DES COURBES DU QUATRIÈME ORDRE

D'après la nature différente de leurs branches infinies.

Par M. PLUCKER.

1 . De tous les géomètres, Euler est celui qui s'est le plus systématiquement occupé des courbes de degré supérieur. Il s'est attaché surtout à la considération des branches infinies, et en a tiré, dans son Introduction à V analyse de T infini , le moyen de classer les différentes espèces de courbes d'un même degré , en poussant cette classification jusqu'au quatrième degré inclusivement. Ce qu'il a fait sur ce sujet, il y a plus de quatre-vingts ans , a passé en d'autres ouvrages sous son autorité et sans être revu. Mais la longueur des calculs qu'exigeait sa méthode ne lui permettait pas de démontrer d'une manière certaine que toutes les espèces annoncées par lui existent réellement. Il donne ainsi il\6 espèces de courbes du quatrième degré qu'il distribue en huit classes : il faut d'abord réduire ce nombre à 125, car, par une erreur de calcul, il en compte 21 de trop dans., la sixième classe ; ensuite, dans les i25 courbes restantes, il y en a 12 qui n'existent pas du tout ; de l'une d'elles Euler affirme positivement le contraire. Il y a 22 espèces qui lui sont échappées, et parmi elles l'espèce générale 4e la dernière classe: l'oubli des autres provient de ce qu'Euler n'a pas reconnu i°. que l'ordre du contact peut être différent sur deux asymptotes parallèles, et 20. qu'il peut y avoir (pour m'expliquer brièvement) un point de rebroussement de seconde espèce à l'infini. Enfin, ses notions inexactes sur les asymptotes paraboliques, qui ne

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aSo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

sont jamais isolées, mais toujours en nombre infini, et sur les asymptotes courbes en général , ont dû inévitablement le conduire à des erreurs manifestes que l'on trouvera signalées plus loin.

Dans ce mémoire , nous nous proposons de refaire le travail tïEuler avec les moyens ordinaires de l'Analyse, maniés toutefois d'une manière nouvelle, eo sorte que nous pourrons écrire immédiatement les équations qui répondent aux différentes espèces de courbes du quatrième degré, et cela par une méthode applicable aux courbes d'un degré quelconque. Les axes des coordonnées n'introduisent dans nos équations rien d'arbitraire qui nous embarrasse et qu'il faille éliminer, pour ainsi dire, si l'on veut reconnaître la nature intime de la courbe, sans avoir égard à sa position. On voit sur-le-champ la liaison de chaque terme de nos équations avec les courbes qu'elles représentent, ainsi que le changement produit dans la nature de ces courbes par le changement de forme de l'un quelconque des termes de leurs équations. Enfin, pour servir de contrôle à notre classification et en général à tous nos calculs, il est un nombre abstrait, qui s'obtient immédiatement pour chacune de nos équations ; je veux parler du nombre des constantes , dont dépendent les courbes d'une espèce quelconque.

2. Fixons d'abord la notation que nous emploierons. Nous désignerons par P, Q, R, S,.... des lignes droites quelconques et par p, q} r, s, . . . . les distances respectives d'un point quelconque à ces droites. En passant d'un point à un autre ces dernières quantités varient et chacune d'elles change de signe si le point passe d'un côté de la droite correspondante au côté opposé. Le côté positif de chaque droite est absolument arbitraire. Pour représenter ces droites, on a les équations suivantes :

Nous nommerons les quantités/?, q, r, s ,. . . .Jonctions linéaires. Elles le sont des coordonnées ordinaires, comme chacune d'elles l'est de deux quelconques prises arbitrairement parmi elles. Nous désignerons ensuite par il., il'., il".. . . . des fonctions quelconques du «""" degré de fonctions linéaires quelconques, ou, ce qui revient au même, des

PURES ET APPLIQUÉES a3i

coordonnées ordinaires. Enfin les lettres grecques X , \j.,... indiqueront toujours des quantités constantes.

3. Après avoir ainsi fixé la notation , je ne dirai que deux mots sur le principe de notre méthode ; je m'abstiendrai de tout ce qui ne se rapporte pas immédiatement à lenumération des différentes espèces de courbes du quatrième degré.

