AV

Si, dans cette équation, on pose successivement p=m, p=.m-\- i, ....

pz=.n, qu'on ajoute tous les résultats ainsi obtenus après les avoir

multipliés respectivement par les coefficients Am, Am+ ,...., A„, et

que de plus on fasse

\ A u — ^ (''/ — rp) Ap — ap t y" * ' >

ce qui donne a, = o, on obtiendra

<ir'

Puisque la fonction V, ne s'évanouit jamais entre les limites x = x, x = X, les racines de l'équation "$? = o sont, entre ces limites, les mêmes que les racines de l'équation U = o : nous appellerons H le nombre de ces racines, et il s'agira de prouver que l'on a /* < n — i ou tout au plus [/, = n — i. Or, si l'équation "i" = o

possède p racines > x et < X , l'équation j- = o , ou

fx gV« (a, V. + «. + , V«+1- -H -|- rt.V.) ^r = o ,

en aura aussi (^, — i ) au moins > x et < X : il est d'ailleurs évident que cette équation est satisfaite lorsque l'on pose dans son

premier membre x = x : elle l'est également lorsque l'on pose x = X; car, en vertu de la formule (D) , son premier membre se

réduit alors a fl, g\ , dx , quantité nulle puisque a, =a o. Donc

la dérivée de ce premier membre doit s'évanouir au moins ft fois entre les limites x, X de l'inconnue x: en d'autres termes l'équation

am V. ■+■ am+ , Ym + , -f- -f. rt. V, = o,

doit posséder au moins /ut. racines > x et < X.

Ainsi en admettant que l'équation U = o possède \i racines dans l'intervalle compris depuis x = \ jusqu'à ,r = X, on est contraint d'admettre que l'équation

Am (r. - r,) V„4- -H A. (r„— r.) Vn = o,

possède p racines au moins dans le même intervalle. Répétons notre raisonnement, et nous verrons qu'il en est de même àjortiori des équations suivantes :

Am (rB — r,y Ym -f- -{-A. (r. — r,)a V. =o,

Am (r. — r,)'. VM + -{- AB (r, — r,)'. V. == o ,

quelque grand que soit le nombre i. Dans cet énoncé, nous considérons toutes les racines tant égales qu'inégales ; mais en se bornant aux racines inégales entre elles , on aurait encore le même théorème : c'est ce qui résulte évidemment de la deuxième partie du principe fondamental posé plus haut.

En divisant les deux membres de la dernière de nos équations par (r. — r,)' , on la met sous la forme

(E) Am(;^y+ -f-A.v.(*)==o.

L'équation (E) doit avoir jâ. racines au moins, quelque grand qu'on prenne le nombre entier i. Mais puisque les quantités positives r, , . . . rm> • • • r» sont rangées par ordre de grandeur, cette équation se réduit à V»= o lorsqu'on attribue à i une valeur infiniment grande; et alors

PURES ET APPLIQUÉES. â75

elle possède (n — i) racines : donc onaf/,<« — i ou tout au plus ix =:n — i , ce qu'il fallait démontrer.

5. On rendra la fin de cette démonstration plus rigoureuse encore

en la présentant d'une autre manière. Faisons (-^r-^-^J = & , l'equation (E) dont on divisera les deux membres par A„, peut être mise sous la forme

n (x) désignant une fonction qui ne dépasse jamais un certain maximum M et dont la dérivée Tl' (x) ne surpasse jamais un autre maximum N: le coefficient a> devient infiniment petit lorsqu'on prend i infiniment grand. Les (n — i) racines de l'équation Y/x) =o, comprises entre x et X, sont toutes inégales. Cela étant, on peut diviser X — x en intervalles assez petits pour que dans les uns V„ (x) conserve toujours une valeur >&)M, tandis que dans les autres V, (x) s'évanouira et changera de signe, la dérivée Y'a(x) restant constamment >û>i\T: dans les premiers, il est évident que l'on a \n(x)* > û)*n(<r)*, et que par suite l'équation V„ (x) -fo)U(x) = o n'est jamais satisfaite; pour étudier ce qui arrive dans les seconds , nommons a, une quelconque des racines de YH{x) = o, et désignons par h une quantité finie très petite; le coefficient «étant infiniment petit, les deux fonctions

V, (a— h) H- aU\et — h) , V„ [a. + h) + a>U (a -f- h)

auront les mêmes signes que leurs premiers termes , c'est-à-dire des signes opposés : donc entre les limites a — h, a.-\-h de x, l'équation

VB (x) -f- aU (x) = o

a au moins une racine : d'ailleurs elle n'en a qu'une , puisque la dérivée V'„(.r) -+■ a>U'(x) , dont le premier terme V'B (x) reste > co N, ne s'évanouit pour aucune valeur de x comprise entre a, — h et a + h.

Outre les (n — i) racines > x et < X, l'équation V„ = o peut avoir encore dans certains cas la racine x et la racine X. Le cas où. la racine a serait ainsi égale à une des limites x, X mérite un

examen spécial. Supposons par exemple a = x : on traiterait de la même manière le cas où a = X. Or, VB(x) étant = o, la dérivée

V'„ (x) ou —p— ne peut pas être nulle: la première des équations (B),

lorsqu'on y pose r = rn nous donne donc h =00 , et par suite V = o pour x = n, quelle que soit la valeur de r: l'équation (E) et l'équation V =0 sont donc satisfaites eu posant x = x; mais nous devons faire abstraction de cette racine .r=x, puisque, dans l'énoncé du théorème de M. Sturm, on ne considère que les racines > x et < X. Maintenant de x=x à x = x -f- h , h étant une quanlité très petite, je dis que l'on n'a jamais

AnV„ (x) + a>n (x) = o:

en effet il faudrait pour cela (d'après le théorème de Rolle) que, dans le même intervalle h, la dérivée V. (x) + on'(x) pût s'évanouir, ce qui n'a pas lieu.

En résumé l'équation (E), où l'on suppose i infini , a (n — 1) racines > x et<X, comme l'équation V„ (x) = o; et l'on a /J.<Cn — 1 ou tout au plus^e=w — i, comme nous l'avons dit ci-dessus.

(3. La seconde partie du théorème de M. Sturm pourrait se démontrer par une méthode semblable à celle dont nous venons de faire usage, ou plutôt par une méthode inverse. En effet puisque le nombre des racines inégales entre elles d'une équation

AnV„ -f- -f- A„V„ = o

est tout au plus égal au nombre des racines de l'autre équation

Am (r. — r,)' V. + . . • + A„ (r. - r,)'. V„ = o ,

en remplaçant Am par Am (r„ — r,)-'^ A, par Aa (r„ — r,)-1,

on en conclut réciproquement que l'équation

AmV„ + 4- A.V„ = o

a au moins autant de racines inégales entre elles que l'équation

Ara (r. — r,)"'. V„ -f- + A„ (r. — r,)"'. V. = o ,

laquelle en possède m — 1 lorsqu'on fait i= ce.

Mais la première partie du théorème de M. Sturm étant admise, la seconde s'en déduit sans peine; et même les raisonnements qu'il faut employer pour cela sont écrits tout au long dans le mémoire sur le développement des fonctions en série que j'ai cité plus haut. Nous renverrons donc le lecteur au lemme premier et à la proposition démontrée n° VI de ce mémoire.

Pour établir ce lemme et cette proposition, il suffit évidemment de connaître la première partie du théorème de M. Sturm que nous venons de démontrer. Or, en vertu de la proposition établie n° VI du mémoire en question (dans l'énoncé de laquelle il nous est permis de remplacer n par m — i,et$ (x) par g <p[x) , puisque g ne s'évanouit jamais), quand l'équation

J g\T<p(x) dx = o,

est satisfaite en remplaçant r par une quelconque des racines r,,t\, .... rm, , la fonction <p (x) change de signe (m — 1 ) fois au moins entre les limites x = x , x = X (*). Ce cas est précisément celui où se trouve la fonction

p (x) ''== Û' •= JC V» + • • • -, + A. V. :

donc le premier membre de l'équation U = o change au moins (m — 1) fois de signe lorsqu'on fait croître x, d'une manière continue, depuis x jusqu'à X: donc enfin à fortiori Y équation U = 0 a au moins (m — 1) racines inégales comprises entre x et X, ce qu'il fallait prouver.

(*) Le n° VI du mémoire dont nous parlons, répond aux pages 264 et 265 de ce volume : il s'y est glissé une faute grave , que l'on pourra corriger à la main sur chaque exemplaire, à l'aide de Yerrata suivant: Page 264, ligne 8 , et Page 2Ô5, ligne 5, au lieu de au moins (n — 1) fois , lisez: au moins n fois.

Page a64 , ligne 1 1 et ligne 21 , au lieu de m étant <n , lisez ; m étant n.

Aoct i836. 36

a78 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

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