C. Deux asymptotes parallèles réelles et non osculatrices
(p* — ¥;) rs + v (p -f- tt) t ■+- n = o , (38j
(p* — £') rs -f- p(p -f- 7r)(r + g) -f- u = o, (39) (P* — %*)rs + » (p -f- 7r)r -f- ^ + = o, (40)
(p« %»)rs -+- ^ = o, (4!)
D. Deux asymptotes parallèles et réelles, dont l'une osculatrice :
(P* — ?°) '■-• + * (P H- ? ) t + fi. = o, (43)
Cp" — ?')™ + v{P -f g)(r + Ç) + ^ = o, (44;
E. Deux asymptotes parallèles, réelles et osculatrices :
(P1 — %%)(rs + f) + ? = o, (46)
F. Un point de rebroussement de première espèce à l'infini :
p'rs -f c(/> + tt)< + /* = o, (48)
pVs H- v (p + tt) (r -f- «?) -+- p = o . (49)
p'ra -f- v (p -f- tt) r + u = o , (5o)
/rVs -f- ci = o, (5i)
p%rs -f- vr + (jt = o. (52)
G.H.I. Deux branches de la courbe ont à l'infini un contact ou
réel ou imaginaire, ou elles forment un point de rebroussement de seconde espèce :
p»rs | vpt + p = o, (53)(57)(6i)
p*rs -+- vp (r -f- ç) -f- p = o , (54) (58) (62)
p*rs -+• tpr -f- p = o , (55) (5q) (63)
frs + ,x = o (*). (56) (6q) (64)
(*) Ne connaissant que 7 des 9 espèces du quatrième cas , Euler indique, au lieu de 54 espèces, 42 seulement , et reconnaît que deux de celles-ci sont impossibles, ce qui fait qu'il en compte 4o. Mais sur ce nombre il y en a encore 8 qui n'existent pas, ce qui le réduirait à 32. Enfin, les 7 espèces suivantes ont échappé à ses recherches: (43), (44) > (45), (61), (62), (63), (64), ce qui donne , comme nous l'avons annoncé plus haut, 3g espèces du cinquième cas.
PURES ET APPLIQUEES. 243
Sixième cas.
10. A. Il y a deux systèmes d'asymptotes paraboliques. Nombre des constantes .12. L'équation est
(p> + Xq) (p? -J- ys) 4t »Çp 4- *) (r + 0 + r» = * (65)
B. 11 y a un système d'asymptotes paraboliques-et deux asymptotes parallèles, ou imaginaires, ou re'elles ou coïncidentes. Nombre des constantes du cas général ,11. L'équation est
(/»• + hq) (/•' + y) + v(p + 77") (r + 0 + P = o, (66) (f,» + Aî)(r«— >a) + v(/5 + 9r)(r+p) + /x = o, (67) (/»' + Aç) (r3 — y») + v (p-h-r) (7- + >) + p. = 0, (68) (/>a + Aç) (r» — y) + i7- + f* = o , (69)
C. H y a deux systèmes de deux asymptotes parallèles ou imaginaires, ou réelles ou coïncidentes. JNombre des constantes du cas général , 10. C se subdivise en a, /3,j. , «T, e, Ç.
a. Deux paires d'asymptotes imaginaires.
/3. Deux paires d'asymptotes parallèles dont l'une imaginaire et l'autre réelle.
Û*".+ ?")(9fc — >*)4-»-5 4-«=o. (77)
j.. Deux paires d'asymptotes parallèles et réelles.
(P" - S") (?' — >") 4- «- (PH- ?)(9 +>) 4-f* = o, (80)
J\ Deux asymptotes parallèles et imaginaires , et deux coïncidant en une seule :
(>" 4- H°)q* + f(p -h ?r)(q + x) + f* = o, (83) (/>* + f)<T 4- v(p + tt)? + F = o, (84) (85)
g. Deux asymptotes parallèles et réelles, et deux coïncidant en une seule :
(p* — gs) 9* H- ></? 4- f* = o , (89Ï
(p* — £a) 7a 4- v (p + tt) q + F = o, (90) (91)
(/>' — £')?' 4- 2f*(/H- 7T)7 -f- ua = o, (92)
Deux branches qui se touchent à l'infini sont incompatibles avec deux asymptotes parallèles et toutes les deux osculatrices. '(,. Deux paires de deux asymptotes coïncidentes :
p'f -h v (p + tt) (q + x) + y. = o, (96)
/>V 4- vp(q + x) + ft = o, (97) (98)
11 ne peut pas y avoir simultanément deux couples de branches, qui se touchent à l'infini sur deux asymptotes doubles et différentes (*).
