DÉMONSTRATION

Dun Théoreine dit à M. Sturm et relatif à une classe de fonctions transcendantes ;

Par Joseph LIOUVILLE.

(Présentée à l'Académie des Sciences le 27 juin i836.)

1. Soient x une variable indépendante; x, X, deux limites de cette variable rangées par ordre de grandeur; et g, k, l, trois fonctions de x dont les deux premières sont constamment >o, tandis que la troisième est à volonté positive ou nulle. En attribuant au paramètre r une valeur convenable, on peut toujours trouver une fonction V qui ne devienne identiquement nulle pour aucune valeur déterminée de r, x restant indéterminée, et qui, en outre, satisfasse à l'équation différentielle indéfinie

et aux conditions définies

i-r — h\ = o pour x = x, ^ -f HV = o pour x = X;

h et H désignent deux nombres compris entre o et -f- 00 , ou même égaux soit à 0 , soit à + 00 .

Aon i836. 35

On se sert de la fonction V pour la solution de la plupart des problèmes physico-mathématiques. M. Sturm en a étudié avec soin les diverses propriétés ; et je crois avoir ajouté à ses recherches quelques résultats nouveaux dans mon mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en série dont les divers tenues sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable. (*). Dans le mémoire cité j'ai pris pour point de départ un théorème général dont l'auteur a bien voulu me communiquer la démonstration encore inédite. Établir rigoureusement ce théorème par uue voie simple et très différente de celle qu'a suivie M. Sturm, tel est le but que je me propose aujourd'hui.

2. Pour que la fonction V satisfasse à l'équation (A) et aux conditions définies (B), il faut que le paramètre /soit choisi parmi les racines d'une certaine équation

Les racines de l'équation (C) sont en nombre infini, toutes réelles et inégales. Nous les nommerons r, , /•„,.... /•„,... /'„..., et nous les supposerons rangées par ordre de grandeur, en sorte que l'on ait

r, <C i\ < rm. . . . < /•„. La racine r, peut être nulle ou positive;

les autres sont >» o. Nous désignerons par V,(jt) ou par V, ce que devient la fonction V quand on y pose r=r,, et en général par V„(.r) ou par V» ce que devient \ quand on y pose r=r„. Dans son mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre (**), M. Sturm a prouvé qu'entre les limites x, X de la variable oc, la fonction V, ne s'évanouit jamais ; au contraire, la fonction V„ s'évanouit (n — 1) fois pour (n — i) valeurs de x inégales entre elles. Ces diverses propriétés de la fonction V résultent d'une analyse aussi directe qu'élégante, et désormais nous les supposerons bien connues. On sait aussi qu'en désignant par/?, q deux indices différents, on a

(D) /xXgV,VA = o,

(*) Voyez le cahier de juillet, page 252 de ce volume. (**) Voyez le cahier de mars , page 106 de ce volume .

résultat remarquable dont M. Poisson s'est servi pour prouver la réalite' de toutes les racines de l'équation (C).

Désignons par Am, Am+1, A„ des constantes quelconques, et

posons

U = AmVm -+- Am+1 Vm+I -f- -!- A„V»;

toutes les fois que l'indice p sera choisi hors de la série des nombres m, m-\-i , n, on aura, d'après la formule (D),

•vX

Ï\]\JX =

et c'est ce qui arrivera, par exemple si l'on pose p = 1 , ou p = 2, . . • ou p = m — 1. Au contraire, si l'indice/) est compris dans la série des nombres m , m-\- 1 , n, on aura

f*g\]Vp(lx = A, f*gVP'dx,

quantité différente de zéro quand le coefficient Ap est lui-même différent de zéro.

On voit par là qu'en excluant le cas particulier où les coefficients

Am, Am+I, A„ sont tous égaux à zéro, la fonction U de a: ne

peut jamais être identiquement nulle entre les limites xzzsx , ar=X; supposons en effet que le coefficient A,, compris dans la série Am, Ara+1, A„, soit différent de zéro, et nous trouverons l'intégrale

/ g\]Vpdx égale non pas à zéro, mais à A, / gS *dx , ce qui ne

pourrait être si l'on avait identiquement U=:o.

5. Cela posé, quels que soient les coefficients constants Am, Am+1,... A„, pourvu qu'ils ne soient pas tous nuls, je dis que l'équation

U = A„Vm -J- A^,Vm4., + + A„Yn = o

aura au plus (n — 1) racines tant égales qu'inégales, et qu'elle aura au moins (in — r) racines inégales entre elles. Dans cet énoncé on ne considère que des valeurs de x réelles et comprises entre x et X; on fait abstraction des valeurs de x qui sont égales ou inférieures à x , égales ou inférieures à X.

Ce beau théorème , dû à M. Sturm , et dont nous avons tiré ailleurs des corollaires utiles, est évident i° lorsque le coefficient A„

ayant une valeur finie, les coefficients Ara4., , A„ deviennent infiniment petits. Alors en effet l'équation U = o se réduit à V„=o, et possède en conséquence m — i racines inégales >x et < X; 20 lorsque le coefficient A„ ayant une valeur finie, les autres coefficients A„,, Am+I, Am deviennent infiniment petits; alors en

effet l'équation U=o se réduisant àV,= o, possède (« — i) racines >x et <X, et inégales entre elles. Mais la difficulté est d'en trouver une démonstration applicable à tous les cas.

4- Le théorème de M. Sturm se compose évidemment de deux parties; il est assez facile de voir, et nous montrerons plus bas que la seconde est une conséquence immédiate de la première. Attachonsnous donc à établir d'abord cette première partie , savoir que l'équation U=o, dans laquelle l'inconnue x est comprise entre x et X, possède au plus (n — 1) racines tant égales qu'inégales.

Pour cela nous ferons usage du principe suivant qui n'est autre chose au fond que le théorème de Rolle : si une fonction f{x), qui ne devient infinie pour aucune valeur de x comprise entre x' et x", s'annulle à ces deux limites x' , x" , et si en outre elle possède pi — 1 racines égales ou inégales comprises entre x' et x" , l'équation dérivée f'{pc) = o aura au moins u. racines égales ou inégales dans le même intervalle. En supposant toujours x > x et < x', on peut ajouter que si l'équation f(x) = o a (/»' — 1) racines inégales entre elles, l'équation f'{x) = o en aura au moins ju/.

Soit p un nombre entier positif quelconque auquel nous pourrons successivement attribuer les valeurs m} m -f- 1 , n : on a

-^ + fer,-Q V, = o,

+ (gr.-l) V, = o:

je retranche ces équations membre à membre , après avoir multiplié la première par V,, la seconde par V,: j'obtiens ainsi un résultat que je peux mettre sous la forme

(r, - r,) gV. V, dx = V.

</x p dx

le second membre est la différentielle exacte de la quantité

li (y, -1 — \p -r1) , laquelle se réduit à zéro, lorsque a:=xet

lorsque x = X, en vertu des conditions définies (B) : intégrant à partir de x = x , il vient donc

'(r, - r,) jT gV, V, dr = *(V.g - V, £),

ou, ce qui est la même chose,

(r. - r,)fx6V* V, ./x =