cylindrique infiniment étroit et attaché à un fil flexible constamment dirigé suivant l'axe du tube, dont une des extrémités est fixée au point donné A'. On peut également supposer que le point mobile est retenu dans le tube par une cloison perpendiculaire à son axe, et que dans l'une ou l'autre hypothèse le tube roule sur la courbe A'M'B' à laquelle il demeure constamment tangent.

Tant que la cloison sera fixe , la longueur A'M'M sera constante et le point mobile parcourra la courbe AMB.

Mais si l'on suppose que la cloison glisse dans le tube suivant une

2i8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

loi quelconque , le point mobile décrira une autre courbe ; et l'on aura la direction de la force produite par l'inertie dans ce nouveau mouvement, en mettant dans les valeurs de cosÂ, cosm, cosv, les fonctions dérivées du second ordre des coordonnées de la nouvelle courbe à la place des dérivées du second ordre des coordonnées de la première.

Ayant ainsi la direction de la force produite par l'inertie, si on la décompose suivant deux directions rectangulaires entre elles, l'une perpendiculaire au tube et l'autre à la cloison, on aura les pressions exercées respectivement par le point mobile sur la matière qui les compose. Or, parmi tous les mouvements qu'on peut supposer à la cloison dans le tube, il y eu aura uu pour lequel la pression exercée contre cette cloison sera nulle; et il est clair qu'on le déterminera en égalant à zéro la valeur de la pression exercée contre la cloison : celleci donc n'ayant plus aucune action contre le point mobile, on pourra alors la supprimer; d'où il suit qu'en nommant t l'angle que la direction de la force d'inertie fait avec l'axe du tube , la courbe décrite par le point mobile quand la cloison est supprimée, s'obtiendra en combinant l'équation s := ioo° avec les équations qui déterminent la position du tube à cbaque instaut.

Maintenant la démonstration vers laquelle nous tendons, exige que nous cherchions cos g, cosinus qui est nul lorsque e. = 100°. Afin de comprendre en une seule analyse tous les cas distincts dont nous venons de nous occuper, nous ferons 1 hypothèse la plus générale, savoir celle qui consiste à regarder la longueur A'M'M comme variable , bien que cette longueur demeure constante lorsqu'on admet une cloison fixe ; et en effet pour passer du cas général à ce cas particulier, il suffira d'égaler à zéro les différentielles de A'M'M.

Cela posé, pour plus d'ordre , nous désignerons par des lettres accentuées tout ce qui se rapporte à la développée , et par les mêmes lettres sans accent ce qui sera relatif à la développante. Nous ferons

AM = s, A'M' = s', A'M' + M'M = r, d'où MM' == r — J.

Les coordonnées du point M étaut x, y, z, celles du point M' seront x',j', z'; les cosinus des angles formés par la droite MM' avec les axes auront donc pour valeurs,

Mais la forée P produite par l'inertie fait avec les axes des angles dont les cosinus ont été trouvés égaux à

~" W * le ' W de ' W ' rf/> : donc on aura

„nc , J (x — *' d-x y, — y dy z — z d>z\

— ■• Wlr-/'* + r - s' • de "*" r — / ' de)'

Pour transformer cette expression, différentions les deux membres de l'égalité évidente

(X XJ + (r fy + (2 z')* = (r — sj,

en y regardant x , y, z, x',y, z', comme des fonctions du temps t, ce qui nous donnera

Or, on pourrait voir à priori, et il est facile de démontrer directement que les parties négatives provenant de la différentiation des lettres primées sont égales dans chaque membre.

En effet, la droite MM' étant tangente à A'M'B' en M', les cosinus

des angles qu'elle fait avec les axes sont égaux à -p , -r,, ^j, etl'on

peut égaler ces expressions à celles que nous avons obtenues précédemment pour les mêmes cosinus, d'où résulte

r — x' dx' y — y dy' z — z dz'

r — s' "~ ds' ' r — s' ds' ' r — / " ds' '

égalités desquelles on conclut aisément

e— oï + cr-rrof+.ft-.o|

(x — x'f -f- (J —J'Y + (z — 2')' dV , , ds'

~ r — s' • dt —V~S>dt'

ce qu'il fallait démontrer.