( ) Euler compte 47 espèces du sixième cas ; mais dans ce nombre , il faut d'abord rectifier une erreur de calcul. Dans la supposition que la nature d'une branche infinie est absolument indépendante de la nature des autres, Euler fixe ce nombre à 7* = 49 1 c'est-à-dire qu'il le croit éj<al au quarié du nombre adopté par lui des différentes espèces du quatrième cas, dans rémunération desquelles lesasymptotes imaginaires ne sontpourrien, au lieu qu'il aurait dû prendre
le nombre -^— . Dans la même supposition, =^ — — 45 espèces se présenteraient
à nous. Ensuite Euler reconnaît que deux de ses espèces n'existent pas; son vrai nombre serait donc 26. Maisd'un côté il y a encore trois autres espèces qui n'existent pas , ce qui baisserait le nombre à 23, tandis que d'un autre côté les 12 espèces suivantes: 68, 73 , 76, 79, 80, 86, 88, 92, 93, 94, g5, 99 sont omises, ce qui définitivement nous fournit le nombre 35. Sur les 45 espèces indiquées plus haut , il y en a 10 d'impossibles.
Septième cas.
11. La courbe a une asymptote rectiligne R et n'est coupée par une ligne droite, menée parallèlement à l'asymptote, qu'en trois points seulement.
A. En ge'ne'ral, il y a en outre une seconde direction suivant laquelle la courbe est rencontrée par une ligne droite quelconque en trois points seulement. Une parabole quelconque dont les diamètres ont cette même direction, ne coupe la courbe qu'en six points. Malgré cela il n'y a ni asymptote rectiligne, ni asymptote parabolique: mais il y a une infinité d'asymptotes semi-cubi-paraboliques, toutes indiquées par une équation de la forme suivante :
si l'on y donne à x. successivement toutes les valeurs possibles. Six points d'intersection ayant passé à l'infini, chacune de ces asymptotes coupe la courbe proposée en six points seulement ; et même il en est toujours une qui en général et au plus ne coupe la courbe qu'en cinq points; je l'appellerai osculatrice. Par rapport à elle l'ordre du contact s'élève à |, tandis que, pour une autre parabole quelconque de cette espèce, il ne s'élève que jusqu'à j. Pour chaque point nouveau passant à l'infini, l'ordre du contact augmente de 5. Dans l'équation suivante, contenant 1 2 constantes, l'asymptote osculatrice est mise en évidence :
(p3 -f- Ajf)r -f- v (p -f- ti) s + y. = o. (100)
Comme l'ordre du contact de la courbe avec son asymptote R peut monter , l'on obtient les deux espèces suivantes :
(p3 + *q*)r + '(p + w)(r + 0 + ," = o, (101) (p3 -f- Xcf) r + v (p + tt) f + u. = o. (102)
B. Il y a en outre une direction suivant laquelle une ligne droite quelconque coupe la courbe en deux points seulement, sans toutefois être son asymptote. De plus, toutes les paraboles d'un paramètre déterminé et dont les diamètresonl cette même direction ne coupent la courbe qu'en quatre points, sans toutefois être ses asymptotes. Mais au nombre
Jiillet i836. 32
des lignes droites en question, il en est une seule P, asymptote de la courbe, qui la coupe en général et au plus en un seul point, et au nombre des paraboles en question, il en est une série infinie dont les axes coïncident , et qui , asymptotes de la courbe, ne la coupent qu'en trois points : parmi ces paraboles, il y en a toujours une seule , asymptote osculatrice de la courbe, qui la coupe en général et au plus en deux points . Nombre des constantes : 1 1 . B contient a et /3.