Soit, conformément à notre notation ,

l'équation générale des courbes du n'em' degré, et

l'équation d'une ligne droite quelconque. Regardons, pour fixer les idées , Q„ et p comme fonctions de coordonnées ordinaires. On déterminera alors les intersections de la ligne droite avec la courbe , en éliminant l'une de ces deux coordonnées. L'équation résultante s "élèvera en général au n'me degré et indiquera par ses racines n points d'intersection , réels ou imaginaires. Dans tous les cas, si , par une détermination particulière des constantes , le degré d'une équation algébrique s'abaisse de m unités, sans qu'on ait négligé aucun facteur variable , il faut en chercher la cause dans la circonstance que m des racines primitives sont devenues infinies. Donc, si cela arrive dans le cas présent, c'est parce que, par un changement, soit dans la position réciproque de la ligne droite et de la courbe , soit par un changement dans la nature de celle-ci , m points d'intersection ont passé à l'infini. L'équation de la droite contenant deux constantes, on peut en disposer de manière que de ses points d'intersection avec la courbe donnée deux passent à l'infini; nous dirons alors que la ligne droite est une asymptote de la courbe. D'après cette défi îition , si nous voulons que P soit une asymptote de la courbe représentée par l'équation (a) , il faut que celle-ci, quand on pose p = o, se réduise à une fonction du (n — ni)'""' degré, ou ce qui revient au même, il faut qu'elle puisse prendre la forme suivante :

pCïm, -f- n., = o.

Si iia, se réduisait à une fonction n,m du (n — m)'™" degré, m sur-

a5a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

passant le nombre 2 (ce qui exigerait que la courbe fût d'une nature particulière) , il y aurait , sur l'asymptote P, m points d'intersection situés à l'infini. Nous dirons que l'asymptote a alors avec la courbe un contact de m points , ce qui revient à dire avec Euler que la courbe a

une asymptote hyperbolique de l'espèce u = -^-. Pour chaque point

d'intersection nouveau, passant à l'infini, l'ordre du contact s'élève d'une unité. Car de l'équation

pCl,-> H- ^B-m = o,

on tire, en regardant 0», et Q.n m comme des fonctions de p et d'une autre variable q, en donnant à celle-ci une valeur infinie et en négligeant p par rapport à q, l'expression suivante :

n„m -hc«— 0

qui fait voir que la distance des points infiniment éloignés de la courbe à l'asymptote P, si elle n'est pas infiniment grande elle-même, est un infiniment petit de l'ordre (m — 1). On voit encore que, suivant que m est un nombre pair ou impair, p change de signe ou n'en change pas, si l'on prend successivement q = 00 et q = — 00; ce qui signifie que deux branches de la courbe qui suivent l'asymptote P en sens divers, sont situées, dans le premier cas, sur les deux côtés opposés et dans le second cas, sur le même côté de cette asymptote.

On peut mettre en évidence dans l'équation d'une courbe l'ensemble de ses asymptotes. Ainsi, par exemple, en prenant nz=q, on obtient l'équation

pqrs -{- fla = o,

qu'on peut encore écrire de ia manière suivante :

pqrs -f- htu -f- /* = o. (b)

Chacune des fonctions linéaires p , q, r , s , t, u dépend de deux constantes : l'équation (/?) qui renferme en outre A et w. contient ainsi 1 4 constantes. Ce nombre est égal à celui des constantes de l'équation générale des courbes du 4'""' degré. On peut donc regarder les deux équations comme équivalentes et transformer celle-ci, que nous sup-

PURES ET APPLIQUÉES. a33

poserons donnée, dans l'équation (b). Cette transformation doit exiger la résolution d'une équation du 4'""' degré, car, sans changer l'équation (b), on peut changer entre elles les quatre fonctions linéaires, p, q, r, s qui répondent aux quatre asymptotes P, Q, R, S. 4. Les raisonnementsdu numéro précédent s'appliquent également aux asymptotes courbes. Les notions généralement admises sur ces asymptotes me paraissent peu nettes. Ainsi Euler, par exemple, ne voit qu'une seule asymptote parabolique là où il y en a une infinité, que l'on obtient toutes, en déplaçant l'une d'elles parallèlement à elle-même suivant la direction de ses diamètres. Parmi ces asymptotes il y eu a cependant une qui a avec la courbe un contact d'un ordre plus élevé que les autres ; mais ce n'est pas celle à! Euler , qui, au contraire, dépend du choix arbitraire des axes des coordonnées. J'ajouterai peu de mots, pour faire mieux ressortir le caractère des asymptotes paraboliques.