L'équation (i) se réduit donc à

M (? - *>) % + Cr -/) | + Ci - fl J = (r - O î ;

et eu la différentiant de nouveau, en faisant attention que \—r)

/«/A" <£*' <£*•" dy dy dz dz

~T~ VA/ Tt ' dt Tt'di Tt ' Tt

,. d'r /dr\ ds' dr

Cette équation se simplifie encore parce que les termes affectés du signe — sont égaux dans les deux membres.

En effet en substituant les valeurs de ~, ~, -7- qui se déduisent

immédiatement de celles de -?-?, -yp > jp > trouvés plus haut, il vient

dx dx , dy 4/ , dr M dt'li "*" dt ' dt "*" dt' dt

1 ds , , -. dr d/ dr

= r — s' ' Tt ' V S ' dt ~ dt ' dt

Cela élant, l'équation (5) deviendra

= (' - * % + fij" - <*)'»

ou bien , en divisant par r — s',

x - x *x jr—y dy z — z d*z

,- s' dt "*" r — s'di1 ~T~ r — * ' df

= de + r - 5' |W "~ \5/7 J :

PLUES ET APPLIQUÉES. 2ai

ce qui donne la valeur de cos e ; car il suffit pour l'obtenir de multiplier par — yy la quantité précédente.

Pour transformer d'une autre manière la valeur de ce cosinus, observons que le point matériel renfermé dans le tube qui se meut en restant constamment tangent à A'M'B' doit décrire une trajectoire placée tout entière sur la surface développable que le tube engendre dans son mouvement. Or, si nous considérons un secteur infiniment petit MM'M, dont la base est l'arc ds de cette trajectoire, et que du point M' comme centre avec MM' pour rayon , nous décrivions l'arc de cercle MQ , nous aurons

MM, = ds, M,Q = dr, et , en nommant co l'angle du secteur développé,

MQ = (r — s') du.

Mais

MM, = \7m,Q ■+■ MQ';

donc

d'où

Donc

ds = \/dr* 4. (r — s')* da>\

La quantité que nous venons d'écrire fournit le cosinus de l'angle que fait avec l'axe du tube la direction de la force produite par l'inertie. Mais il y a, ainsi que nous l'avons dit à l'avance, deux cas différents à examiner. En effet, lorsque r est variable, il faut en faire usage sous

Jrsm i836. 29

la forme précédente; mais lorsque le point matériel M est arrêté dans le tube par une cloison imperméable , la distance r est constante et d'r = o ; on a alors

cos 8 = W ('' - *') (Ê) •

Lorsque la cloison est supprimée et que le mobile se meut librement dans le tube, on a l'égalité e= ioo° ou cos 6 = 0, ainsi que nous lavons démontré ailleurs: il est visible en outre que dans ce cas, r est une quantité variable. De l'équation cos 6=0, nous tirons donc

W = ir - Û (dl) •

Or, supposons que ie point mobile ait été d'abord assujetti à parcourir la développante AMB (F oyez la fig., pag. 217) et qu'il soit parvenu en M au bout du temps / ; puis concevons qu'à cet instant, la cloison qui le forçait à parcourir AMB soit devenue perméable; alors le point mobile se trouvant iibre de se mouvoir le long du tube , décrira une nouvelle trajectoire MV pour laquelle l'équation

d*r ,. /da\'

aura lieu.

Désignons par r, la valeur de A'M'M au moment où la cloison est devenue perméable ; après un instant Ô cette valeur sera par le théorème de Taylor

drc fi dlra 5*

dl ' dl 2.