a. L'asymptote P est une asymptote ordinaire :
/J(/;1 + ^7)'' H- yP* "+■ A*J == °> (io^)
p(p% + M)r + P-s = ° > ( io4)
p(pu+M)r+rr-\-f* = o. (io5)
jS. L'asymptote P est une asymptote osculatrice :
p{p*-Jr'>4/r+Gp,+ \p+iJ. = o. (106)
p{p%-\-Xq)r-)rvp-\-y. = o, (107)
/>(/>' + Af7> + ^ = °- (108)
C. Il y a en outre une direction suivant laquelle une ligue droite quelconque rencontre la courbe en deux points seulement, mais cette droite n'est jamais asymptote de la courbe. Toute parabole dont les diamètres ont cette même direction, ne coupe la courbe qu'en cinq points; mais aucune transformation, aucun déplacement d'une telle parabole ne peut la rendre asymptote de la courbe. Il y a seulement une infinité d'asymptotes cubi-paraboliques , représentées par l'équation suivante :
en y regardant x, comme une quantité indéterminée. Neuf points d'intersection ayant passé à l'infini, chacune de ces asymptotes ne coupe la courbe qu'en trois points. Parmi elles il y en a une, que j'appellerai osculatrice, qui ne coupe la courbe qu'en deux points. En général, l'ordre du contact est \; pour chaque point nouveau passant à l'infini il s'élève de -j. Nombre des constantes: 10. C'est l'asymptote osculatrice qui est mise en évidence dans les équations suivantes :
(p3 4" *q) r + <rp* + »p 4- P — o, (109)
(P% + ><?) '' + yp + ," = o, (no)
(p3 + Xq) r -f- u = o (1 n)
Dans les deux cas B et C, la courbe a un point double situe à l'infini. Dans le premier cas, des deux tangentes de ce point l'une est l'asymptote P, et l'autre est située tout entière à l'infini. Dans le second cas les deux tangentes sont situées à l'infini.
D. Il y a en outre une direction suivant laquelle une ligne droite quelconque ne coupe la courbe qu'en un point unique. En général une telle ligne droite est asymptote de la courbe dans trois positions différentes, et alors elle ne la coupe pas du tout. La courbe a un point triple situé à l'infini, dont les trois tangentes ne sont autre chose que les trois asymptotes parallèles de la courbe. Nombre des constantes : 9. D se subdivise en a, /3, y, cf.
a. Deux des trois asymptotes parallèles sont imaginaires :
(p 4- tt) (p% 4- £*) q 4- cp1 4- yp 4- h- = o > ( l ' 2) (p 4- «■)(/>• 4- k)(l + *P + f* = °> (II3)
(p + 7ï)(p' -h %)q +fl = 0. fn4)
/3. Les asymptotes parallèles sont réelles toutes les trois :
(P 4" w)(p* — %'h + «P* + fp + A* = o, (n 5)
(/» + tt^/j1 — ^17 + yp + p, = o, (116)
y. Deux des trois asymptotes parallèles coïncident en une seule. Par rapport à elles, l'ordre du contact se réduit à î-
(P 4- ir)p*q 4- o-p3 4- vp 4- ,"■ = o, (118)
(^ 4- it)p'q 4- >/' 4- « = o , (119)
«T. Les asymptotes parallèles se confondent en une seule, toutes les trois; l'ordre du contact s'abaisse à |.
p3q + <*■/>• + rp + fi = o, (121)
Huitième cas.
12. A. Il y a uue direction unique suivant laquelle une ligne droite quelconque rencontre la courbe en trois points seulement. Si l'on détermine laconstante arbitraire d'une telle ligne droite de manière qu'elle ne coupe la courbe qu'en deux points, on verrait qu'alors cette ligne droite passe à l'infini. 11 n'y a pas d'asymptote rectiligne. Toute parabole dont les diamètres ont cette même direction, coupe la courbe en six points seulement, mais elle passe à l'infini si, afin qu'elle devienne asymptote , l'on dispose de ses deux constantes arbitraires, de manière qu'elle ne coupe la courbe qu'en quatre points. 11 n'y a pas d'asymptote parabolique. Il n'y a pas non plus une asymptote courbe du troisième degré. Enfin, il n'y a pas même une asymptote parabolique du quatrième degré. Nombre des constantes: n.
B. Il y a uue infinité de paraboles du degré § , asymptotes de la courbe , et représentées par l'équation
en y regardant x. comme une quantité indéterminée. En général, une telle parabole coupe la courbe en huit points, mais il y en a une qui la coupe en sept points seulement. En général, l'ordre du contact est \, pour celle-ci ^, et si, dans des cas particuliers, des points d'intersection nouveaux passent à l'infini, il s'élève pour chacun d'eux de ~. Nombre constantes: to.