Si les courbes représentées par l'équation (a) ont pour asymptote une parabole dont l'équation est

P% + *q = o, il faut que l'équation (a) puisse s'écrire sous la forme suivante ,

(p* + \q) att x + n',, = 0, (c)

afin que son premier membre se réduise à une fonction du (n — 2)'"" degré, en faisant disparaître (p* •+■ Xq). Quatre points d'intersection s'étant éloignés à l'infini, la parabole ne coupe la courbe qu'en a(» — 2) points seulement. En introduisant une constante arbitraire a. et en posant, pour abréger

on pourra mettre l'équation (c) sous la forme suivante :

dans laquelle la parabole nouvelle , dont l'équation est

P* + Hq + a) = o , (e)

se présente absolument de la même manière que la première parabole dans l'équation (c). Toutefois si l'on détermine a de sorte que

l'on ait

n.. = Pii\s .+. n'.3 = (P + tt) n„3 + n.4,

ce qui peut toujours se faire et cela d'une seule manière, l'équation (d) se changera dans la suivante

{p + ?q.)aa t + (p + *)fl s + "-4 = o, (s.

en posant ( <jr -f- a = <?o > et l'on voit que la parabole

ne coupe la courbe proposée qu'en (2n — 5) points, cinq points d'intersection ayant passé à l'infini.

Toutes les paraboles représentées par l'équation (é), si l'on attribue à a successivement toutes les valeurs possibles, sont asymptotes l'une de l'autre. L'ordre du contact à l'infini est j. C'est un contact du même ordre qui a lieu entre l'une quelconque de ces paraboles et la courbe proposée. Toutefois pour l'asymptote parabolique (h), que j'appellerai osculatrice , l'ordre du contact s'élève à l'unité, et peut , dans des cas particuliers, en croissant pour chaque point nouveau passant à l'infini

d'une demi-unité, s'élever jusqu'au ( J ordre.

Dans les équations suivantes qui sont du quatrième degré ,

(P' + M) rs 4- {p -f- -rr) t 4- u. = o,

(p. 4. tyflfc 4. ?) + vt = b, (

(P* 4- ty)(rs + cT) + fp + fi = o, M ;

(p* 4- Af)(w 4- «T)4- A* = o,

l'asymptote parabolique et osculatrice est mise en évidence.

En suivant l'une des branches infinies de cette asymptote , ion obtient pour q, r, s, t, des valeurs infiniment grandes du premier ordre et pour p une valeur infinie de l'ordre -{■ seulement. Avec cette attention l'on déduit des quatre équations précédentes que l'expression (p%-h?q), rapportée aux points infiniment éloignés sur les branches paraboliques de la courbe proposée est successivement un infiniment petit de l'ordre {, 1, | et 2. Cette expression donne la distance ( prise suivant la direction des diamètres et multipliée par un coefficient constant) du

point auquel elle est rapportée à l'asymptote parabolique :

La plus courte distance de ce même point â l'asymptote parabolique est infiniment petite d'un ordre plus élevé d'une demi-unité; elle est donc respectivement de l'ordre i, |, 2 et |.