Mais quelle que soit la nouvelle trajectoire MY qui, après la perméabilité de la cloisou, aura succédé a la première AMB, les deux courbes devront néeessaiiemenl avoir la même tangente en M; car la vitesse ne peut changer brusquement ni en grandeur, ni en direction. De là il suit que la dérivée première r£ doit être la même

dr , .

pour les courbes AMB et MV ; donc -£ = o , sans que les dérivées suivantes soient zéro Donc l'enfoncement dans la direction du tube

PURES ET APPLIQUEES. 223

à travers la cloison devenue perméable est

rit* O

Cet enfoncement est un résultat de la pression que la cloison éprouvait au moment où elle a été rendue perméable, et cette pression à son tour était représentée par la composante p de la force P produite par l'inertie prise suivant l'axe du tube à l'instant dont nous parlons. D'après ce qui a été dit plus haut, il est évident que

p = P cos É, ces é ayant pour valeur

cos s = w (r. -s.)(j),

s'o et co0 étant ce que deviennent s' et u> pour r = r0. Maintenant il est facile d'exprimer r — r0 au moyen des forces P, p, il suffit d'observer que le mobile étant devenu libre, on a

dc — Kr» \. i\dt) P '

donc

Si nous considérons un autre point M" se mouvant sur une autre courbe A"M"B" d'une manière analogue, et que r', rg W", p", P" soient pour ce mouvement les quantités correspondantes à r, rc, W, p, P , nous aurons de même

d'où nous conclurons , en divisant ces quantités l'une par l'autre et passant ensuite à la limite , c'est-à-dire faisant 6 = o,

r" — r'o ~ Wy P"

pour le rapport des enfoncements instantanés produits daus les deux mouvements par les pressions respectives p et p" exercées contre les cloisons.

Or, il est évident que si, dans un temps infiniment petit, les pressions^, p" qu'exerçaient les deux mobiles à l'instant où les cloisons ont été rendues perméables, ont produit dans ces cloisons des enfoncements égaux, ces pressions étaient égales entre elles: de plus, comme les enfoncements dépendent de la direction des tubes , c'està-dire de celle des développées en nombre infini dans chacune des deux courbes dont on a fait choix d'abord pour enrouler les tubes, on peut supposer qu'elles ont été prises de manière que r — r„ soit égal à r* — ■ ro. En adoptant cette hypothèse, nous aurons d'après ce que nous venons de dire, p =p*, d'où résulte l'égalité

puis la proportion

Au reste , il est bon d'observer qu'on ne peut dire que p =/>" même en faisant r — r0 = r' — t\ , que quand G est infiniment petit et que l'on a passé à la limite en posant G = o; car dans un temps fini G, nous ne savons pas quelles sont les lois du mouvement des deux pqints devenus libres dans ces tubes ; la seule chose certaine à priori , c'est que plus le temps G sera petit , plus (si les enfoncements des deux points sont les mêmes) les forces p, p" qui les ont produits approcheront d'être égales, tellement que pour G = o, l'égalité —,, = i sera

tout-à-fait rigoureuse.

11 est donc bien prouvé par cette analyse qu'on a la proportion

Si nous considérons un mouvement où W" = i , et que nous choisissions pour unité la force P" correspondante, la force P sera égale à W, et l'on aura

PURES ET APPLIQUÉES. a25

p = v/(!rO* +(£)■+(£)*

Ce résultat se rapporte à l'unité de masse; car, jusqu'à présent, nous n'avons pas tenu compte de la masse de nos mobiles que nous avons implicitement supposée être la même pour tous et égale à i : nous indiquerons dans l'article suivant, le moyen de tenir compte de cet élément nouveau. Mais auparavant, observons que, la masse étant toujours l'unité , la quantité W" sera égale à i pour le mouvement uniforme avec l'unité de vitesse sur un cercle dont le rayon = i ; car en prenant l'origine des coordonnées au centre de la courbe et les axes ox, oy, dans son plan, et dénotant par ce l'angle Mox du rayon vecteur avec l'axe des x, on aura pour les coordonnées du point mobile M :

z = o , x = cos ce , y = sin ce ; donc,

!F = °> de

/d*\ d"jr . /d»\*

•Car)' -5F = -slnwU)-

d'z d'x /da\- d'y . /da\*

— cos ce . ( — 1 -

Nous ne mettons pas-rr; car cette différentielle seconde est nulle.

le mouvement étant uniforme. Donc ici

puisque -j- représente la vitesse que nous supposons être l'unité. La

force produite par l'inertie qu'on nommeyorce centrifuge dans le mouvement que nous venons de considérer est donc notre unité de force . et c'est en adoptant cette unité qu'on a en général

» = v/o* + m + go* = w-

Mais cette formule se rapporte à l'unité de masse ; voyons ce

qu'elle deviendrait si la masse du mobile était m, et pour cela faisons nous une idée bien nette de ce qu'on doit entendre par la masse d'un

corps.

