I -7- -f- HV = o pour x = X

Cette fonction V, comme ou vient de le voir, se présente utilement dans la théorie de la chaleur; mais nous la considérons ici en ellemême , abstraction faite de son usage dans les problèmes de physique mathématique.

Pour que les conditions (B) soient satisfaites, il faut que le paramètre r soit choisi parmi les racines d'une certaine équation transcendante. Nous représenterons cette équation par

(C) <sr(r) == °-

Cela posé, notre but dans ce mémoire, est de trouver directement et par un procédé rigoureux la valeur de la série

YJ yyfWda f*gV*dx

dans laquelle le signe 2 s'étend à toutes les valeurs de /• qui satisfont à l'équation (C). Quelle que soit la fonction f(x)(*) , nous montrerons

altérer d'ailleurs la relation e'tablie entre pm et £»m+1. Cela étant, on a, pour

d\ x = x , -y— = i , valeur différente de zéro : par conséquent il n'existe aucune

valeur de r qui rende V identiquement nulle, et dès lors, d'après la démonstration déjà citée de M. Sturm , l'équation (C) n'a que des racines inégales.

(*) Les fonctions que nous considérons dans ce mémoire [et la fonction f{x) en particulier] peuvent changer de forme ou d'expression analytique dans l'étendue des valeurs de la variable ; mais , aux points où elles changent de forme , nous admettrons toujours qu'elles ne possèdent qu'une seule valeur. D'après cette restriction qui nous est commune avec M. Poisson {voyez la page 173 de son grand

que la série en question a précisément f[x) pour valeur, du moins lorsque la variable x est comprise entre les limites x, X.

Mais avant d'entrer en matière, il faut rappeler quelques propriétés remarquables dont jouissent et la fonction \' et les racines de l'équation (C).

i°. Les racines de l'équation (C) sont, en nombre infini, toutes réelles et inégales : la plus petite de ces racines peut être nulle ou >■ o : les autres sont>o. Nous les désignerons désormais r„ r„, r3,...rm,...rn... et nous les supposerons rangées par ordre de grandeur, en sorte que l'on ait r, < rt < r3. . . < rm. . . < r„. . . Nous représenterons aussi par V/x) , \%[x), V3(.r) , . . . \m(x), . . .Yn(x) , . . . les diverses valeurs que prend la fonction Y lorsqu'on y pose successivement r=r,, r=ra, r=rs,.. .r=rm). ,.r=ra,. . .

2°. Si l'on considère les valeurs de V relatives à deux racines différentes rm, r„, l'intégrale définie prise de x=\ a x=~K du produit de ces deux valeurs par gdx est toujours égale à zéro, de manière que l'on a

,xg\m(x)Va(x)dx — o,

toutes les fois que la différence r„, — ra est autre que zéro.

5°. La fonction V ne devient jamais infinie, et elle ne peut changer de signe qu'en passant par la valeur zéro. L'étude des propriétés des racines de l'équation V = o, dans laquelle on regarde x comme l'inconnue, est très intéressante. Si l'on considère celles des racines des équations V,(.r)=o, \Jx) = o, \3(x)=o,. . . VB(a:)=o, . . . qui sont comprises entre x et X (abstraction faite des racines x = x, x = \, qui dans certains cas existent) on démontre que la première de ces équations est impossible , que la seconde possède une seule racine , que la troisième en possède deux, et ainsi de suite, en sorte

ouvrage sur la Chaleur), si l'on construit la ligne représentée par l'équation j- = f{x), cette ligne aura une seule ordonnée en chacun des points de jonction de deux parties conjuguées ; elle pourra avoir deux tangentes ou deux rayons de courbure différents appartenant à ces deux parties.

que la fonction V, (x) ne s'évanouit jamais, et que la fonction Ym(x) s évanouit Qn — 1) fois pour des valeurs de x>x et < X.

4°. Les (m — i) racines > x et < X de l'équation Ym(x) = o sont inégales entre elles, et de plus comprises entre les m racines de l'équation suivante : Vm+I(x)=o, Ainsi la fonction Y,(x) est la seule qui ne change jamais de signe lorsque x croît d'une manière continue de x à X : la fonction Vm(x) change (m — i) fois de signe dans le même intervalle.