Au nombre infini d'asymptotes paraboliques répond dans le cas de deux asymptotes rectilignes, un nombre infini d'asymptotes hyperboliques , dont les deux asymptotes rectilignes sont celles de la courbe. Parmi ce nombre, il y en a deux, dont le contact avec la courbe est plus intime et s'élève sur l'une des deux asymptotes rectilignes au deuxième ordre. Dans le cas de deux asymptotes rectilignes et imaginaires, on obtient un nombre infini d'ellipses au lieu d'hyperboles, qui ne coupent la courbe qu'en (2/2— 4)points seulement; mais, en général, il n'y en a aucune qui coupe la courbe en moins de (2/2 — 4)p°ints-

Pour déterminer le nombre des constantes dans les équations (Aj , il n'en faut compter que quatre pour l'expression (/js + /^). Des cinq constantes qu'elle contient, l'une peut être prise à volonté, ce qui tient à ce qu'à une même parabole il répond un nombre infini d'expressions de la même forme. Une remarque analogue a lieu pour l'expression suivante (/?*-{- Âç1),' qui répond à deux asymptotes imaginaires, se coupant en un point réel.

Je passerai immédiatement à l'énumération des différentes courbes du quatrième degré : pour me rapprocher, autant que possible , de la marche (ÏEuler, je rapporterai ces courbes à huit cas principaux ; j'ai dû néanmoins intervertir l'ordre des troisième et quatrième cas.

Premier cas.

5. Il n'y a aucune direction réelle suivant laquelle une ligne droite coupe la courbe en moins de quatre points. Les quatre asymptotes rectilignes sont imaginaires, maisellesse coupentdeux à deux en deux points réels , centres de deux séries d'ellipses concentriques , semblables et semblablement situées, dont chacune, ayant avec la courbe un double contact imaginaire à l'infini, ne la coupe qu'en quatre points. Espèce générale, dépendant de 14 constantes :

(p> + A?') (r* + ys') + ttu -h >jl = o. (1)

a36 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Deuxième cas.

6. Il y a deux directions suivant lesquelles une ligne droite arbitraire rencontre la courbe en trois points seulement. Ce sont les directions de deux asymptotes réelles , qui coupent la courbe en général et au plus en deux points. Il y a un nombre infini d'asymptotes hyperboliques, ayant ces mêmes asymptotes rectilignes. Deux d'entre elles ont suivant l'une de leurs asymptotes avec la courbe un contact du second et suivant l'autre , un contact du premier ordre. Il y a en outre deux asymptotes rectilignes et imaginaires, se coupant en un point réel, centre commun d'une infinité d'ellipses semblables qui ne coupent la courbe qu'en quatre points. Espèce générale , dépendant de 14 constantes :

Pli.1* + ys%) + vtu ■+■ (A == o. (2)

Il peut arriver que chacun des deux points d'intersection de chacune des deux asymptotes réelles passe à l'infini. De là proviennent les espèces suivantes :

pq(r* -f- ys") +v(p-\-7r)t-$-n = o, (3)

pq ( 1* 4- ys* ) + *pt + f* = o, (4)

pq (r* + 7S%) + K!p + 9r) (q ■+- x) + f* = o, (5)

pq ir% + y**) + »/>(? H- *) + /* = o, (6)

pqi^ + >•*') + vpq 4- p = o. (7)

On obtiendrait d'autres espèces ( dont je ne ferai pas mention ici , parce quEuler ne s'en est point occupé ) en considérant les cas particuliers où les points d'intersection des asymptotes imaginaires passent à l'infini : c'est ce qui arriverait, par exemple, si, dans l'équation (7), on posait v = 0 : je dirai seulement que le nombre des points d'intersection situés à l'infini est dans tous les cas le même sur les deux asymptotes imaginaires; du reste il peut être égal à trois ou à quatre.

Troisième cas.

7 . Il y a quatre directions différentes et réelles suivant lesquelles une ligne droite coupe la courbe en trois points seulement, et il y a quatre asymptotes rectilignes et réelles . correspondant a ces quatre

PURES ET APPLIQUÉES. a57

directions, qui coupent la courbe dans le cas général , dépendant de i4 constantes, en deux points. L'équation générale est

pqrs -f- vtu -f- /* = o. (8)

Les quatre asymptotes deviennent osculatrices suivant différents ordres dans les espèces suivantes , les seules possibles :

pqrs -f- v {p -f- ic) t -f- fj. = o, (9)

pqrs -f- vpt -f- fx. = o, (10)

Pqrs + v (p + 7r){q -f- x) -f- ^ = o, (11)

pqrs + f/)(/>+z)+/t = o, (12)

pqrs + W -f- /j, = o, (i3)

pqrs ■+• vp -f- /a = o, (i5)

^rj + /x = o(*). (16)

Quatrième cas.

