THÉORÈME

Sur les quantités incommensurables; Par M. LEBESGUE.

Dans uu mémoire qui fait partie du 3e cahier de ce journal , M. Léger s'occupe du problème suivant : Trouver la somme des restes donnés par l'opération de la commune mesure entre {/met 1. La méthode

>•!•!• 11 > i»«- m > !• • ' 1 .< A+Bi/m

quil indique, d après M. lerquem, s appliquerait egalementa «■* —

et i , ou à la racine de ax* + bx -f- c = o et à l'unité. Elle montre

bien que la somme toujours finie est de forme p-^- — ; mais c'est

là, ce nous semble, tout ce qu'elle peut donner; car elle devient impraticable quand la période de la fraction continue valeur de x , n'a pas un assez petit nombre de termes. Pour résoudre plus complètement le problème , nous avons cherché la loi des restes : il y en a deux que voici :

i°. Ces restes, pris convenablement à intervalles égaux, forment des progressions géométriques, ayant la même raison.

Cette première loi, que nous démontrerons ici, donne très facilement la somme.

2°. Ces mêmes progressions géométriques sont aussi des séries récurrentes.

Pour la démonstration complète de ce théorème, nous renverrons à la Théorie des Nombres ou à un mémoire dans lequel nous dirons quelques mots de la présente question.

Dans ce qui suit nous représenterons la fraction continue périodique valeur de xt, racine de ax,a-\-bx, -f-c = o , par xt=.qlt q%, qs, . . .

7»(<7n-,» 7»+. 9W«)> 'es quotients renfermés entre parenthèses

formant une période de n termes.

Nous représenterons les quotients complets par x%, xi} x4. . . . , de sorte qu'on aura

x, = q,, qit x3,

Nous représenterons par r,, /„ r3, . . . les restes donnés par l'opération de la commune mesure sur x, et i de sorte qu'on aura

d'où résulte immédiatement ,

X » ■ Xi i . 3L i *^— — .

r, ' J r» ' 4 ra

et par suite ,

z,x3. . . ,xm

Si l'on remarque maintenant que la série x^x^ . . . xm est nécessairement périodique en prenant xx+l ,.. . xk+„ , pour la période , on aura

"^» + |— "2-A-+-IJ-+-1 "-^*4-»n-(- 1 —etC. f Xk+l^^^X;l+n+t^—..,) Xk^g'=Xi ç.n^.g—. . .,

xh+n = xk+in=..., ce qui réduit la valeur de rm, à la forme suivante : i f1+"^i\f

si l'on fait m s= k + n/-4- g, g étant < rc.

Ainsi les valeurs de r,+B/+g, correspondantes à y*= o , i , a . . .

forment une progression géométrique décroissante dont la raison est