C. Il y a uue direct on unique suivant laquelle une ligne droite
(*) L'espèce générale du huitième cas est échappée à Euler, qui paiait supposer qu'une courbe d'un degré quelconque a nécessairement pour asymptote urie tourbe donnée par une équation à deux termes :
ce qui. passé le troisième degré , n'est plus vrai.
quelconque rencontre la courbe en deux points seulement ; c est parce que celle-ci a un point double situe à l'infini. En déterminant les deux tangentes de ce point, on n'en trouve qu'une setde; asymptote de la courbe, l'autre ayant passé tout entière à l'infini. Il y a avec cetteasymptote rectiligue une série infinie d'asymptotes semi-cubi-paraboliques. Nombre des constantes: 10. Suivant que l'asymptote rectiligne est une asymptote ordinaire ou osculatrice, ou obtient les deux espèces suivantes :
(p -f- 2*") ( P3 + *</*) 4- JP2 + !Jr — °> (l2^)
(p -f- tt) (p3 + X(j') -f- trp* -f- vp -f- a = o. (127)
D. Il y a une direction unique suivant laquelle la courbe est coupée par une ligne droite quelconque en deux points seulement. Il y a un point double situé à l'infini, suivant cette direction. Les deux tangentes de ce point ayant passé à l'infini toutes les deux, il n'y a pas d'asvmptote rectiligue. Toute parabole quelconque dont les diamètres se confondent avec cette direction coupe la courbe en quatre points seulement. Une telle parabole dépend encore de trois constantes arbitraires. En disposant convenablement de deux de ces constantes, on obtient deux séries infinies de paraboles, dont le paramètre et la position de l'axe sont déterminés, et qui sont les asymptotes de la courbe qu'elles coupent en deux points seulement. Enfin, dans chacune des deux séries, il y a une asymptote osculatrice qui coupe la courbe en général et au plus en un point unique. Ces deux asymptotes sont mises en évidence dans l'équation suivante. Nombre des constantes : g.
(p' •+■ ?uo (/>a -+- y) H" lP + " = °-
Mais comme les deux séries d'asymptotes paraboliques sont ou réelles ou imaginaires, il faut distinguer deux espèces indiquées dans l'équation suivante (qui est équivalente à la précédente) par le double signe :
Pour déterminer lespèce limite entre ces deux-là, examinons ce qui arrive dans le cas de paramètres égaux: /• se réduit alors à (p -+- 71), ce qui fait disparaître deux constantes à la fois de l'équation précédente. Cette circonstance indique une espèce intermédiaire. Dans celle-ci, en
aôo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
etVet, les deux séries d'asymptotes paraboliques s éloignent à l'infini : il n'y a pas d'asymptote parabolique proprement dite. De même que deux asymptotes rectilignes et infiniment éloignées sont remplacées par une parabole , deux asymptotes paraboliques infiniment éloignées sont remplacées par une asymptote unique du quatrième degré. L'équation de cette espèce est la suivante :
(p* + '<?<* + »(P + »)(? + »)•+ f = °- Cl5o)
Dans le cas de paramètres égaux, les équations (12S) et (129) deviennent
(p2 + >qY =f 7* ip + *■)' + f* = ° >
et peuvent s'écrire sous la forme suivante, pour faire ressortir les deux
;>\ mptotes osculatrices dans le cas où celles-ci sont réelles :
oa + m) kp h- *y + a (1 + ")] + ^ = ».
Dans ce cas, il faut que les huit points d'intersection passent tous à l'infini, pour que le contact de la courbe et d'une parabole soit du premier ordre, tandis que dans le cas général il suffit que cinq points , et, dans le cas de l'équation (128), que sept points d'intersection passent h l'infini. Pour les courbes du quatrième degré, les axes des deux asymptotes paraboliques à paramètres égaux ne peuvent pas coïncider. Cela exigerait qu'on pût faire disparaître tt dans l'équation précédente, sans la rendre décomposable en deux facteurs du second degré. A plus forte raison, il est impossible que deux asymptotes paraboliques de la courbe coïncident en une seule (*).