8. A. Il y a une direction unique suivant laquelle une ligue droite quelconque rencontre la courbe en trois points seulement, mais il n'y a pas d'asymptote rectiligne. Il existe un nombre infini d'asymptotes paraboliques dont les diamètres ont la direction en question et parmi lesquelles il y en a une d'osculatrice. Il y a en outre deux asymptotes

(*) On voit que les ordres du contact sur les quatre asymptotes ne sont pas entièrement indépendants l'un de l'autre. En de'signant les ordres de contacts sur P, Q, R et S respectivement par le nombre des points passés à l'infini, l'on aura les symboles suivants pour représenter les neuf espèces que nous venons d'énumérer :

2222, 3222, 4222» 3322, 43a2) 3333, 4422» 4444- D'après Euler , existerait encore l'espèce suivante :

c'est sa 23e, intermédiaire entre (t5) et (16). Mais on 11 'a qu'à compter le nombre de constantes des ces deux espèces , pour voir que celle à' Euler n'existe pas. En effet , ce nombre diminue en passant de (i5) à (16) d'une unité seulement et descend de 10 à 9.

Juu.et i836. 3i

rectilignes et imaginaires. Espèce générale dépendant de i3 constantes :

(p' H- hq) (/' + ys1) + v (p + ir) t + p = o. (17)

B. H y a une direction unique suivant laquelle une ligne droite quelconque coupe la courbe en deux points seulement, saus pour cela être une asymptote de la courbe. En général il y a deux asymptotes parallèles, qui, suivant cette même direction, coupent la courbe en un point unique. La courbe, en d'autres termes, a un point double, qui est infiniment éloigné suivant la direction en question et dont les asymptotes sont les deux tangentes. 11 y a en outre deux asymptotes rectilignes et imaginaires. Nombre des constantes , 12. B se subdivise en a, /3 , y.

a. Les deux asymptotes parallèles sont imaginaires; le point double situé à l'infini est un point isolé. L'équation est :

/3. Les deux asymptotes parallèles sont réelles; deux brauches réelles de la courbe se coupent à l'infini. L'équation est

(P* — %%){r* 4- ys>) 4- v (P 4- <x)t 4- 1*= o. (19)

Le contact peut s'élever sur l'une des deux asymptotes parallèles , ou sur toutes les deux, au second ordre ; c'est ce qui fournit les deux espèces suivantes :

y. Les deux asymptotes parallèles coïncident en une seule, la courbe a sur cette asymptote double un point de rebroussement de première espèce et infiniment éloigné. Son contact avec l'asymptote est de l'ordre { seulement. Nombre des constantes : 1 1 . L'équation est

(*) Eulerna pas reconnu l'existence de l'espèce (20) , où l'ordre du contact est différent sur les deux asymptotes parallèles. Cette espèce doit trouver sa place entre sa dixième et sa onzième espèce.

PURES ET APPLIQUÉES. 23g

Si l'on a 7r=o, le contact s'élève au premier ordre ; le point double est le point de contact à l'infini de deux branches de la courbe sur l'asymptote double. L'équation devient

P% (r- 4- y*') 4- ypt 4- " = o. (23) (24)

Cette équation contient deux espèces différentes: les deux branches qui se touchent à l'infini peuvent être réelles ou imaginaires. La première de ces espèces a quatre branches infinies , qui s approchent de l'asymptote double comme les quatre branches de deux hyperboles quelconques, ayant toutes les deux cette même asymptote. Il peut y avoir différentes positions de ces quatre branches par rapport à l'asymptote double. L'autre espèce n'a pas de branches infinies. Pour distinguer les deux espèces entre elles et surtout pour voir ce qui arrive dans le cas intermédiaire, j'ajouterai les développements suivants.

Posons

r» 4- ys' = t* + -iy.pt -f- fip* ■+- iZt -+■ ifip 4- 6,

et négligeons ensuite p par rapport aux constantes et celles-ci par rapport àt. Nous tirons alors de la dernière équation, pour les points infiniment éloignés de la courbe, l'équation suivante :

pH* 4. vpt -f-j» = o,

qu'on peut écrire sous la forme

(pt + c)(pt + O = o.