5°. Si l'on désigne par Am, Am+, , . . . A„, des constantes qui ne soient pas toutes nulles , et si l'on pose

AaVJx) + Am^Vm+I(*) +. . .+ AnXn(x) = *(x),

la fonction ¥(x) ne sera jamais identiquement nulle , et l'équation 'i^.r)=o aura (m — i) racines au moins et (n — i) racines au plus entre x et X. Dans l'énoncé de ce théorème, chaque racine multiple de l'équation ^'(x)s=o (lorsque cette équation a des racines multiples) doit être comptée autant de fois qu'elle entre dans l'équation : ainsi les racines doubles doivent être comptées deux fois, les racines triples trois fois, etc.

Ou sait comment M. Poisson s'est servi de l'équation

f^g\m(x)\B(x)dx = o,

pour prouver la réalité de toutes les racines de l'équation (C). Les autres propriétés des racines /,, r„ r3f . . . ont été découvertes et démontrées en rigueur par M. Sturm (*). Considérées en elles-mêmes et indépendamment de leurs applications, ces propriétés sont déjà très élégantes : l'usage que nous allons en faire leur donnera peut-être plus de prix encore aux yeux des géomètres.

(*) On prendra une ide'e des méthodes employées par M. Sturm en lisant son Mémoire sur l'intégration des équations différentielles linéaires du second ordre voyez page 106 de ce volume). Mais la démonstration complète du 5e théorème (dont nous allons surtout faire usage) n'a été donnée par l'auteur que dans un Mémoire sur l'intégration des équations aux différences partielles encore inédit et dont il nous a promis d'enrichir ce journal.

>ious nous servirons d'abord des théorèmes contenus dans le numéro précédent, pour établir quelques lemmes préliminaires dont nous aurons besoin plus tard.

Lemme 1". Soient a, b, c,... des grandeurs inégales comprises entre x et X. Posons

V.OW-r) - V.(«)V,(x) = Ps(x), V,(«)V3(x) — Y3[a)Y,(x) = P3(x),

puis

V,(«)Vm(x) - V„(fl)V,(*} = P„,(*),

P.(Ô)PS(*) - P,(*)P.(*) = Q3(.r),

Pa(^)P4(x) - P4(£)Pa(.r) = Q4(x),

P,(i)Pm(o:) - Pm(£)Pa(*) = QB(*),

/jmj.î encore

QsMQ/*) - Q^QaC*) = R4(*)>

Q3(c)Q5(x) - Q5(c)Qs(*) = R5(x),

QsCOQ,,^) - Qn(OQ.W = M*),

et ainsi de suite. Je dis que, si l'on se borne à considérer les valeurs de x > x et <X, la jonction Ps(.r) s'évanouira pour x=a et seulement pour x = a: la fonction Q3(x) s'évanouira pour x=a> x=b et seulement pour x=a, x = b; la fonction R4(x) s'évanouira pour x — a, x = b , x=Cj et seulement pour x=a , x=b , x=.c , et ainsi des autres. De plus , toutes ces fonctions Pa (x) , Q3 (x) , R4 ( x ) , . . . changeront de signe chaque fois qu'elles s'évanouiront.

D'abord on se rappelle que la fonction V,(x) ne peut jamais devenir nulle quand x est >x et <X.

La fonction P,(ar) se ramène à la forme A,V,(.r) -r-AaVJ(:r) en posant A, = — V,(a), Aa = V,(rt), et le coefficient Aa n'est pas nul.

26o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Donc par le 5e théorème du n* III, cette fonction ne peut s'annuller plus d'une fois quand x est >• x et < X, et il est d'ailleurs évident qu'elle devient nulle quand x=a. En vertu du même théorème, la raciue a ne peut être qu'une racine simple : par conséquent , la fonction P/x) doit changer de signe en même temps qu'elle s'évanouit. Les fonctions P3(.r) , Y^x), ■ • • ne jouissent pas nécessairement des mêmes propriétés que Pa(.r) : elles s'annullent, il est vrai pour x = a, mais la racine a peut être multiple, et des racines autres que a, quoique comprises entre x et X , peuvent satisfaire aux équations Ps(x) = o, Yl(x) = o,....