(*) Euler compte également trois espèces du cas D, désignées par lui comme la 1 3yc, 140' et i4>e- Mais toutes ses conclusions sont erronées. En partant de l'équation
y + ayx + ex *] + cy* + djx + fr + gx +~h = o ,
il décompose son premier terme en deux facteurs du second degré de la manière suivante :
(r +P-T) Lr'+p'x) ;
ce produit égalé à zéro représente deux paraboles ayant même axe et même sommet. Ces deux paraboles sont d'après lui les deux asymptotes de la courbe. Comme partout il ne voit que deux asymptotes paraboliques là où il y en a une infinité.
E. Il y a une direction unique suivant laquelle une ligue droite rencontre la courbe en un point unique. Il y a à l'infini suivant cette direction un point triple. Des trois tangentes de ce point, l'une est infiniment éloignée; les deux autres sont les deux asymptotes rectilignes de la courbe. et peuvent être ou imaginaires, ou réelles, ou confondues en une seule. A l'autre tangente répond une série infinie d'asymptotes paraboliques qui coupent la courbe en général en deux points. Dans le nombre se trouve une parabole osculatrice qui rencontre la courbe en général et au plus , en un point unique. Nombre des constantes : 8.
ip' + ^iP* + A7> H" >P + f* = °. (l30 P*— ?*J(f* + *?) + VP + f* = °» (l52' p' (p> -j- Aq) -f- \p + a* = o. (i53)
Mais ces deux asymptotes dépendent en partie du choix arbitraire des axes des coordonnées, et d'autres asymptotes eu effet vont se présenter, si, par exemple, la courbe proposée est rapportée à un autre axe des y, parallèle au premier. Je dis plus, aucune des deux paraboles d'£Wer n'est une asymptote de la courbe. Pour le faire voir, désignons, en donnant à l'abscisse x une valeur infinie , la valeur de l'ordonnée répondant aux points de l'une des deux paraboles par jr, de manière qu'on ait
et la valeur correspondant à un point de la courbe par (j- +/S) , il viendra , .-»! c(jr + W+d(jr + fi)x+f(jr+6)x + gx+k
&+#+£* = cr + ft'+y* •
et de là on tire , en ayant égard à l'équation précédente et en négligeant convenablement ,
Donc , pour que la parabole en question devienne une asymptote de la courbe , il faut ia déplacer parallèlement à ses diamètres d'une distance égale à la valeur de ,3. Si l'on a
Euler en conclut que les deux asymptotes paraboliques coïncident , ce qui ne peut jamais arriver. Dans ce cas le déplacement de la parabole déterminée par lui doit être infiniment grand, pour qu'elle devienne asymptote; c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'asymptote parabolique dans ce cas.
F. La courbe a un point triple comme dans le cas précèdent; deux de ses trois tangentes ont passé à l'infini. Il y a une seule asymptote recliligne, ne coupant point la courbe. En outre, il y a une série infinie d'asymptotes cubi-paraboliques rencontrant la courbe en général en un seul point, tandis que l'une d'elles ne la coupe pas du tout. L'ordre du contact qui en général est 3 s'élève pour celle-ci à l'unité. Nombre des constantes : 7 .
G. Les tangentes du point triple à l'infini sont situées elles-mêmes, toutes les trois, tout entières à l'infini. U y a une infinité d'asymptotes paraboliques du quatrième ordre, qui coupent toutes la courbe proposée en deux points. L'ordre de ces asymptotes, toutes comprises dans l'équation suivante, en y regardant q comme une fonction linéaire absolument arbitraire ,
p* -f Xq = o,
s'élève à ± ; mais en général il n'y a pas une de ces asymptotes pour laquelle cet ordre monte plus haut. Nombre des constantes : 6.
pi + >.q -f- vp* = O. ('35)
Paris, 25 février i836.
MÉMOIRE
Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujettis h satisfaire a une même équation différentielle du second ordre contenant un paramètre variable ;
Par JOSEPH LIOU VILLE.
