xk+n rk

La somme des restes r,, /•,, etc. est donc

expression qui se réduit à ;-! a~1"' ' ' — , quand la période commence

dès le terme xa ; par exemple , pour ax* = 6.

Quoique le calcul des x%, x%. . . soit assez court et puisse encore être

abrégé, il serait long d'employer la formule rm, = , pour

calculer les restes. On démontrera très facilement la formule suivante qui est générale , c'est-à-dire qui suppose à xx une valeur quelconque.

En représentant par^ , —, — .... les convergentes successives vers la

valeur de x,, on aura rm = ( — \)m-l(xx(Zm — am).

Pour le cas où x, est la racine d'une équation du second degré , ou sait, par la théorie des nombres, que les valeurs de am, /3„, prises de n en ri, à partir d'un quotient appartenant à la période de xx forment des séries récurrentes d'échelle 2<p, — ( — 1)", en posant

i<P = y'+£, j = qt+lf qk+,. ■ .qk+ï-„ j, — qk+t, qk+i. . .qk+„-

De là résulte par conséquent que les restes r, , ra . . pris de la même manière, forment des séries récurrentes d'échelle 2^( — 1)", — ( — 1)". Nos deux lois ne sont pas incompatibles. En effet, soit Sm = ( — Sm a)( — j)", posons Sm=x.Sm l} Sm, =.r.Sm,, il en résultera x*=(2(px — 1) (— 1)\ Si donc la valeur de x tirée de cette équation

s'accorde avec =-— , la série récurrente sera aussi une progression géométrique.

Un seul exemple suffira. Prenons la commune mesure de 1/7 et 1.

Quotients.... 2; 1, 1, 1, 4> '» ' l> 4>etc->

r, 2 3 5 8 37 45 82 i2T 5qo

Convergentes.. -, -, -, 5, -j, —, r-, -j^, -^, etc.

° II 2'3 l4 17 3l 48 223'

Restes, 1.1/7 — 2> — 1 • v/7— f— 5, 2^/7 — 5, — 3 1/7— f-S, 14 V^7 — $7>.

— • 7^7+45, 31^7—82, — 48^7+127, 223V/7 — 5go, etc.

La somme des 4 premiers restes divisée par 1 moins le 4' reste ou par

5 1/7 — 7, donne - ;, 7 (comme on le voit au mémoire cité plus haut.)

Si l'on veut mettre en évidence la coïncidence de la progression géométrique et de la série récurrente dont l'échelle est pour le cas présent

16, — 1 , il suffira d'observer que — = - ^~ ? = — 31/7+8, ce

qui est précisément la racine de l'équation x'— i6x — 1 ; d'ailleurs, 225 [/' — 5go= 16(141/7 — 57) — (1/7 — 2).