Ô2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

on trouvera ainsi

f* (p{x) V(x)dx — o.

Mais, d'après le corollaire du lemme icr, on peut déterminer les constantes A,, A„ . . . Am, de telle manière que la fonction ¥(x) change de signe toutes les fois que x atteint et dépasse infiniment peu une des (m — i) valeurs a, b, c, et ne change de signe pour aucune autre valeur de x. En adoptant les valeurs de A„ A„ . . .A„„ qui produisent cet effet, l'élément <p(x) ^{x)dx conservera toujours le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, et par conséquent,

on ne pourra pas avoir / % <p(x) ¥(x)dx = o , à moins qu'on n'ait aussi <p(x) = o, du moins pour les valeurs de x comprises entre x etX.

Maintenant nous pouvons résoudre le problème qui fait l'objet spécial de ce mémoire.

Problème. Trouver la valeur de la série

,\Tf\v/{x)dx\ 1 />

dx \

dans laquelle le signe 2 s'étend à toutes les valeurs de r qui sont racines de l'équation (C). La variable x est comprise entre xe< X, et la fonction f(x) est donnée arbitrairement entre ces limites.

En représentant par ¥(x) la valeur cherchée et remplaçant le signe 2 par la série qu'il représente , on a

' YtwfXgYl(x)fÇx)dx \^x)fXg\^x)f{x)dx

j gV,(xydx J ^ gV,{*Ydx

V»l*)f*gV~{x)f{*)d*

I g\m (x)'dx Je multiplie les deux membres par g\m(jc)dx et j'intègre ensuite par

rapport à x en prenant x et X pour les limites de l'intégrale. Puisque pour deux indices m et n différents , on a

f* g\ m(x)V a(x)dx = o,

cette intégration fera disparaître tous les termes du second membre à l'exception d'un seul, et l'on aura

P g\m{x) Y{x)dx s= P g\m(x)f(x)dx , d'où l'on tire

JTsC*» -f{xy\ym{x)dx = o.

Cette égalité devant avoir lieu pour toutes les valeurs possibles de l'indice m et la fonction g étant constamment >o, il résulte du lemme 2e que, pour toutes les valeurs de x comprises entre xetX, on doit avoir F(x) — f(x)=o, d'où F(x)=/(x). La valeur cherchée de la série est donc f(x), entre ces limites de la variable, ce qui s'accorde avec le résultat que les géomètres ont obtenu par d'autres méthodes moins directes et moins rigoureuses que la nôtre.

D'après les équations de condition (B), qui sont remplies pour la fonction V, la valeur F(x) de la série

(V fXgVf[x)dx)

satisfait aux égalités

d¥(x) dx

dF(T)

dx

gV'dx

— h¥(x) = o pour x = x , -|- HF(x) = o pour x = X;

si donc on veut que l'égalité T(x) = f(x) soit exacte aux limites mêmes x = x, x = X, il faudra regarder la fonction f(x) comme assujettie aux deux conditions

—fc hf(x) = « pour x =± x,

dJM + H/ {x)= o pour x:='%

que nous avons admises en effet au n° I.

Nous croyons devoir ajouter à la démonstration précédente quelques remarques qui ne seront pas sans intérêt.

Par un raisonnement semblable à celui dont nous nous sommes servis pour démontrer le 2e lemme du n° IV , on peut encore établir la proposition suivante : Si l'équation

(/3) f*[<p(x)Ydx = o

a lieu en remplaçant rpar une quelconque des racines r„ r%} . . . jusqu à i\, je dis que la fonction <p[x) change de signe au moins {n — i)fois, lorsqu'on jait croître x depuis x jusqu'à X. En effet, supposons, s'il est possible, que la fonction <p(x), dans cet intervalle, change de signe (m — i) fois seulement, m étant <n, et soit (comme au n° IV) ¥{x) une fonction de la forme A,V,(.r) + A,V,(.r) + . . . + AmVm(.r), qui change de signe aussi [m — i) fois et pour les mêmes valeurs que <p(x), le produit (p{x)V(x)dx ne changera jamais de signe, et par suite on ne pourra pas avoir

f\<p{x)V(x)dx=o,

ce qui résulte pourtant de l'équation \(f&) eu y posant successivement /==/•,, r=r„ . . .r=rm, puis ajoutant membre à membre les équations ainsi obtenues, après les avoir multipliées par les facteurs respectifs A,, Aa. . .Am. Il est donc absurde d'admettre que la fonction <p(x) s'annulle {m — i) fois seulement, m étant < n : ce qui démontre la proposition énoncée.

Désignons par <r„ la somme des n premiers termes de la série

" ( PgVdx j

dont on n'a pas besoin de supposer que la somme soit connue. Pour un indice m égal ou inférieur à n , nous obtiendrons immédiatement

f*ga.Vm(x)dx=f*gYm(x)J(x)dx ,

ou , ce qui est la même chose ,

(y) jl gr.Vm(x)dx=°>

fm représentant la différence f(x) — 3"„. En comparant cette équation à l'équation (/3), on conclut de la proposition qui vient d'être démontrée, que la quantité pn s'annulle au moins (n — i) fois lorsque x croit depuis x jusqu'à X.

Soit Q une fonction quelconque de la forme AlYi(x)-{-Ayt(x) + . . . . -f-A.V,,^) (ce qui comprend comme cas particulier la fonction <7n). En posant dans l'équation [y) successivement r=r,, r=ra, . . . r=i\, puis ajoutant les équations ainsi obtenues, après les avoir multipliées par A„ A,,. . . .A„, on a :

Çl gf>*Q.dx = o;

ce qui , en posant Q = <7„, devient :

/, gfn<Tndx=:o.

Maintenant multiplions par gvndx et intégrons entre les limites x, X les deux membres de l'équation f(x) = <ra-{-pH , puis effaçons le

terme l gfa?adx, qui est égal à zéro; nous obtiendrons ainsi

f*g<rnf(x)dx= f? gtrSdx -.

nous obtiendrons une autre formule plus remarquable encore, savoir,

f*gf(xydx=pg(^+rs)dx ,

en multipliant par gdx et intégrant le carré /(^,)il=o"sa+23'„p,+f •"• Cette dernière formule nous prouve que l'intégrale / ga^dx, quelque grand qu'on prenne l'indice n, ne peut jamais avoir une valeur numérique supérieure à la limite f gf(x)%dx avec laquelle elle coïncide lorsque «= ce.