Cette équation représente deux hyperboles ^m se confondent sensiblement avec la courbe sur l'asymptote P. Elles sont réelles si

imaginaires si

et coïncident enfin si

fs — 4" = °- (25)

Dans ce dernier cas l'équation de la courbe devient

(pt + o-)' -4- ia. (p* -\-tp)pt + /3/>* -+- 2»p3 -f- V = o, et peut s'écrire ainsi (en posant pour abréger 6 — 2a<7 = £) (p* + o-Ja+ a(*/»"H- C/0 (p* + 0 + /¥4 + 2»/>3 "+" H p%—*Ç<rp=o. (sS) En négligeant p% on obtient

0>< + <r)% + aÇ/> (p« + 0") — 2£<7p = o , et en résolvant cette équation par rapport à [pt -f- 7), il vient

Cette équation fait voir que l'espèce (a5) n'a que deux branches infinies situées sur le même côté de l'asymptote double P et formant à l'infini un point de rebroussement de seconde espèce. Ces deux branches infinies ont avec leur asymptote commune un contact du premier ordre, mais entre elles et avec l'hyperbole, dont l'équation est la suivante :

pt -h 7 = 0,

un contact de l'ordre f (*).

Tout change de forme si dans l'équation (25) on pose£ = o ; on obtient alors pour les points infiniment éloignés de la courbe

(Pt + 7) = dz Pv — ?,

et l'on retombe sur les deux cas (25) et (24); deux branches infinies de la courbe, réelles ou imaginaires, se touchent. Dans le premier cas cependant *es quatre branches de la courbe ont nécessairement, par rapport à leur asymptote double, deux à deux la même position , que les deux branches d'une hyperbole , avec lesquelles elles ont, ainsi qu'entre elles , un contact du secoud ordre.

Enfin si £ disparaît, il y a de nouveau un changement de forme.

( ) L'espèce {7.5) n'a pas été aperçue par Euler.

On obtient alors pour les points de la courbe infiniment éloignés

(pt -f- ff) = =fc \Z2np3.

La courbe forme alors comme dans l'espèce (25) un point de rebroussement de seconde espèce, situé à l'infini et dont les deux branches ont entre elles un contact de l'ordre §.

L'ordre du contact des branches infinies de la courbe avec leur asymptote commune restant toujours le même, nous n'avons pas d'espèces nouvelles à consigner.

Cinquième cas.

g. Au lieu des deux asymptotes rectilignes et imaginaires, la courbe a deux asymptotes réelles, auxquelles répondent deux directions suivant lesquelles la courbe est coupée par une ligne droite quelconque en trois points seulement. Si des différentes branches infinies l'une n'influait pas sur la nature des autres, nous obtiendrions, en combinant chacun des six cas particuliers relatifs à deui asymptotes rectilignes et énumérés dans le numéro (6) avec chacun des neuf cas particuliers relatifs aux asymptotes réelles et consignés dans le numéro précédent, cinquante- quatre espèces du cas présent. Mais ce nombre se réduit à trente-neuf , les autres espèces étant impossibles.

A. Asymptotes paraboliques^

(p' + \q) rs -+- v {p ■+■ <) t + fz -h o , (26)

(p% 4- M)rs 4- v(P 4- <a){r 4- />) 4- A* = o, (27) 0* 4- M) rs 4- v (p 4- w) r -j- /x = o, (28)

(Pl + H)™ + f** = °> (29)

(p* -f- Xq)rs + it 4- /* = o, (3o)

(/>* + Aq)rs 4- u = o, (3i)

B. Deux asymptotes parallèles et imaginaires :

(p" 4- ?a) rs 4- v (p + w) t + ix = o , (32)

(P' + ?)rs + *(p 4- 77)(r+ c) 4-.« = o, (33) (p* 4- £•) re 4- r(p + T)r + ^ = o, (34)

(f + ?)rs + nt = o, (35)

(p* + f) rs 4- w 4-> = o, (36)