Si nous supposons qu'on prenne deux corps différents renfermés daus des parallélépipèdes, comme nous l'avons déjà vu, et qu'on les entraîne de la même manière sur une même courbe, ils presseront les parallélépipèdes ; et les pressions exercées contre ces enveloppes pourront être égales ou différentes. De là l'idée de la masse des corps; car si les pressions sont égales, les corps seront dits avoir des masses égales ; ils auront des masses différentes, si les pressions sont différentes.

Si à présent on enferme dans une cavité deux, trois, quatre. . . . corps ayant des masses égales, les pressions produites deviendront doubles . triples , quadruples .... En général, si le nombre des points matériels devient m fois plus grand, la pression et la masse deviendront toutes deux m fois plus grandes.

Si l'on applique à des masses égales des forces égales , les vitesses produites dans le même temps seront évidemment égales, et l'on voit en outre que les forces qui imprimeront le même mouvement à des corps de masses différentes, seront entre elles comme ces masses. Observons en passant que ceci fournit un moyen très simple de mesurer les masses des corps, car de l'égalité de vitesse que tous daus le même temps acquièrent dans le vide et du principe que nous venons d'établir, il faut conclure que ces masses sont proportionnelles aux poids.

Des notions que nous venons de donner sur les masses des corps , il résulte qu'en appelant m la masse du mobile qui décrit la courbe AMB, et conservant à la quantité W sa signification, la force produite par l'inertie P est exprimée par la formule P = h AV.

De plus, les cosinus des angles que cette force fait avec les axes ayant pour valeurs d'après les démonstrations précédentes

i d'x i ày i à-

cos A = — w ■ ^ , cos y. = — w . -^ , cos v = — w . ^,

oit voit que les trois composantes de P suivant ox , oy, oz, sout

d"x dy d'z

de ' dt ' de

11 ne peut plus y avoir aucune difficulté à établir les équations du mouvement d'un point matériel; car en appelant X, Y, Z les trois composantes de la force extérieure qui sollicite ce point et observant que ces trois composantes doivent être égales et directement opposées à celles de la force produite par l'inertie, on obtient les égalités :

d'x v dy v d'z „

de ' de ' dt

admises par tous les géomètres.

Mais pour dissiper toute obscurité reprenons la chose d'un peu plus haut. Considérons un point mobile M renfermé dans un parallélépipède solide et parcourant la courbe AMB sous l'influence de ce parallélépipède. La force P produite par l'inertie du mobile pressera ce parallélépipède dans une direction et avec une intensité que nous avons déterminées tout à l'heure. Appliquons maintenant au mobile M une force Q égale et directement opposée à P : il est évident que la force Q fera équilibre à la pression que supportait l'enveloppe et l'anéantira : dès-lors l'enveloppe n'exerçant plus aucune action sur le point M deviendra inutile et pourra être supprimée sans qu'il cesse de décrire la courbe AMB, sous l'influence de la force P , tout comme il la décrivait sous l'influence de l'enveloppe. Ainsi la force Q est celle qu'il faut appliquer au mobile pour lui taire parcourir la trajectoire donnée , et par suite celle dont les composantes ont été nommées X, Y , Z : donc , ces dernières sont égales et directement opposées aux composantes de la force d'inertie , ce qui nous ramène aux équations :

d? ' de ' dt'

qui contiennent les lois du mouvement d'un point matériel. Il est aisé de voir que par un raisonnement identique à celui qui précède , on démontrerait l'équation générale du mouvement telle qu'elle est dans la mécanique analytique, où on la présente comme une conséquence de ce que l'on appelle le principe de d'Alembert. Aussi à nos yeux ce principe et celui des forces accélératrices se confondent avec le principe général de la force produite par l'inertie.