(Présenté à l'Académie des Sciences, le 3o novembre 1 835. )
Lorsqu'on veut déterminer les lois du mouvement de la chaleur dans une barre hétérogène, placée dans un milieu entretenu à o°, on tombe sur l'équation aux différences partielles
, ■. du \ dx) j
(i) s -r = j — tu.
v J ° di dx
Dans cette équation qui doit servir à déterminer la température u de chaque point en fonction du temps t et de l'abscisse x de ce point , les trois lettres g , k , l représentent respectivement la chaleur spécifique, la conductibilité intérieure et le pouvoir émissif ; et, puisque la barre est hétérogène , on doit les regarder , non comme des constantes, mais comme des quantités variables données pour chaque valeur de x. Si les abscisses des deux extrémités de la barre sont x et X, on a de plus deux conditions définies de la forme
!du ,
-r- — nu = o pour x = x, / du I XI V
-r- -f- tiu = o pour x = A.,
Jullet i836. 33
a54 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
h et H étant des constantes qui peuvent avoir des valeurs quelconques depuis o jusqu'à -f- x . Enfin, on doit avoir
(3) n = f{x) pour t — o,
f(x) étant une fonction arbitraire qui représente l'état initial des températures et qui satisfait aux deux conditions
dT — hfW ~ ° Pour x ~ x> iÇf + Uf(X) = o pour x = X,
lesquelles se déduisent, en posant t = o, des équations (2) que nous avons regardées comme ayant lieu pour la valeur générale de u dont f{x) n'est qu'un cas particulier.
Pour former la valeur de u qui satisfait à l'équation (1) et aux conditions définies (2) et (5), on est conduit à développer la fonction f(x) (pour toutes les valeurs de x comprises entre x et X) en une série dont les termes successifs diffèrent l'un de l'autre par un paramètre /' et ont la propriété de satisfaire à la fois à l'équation différentielle générale
et aux conditions particulières,
t™ tir
-t- — «V =0 pour x = x,
-7- + HV = o pour x -s±- X.
On peut voir, dans l'ouvrage de M. Poisson sur la chaleur, comment on est porté, par la marche même du calcul , à admettre la possibilité de ce développement pour une fonction quelconque f(x); mais jusqu'à ce jour il a paru difficile d établir cette possibilité directement et d'une manière rigoureuse. Je me propose de donner ici une méthode très simple pour y parvenir. Je considère en elle-même la série par laquelle les géomètres ont représenté le développement de f(x) dont il est question : sans rien supposer h priori sur l'origine de cette série ni sur sa nature, j'en cherche la valeur, et je trouve que cette valeur
est précisément f(x), du moins lorsque la variable x est comprime entre les limites x et X.
Soient g. k, l trois fonctions positives données en nombres finis pour chaque valeur de oc comprise entre x et X : nous supposerons que les deux premières restent constamment > o; mais la dernière pourra être nulle, soit pour quelques valeurs particulières de x , soit même dans toute l'étendue des valeurs de cette variable. Soient encore h et H deux constantes qui peuvent avoir toutes les valeurs possibles depuis o jusqu'à +00 .
En adoptant pour le nombre /' une valeur convenable , on peut toujours trouver une fonction V qui ne devienne identiquement nulle pouraucune valeur déterminée de r, x restant indéterminée (*), et qui
* On peut exprimer A en série convergente. Pour cela soit k' ce que devient /; quand x = x : représentons par pa , p, , pt,... une suite de quantités
liées entre elles par la relation générale pm+, = / -j- I (l — gr)pmdx : pre-
/* dx —r- , et faisons p0 -f- p, 4-/>i -f- . . . = U{x, r). La
valeur de Y qui satisfait à la fois à l'équation indéfinie (A) et aux conditions définies (B) sera Y = n(x, r), r désignant une quelconque des racines de l'équation
(C) ^) + Hn(X!r, = o.
Pour i = ï, on a V = i , — = h , quel que soit r : la fonction \ n'est donc
identiquement nulle pour aucune valeur de r, x restant indéterminée. Cela posé, les racines de l'équation (C) seront toutes inégales, comme M. Sturni l'a démontré à la paje 142 de ce volume : il pourrait n'en être pbas de même si l'on employait (et cela est arrivé quelquefois) une valeur de V susceptible de devenir identiquement nulle pour certaines valeurs déterminées de r.
Quand on a H = -f- oc , la seconde des équations (B) étant divisée par H se réduit à Y=o pour x = X, et semblablement l'équation (C) se réduit à IJ(X, r) = o. Du reste, la valeur de V demeure la même que ci-dessus. Mais cette valeur change de forme quand on a h = -f- 00 : dans cette nouvelle hypothèse, la première des équations (B) devient V== opour.r ==x; et, si l'on veut continuer
/x dx —r- , sans
satisfasse à la fois à l'équation différentielle indéfinie
(A) -^^ + (gr-/)\ = o,
et aux conditions particulières ,
l -j- — n\ = o pour x = x,
