DÉMONSTRATION

D'un Théorème de M. Cauchy^ relatif aux racines imaginaires des Equations;

Par C. STURM et J. LIOUVILLE.

i. Soit f(z) = zm + A,zm-' + \>zm—-t- -f- Am 1z+Am une

fonction entière de z dans laquelle les coefficients A, , A» , . . . , A„„ Am sont des constantes quelconques réelles ou imaginaires. Si l'on remplace l'indéterminée z par x + jy — i, f{?) prendra aussi la forme P j Q \/ — i } P et Q étant des fonctions réelles de x, y , et si l'on peut trouver des valeurs réelles de x et y qui annullent à la fois P et

Q , eu substituant ces valeurs dans la formule x -\-y \J — i , on aura une racine de l'équation J"(z)=o. On dit que la racine z=x-\-y\/ — i est simple quand on a j~(z) = o, sans avoir en même temps j~'(z)=o : on dit que cette racine est double quand on a à la fois f(z) = o , f(z) = o, sans avoir eu même temps f"(z) = o; et en général elle est multiple de l'ordre n quaud on a à la fois f(z) = o , f'(z) = o , . . • . , y(°~,3(z) = o , sans avoir en en même temps fw(z) = o. Nous regarderons toujours une racine double comme équivalente à deux racines égales entre elles; et ainsi de suite. Cette convention que les géomètres font ordinairement simplifiera beaucoup les énoncés de nos théorèmes. On peut regarder les deux quantités x et y qui entrent dans une expression quelconque de la forme x-{-J\/ — i , comme étant l'abscisse et l'ordonnée d'un certain point M rapporté à des axes rectangulaires Ox, 0/ et situé dans le plan de ces axes : x -{-y\/ — i devient réelle et le point M est placé sur l'axe des x , quand on a y=^o. A

chaque valeur de x-\-y\/ — 1 répondra ainsi un point M ayant x pour abscisse, y pour ordonnée, et réciproquement à chaque point M dont les coordonnées sont x et y répondra une expression de la forme x -j-y \/ — 1 . Parmi les points que l'on obtient en construisant ainsi la formule x -\-y V — 1 , on doit distinguer ceux pour lesquels on a à la fois P = o , Q = o : ces points représentent en quelque sorte géométriquement les racines de l'équation f{z)-=.o.

2. Cela posé; si l'on trace dans le plan des xy un contour ferme quelconque ABC,

on peut se demander si, dans l'intérieur de ce contour, il y a des points pour lesquels P et Q soient nuls en même temps, et combien il y en a; ou plus brièvement, on peut se demander combien, dans l'intérieur du contour ABC, il y a de racines de l'équation /Y."-) — o Or, pour résoudre cette question , M. Caucby a donné dans un de ses

mémoires la règle que voici, p Considérons le rapport ^ qui est une fonction réelle et rationnelle

des coordonnées x, y: ce rapport pour chaque point du contour ABC a une valeur déterminée, si toutefois on suppose qu'il n'y ait sur le contour même aucun point pour lequel P et O soient nuls en même temps. Si l'on marche le long du contour ABC toujours dans le même sens ABC , en partant du point quelconque A jusqu'à ce qu'on revienne à ce point , la quantité ^ prendra successivement diverses valeurs, et pourra changer de signe

en passant par zéro si P s'annulle et par l'infini si Q s'annulle. Soit

a8o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

P i le nombre de fois où -=. en s'evanouissant et changeant de signe passe

du positif au négatif , k le nombre de fois où x en s'evanouissant et

changeant de signe passe du négatif au positif, et A l'excès de i sur i : cet excès A ou i — k sera toujours double du nombre fx, des racines égales ou inégales contenues dans le contour ABC.

Le théorème de M. Cauchy consiste, comme on voit, dans l'équation |« = ;i,fj et A ayant la signification que nous venons de leur attribuer.

Il est bien essentiel d'observer que , dans cet énoncé , on ne tient

nullement compte des changements de signe que -r peut éprouver en

passant par l'infini : on ne fait non plus aucune attention aux cas où

^ sannulle sans changer de signe.

La démonstration que M. Cauchy a donnée de son théorème est fondée sur l'emploi des intégrales définies et du calcul des résidus. Celle que nous allons exposer ici repose uniquement sur les premiers principes de l'Algèbre. Nous ne supposerons pas même connue cette proposition fondamentale de l'analyse des équations , que toute équation

algébrique. f(z) = o a au moins une racine de la jorme

a -f- b y — i , nous proposant au contraire de déduire ce dernier principe du théorème de M. Cauchy dont il est, comme on le verra et comme l'auteur lui-même l'a observé, un simple corollaire.

5. