II

PREMIÈRE SOLLTIO> Dl PROBLEME (A).

Soient m un nombre impair quelconque, et A,, A3, As. . . Am. . . des coeOiciens constans inconnus; faisons

A,cos.r -f- A3 cos 5x -f- A3cos5x -f- etc. = 2.kmcosmx, et

A.cosj: -f- 5A3cos3x -f- 5Ascos5x -f- etc. = 2Ammcos mx.

Désignons par Y(x), f(x), deux fonctions de x , dont on connaisse les valeurs depuis x = o jusqu'à x=-. Cela posé, notre problème peut s'énoncer de la manière suivante.

( )n demande de trouver la valeur de Am qui satisfait à l'équation (A) 2 \ m m cos mx -f- JÇx) 2Am cos mx = F (x) pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x = o, x== -.

Néanmoins, pour rendre cet énoncé plus précis, il faut ajouter les remarques suivantes qui dérivent de la nature même de la question.

i". Le problème qui, dans le n° I, nous a conduits à l'équation (A), nous montre que la quantité cos mx est la limite vers laquelle tend Je produit e~nycosmx, quand la grandeur positive y devient infiniment petite. En posant e~y = p , p sera un nombre infiniment peu inférieur à l'unité, et nous aurons e~m' cos mx = p" cos mx. II résulte de là que si nos «éries périodiques deviennent indéterminées, nous

PURES ET APPLIQUÉES. 4t

pourrons et nous devrons même en multiplier les divers termes par les puissances successives d'une quantité infiniment peu différente de l'unité, ce qui détruira l'indétermination.

2°. Les deux fonctions f(x) et F(\r) sont données en nombres finis pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites oc = o,

x==-. Le cas où ces fonctions deviendraient infinies, dans l'inter-

valle cité, doit être exclu formellement comme contraire à la nature physique du problème qui nous a fourni l'équation (A).

5°. La fonction ^(.ar) est en outre constamment positive, puisqu'elle exprime le rapport du pouvoir rayonnant à la conductibilité.

4*. La fonction T(x) peutêtre indifféremment positive ou négative;

mais nous la supposerons nulle à la limite x = - , en sorte qu'on ait F (-) = o. En effet, le premier membre de l'équation (A) s'annule pour la valeur particulière x= - ; si donc on n'admettait pas la condition Ff-J = o, l'analyse paraîtrait se contredire, puisque le second

mWnbre ne s'annulant pas pour cette même valeur, cesserait alors d'être égal au premier.

Si la fonction f(x) se réduisait à une quantité constante $, l'équation (A) pourrait être écrite ainsi

2Am (/tt-f-/3) cos mx = F (x) ;

et par la méthode ordinaire on en déduirait