La fonction Q3(a) s'annulle évidemment pour x=b, elle s'annulle aussi pour x = a puisque l'on a P/«) =o, P3(a) = o. Or, en remplaçant P.(^) et P3(x)par leurs valeurs, la fonction Q3(x) prend la forme A1V,(x) + AaV/jr) + A3V3(a;) et le coefficient A3 n'est pas nul puisqu'on le trouve égal à Pa(è) V,(«) : donc pour des valeurs de x > x et < X , Q3[x) ne peut s'évanouir plus de deux fois : donc on a bien Q3(:r) = o pour x = a, x = b, et seulement pour jr— a, x=b: de plus les racines a et b ne peuvent être que des racines simples, ce qui oblige la fonction Q/j?) à changer de signe chaque fois qu'elle s'évanouit. Les fonctions Q4(>a?), Qs(^) > • • • deviennent nulles pour x=.a et x = b ; mais elles ne jouissent pas nécessairement des autres propriétés démontrées pour Q3(.r).

La fonction R4(x) s'annulle évidemment pour x= c : elle s'annulle aussi pour xz=.a et xz=.b , car il est aisé de voir que l'on a Q3(<7)=o, Q3(6) = o , Q4(«) = o, Q4(&) = o. Or, en remplaçant Q3(x) et Q^x), puis Ps(x), P3(>r), f4(x) par leurs valeurs, celle de R4(x) prend la forme A,V,(.r) -f- A^Y^x) -f- A3Ar3(^:) + A4V4(;r), A4 ayant la valeur suivante Q3(c)Y%(b)Y,(a) qui ne peut pas être nulle. Donc l'équation R4'x)= o ne peut avoir entre les limites x, X aucune racine différente de a, b , c , et de plus ces trois racines doivent être simples, en sorte que R4(^") changera de signe en s'évanouissant.

Il est clair que l'on pourra continuer indéfiniment cette démonstration.

Corollaire. Les (m — i) lettres a, b , c , . . . représentant toujours des quantités inégales < x et > X, on peut déterminer les constantes A, , A, , A3, . . . Am , de telle manière que la fonction

V(x) — A,V,(*) + A,V,(.r) + ASVS(*) + ...+ AmV„(*),

sans être identiquement nulle, devienne égale à zéro pour x — a, x=b, x=c,... En effet, si l'on a m = 2, il suffira de prendre V(x)=: P,(r) : si l'on am=3, il suffira de prendre V(x) = Q 3(x); si l'on a m = ^, il suffira de prendre *P (,r) = R4 (#) ; et ainsi de suite.

La fonction f(x) étant ainsi déierminée, l'équation x¥(x) = o ne peut avoir que (m — 1) racines au plus (5e théorème du n° III) : or, les quantités a,b,c,. . . sont par hypothèse au nombre de (m — 1) : on voit donc, comme nous l'avons déjà fait observer, i,°. que les racines de l'équation ¥(a?)=o sont toutes inégales et comprises dans la série a, b, c,... 20. que par suite la fonction ¥(x) change de signe chaque fois qu'elle s'évanouit. Il est bien entendu que la variable x ne sort pas des limites x, X.

Lemme 2e. Soit <p(x) une jonction de x : si l'équation

(a) r <p(x)\dx = o

a lieu en remplaçant r par une quelconque des racines de l'équation (C), je dis que Ion a nécessairement <ç(x) = o,dex=^xàx=zX.

D'abord, si la fonction <p(x), sans être identiquement nulle, conservait toujours le même signe depuis x = x jusqu'à x = X, l'équation (a) serait absurde , car en posant r= r, on aurait

\[ <p(x)\ ,(x)dx = o,

et cela ne se peut, puisque la fonction Yx(x) ne change pas non plus de signe entre les limites x=x , x = X.

Supposons maintenant que lorsqu'on fait croître x de x à X, <p(x) change de signe (m — 1) fois, et soient a, b,c,. . . les (m — 1) valeurs de x pour lesquelles ce changement s'effectue. En faisant successivement r=r, , r=rif. . .r= rm, dans l'équation (et), on en déduira m équations nouvelles que l'on pourra ajouter membre à membre après les avoir multipliées respectivement par les constantes A,, A„ . .Am. En posant

A,V,(*) + A,V,(ar) +. . .+ AmVm(.r) = «(a),

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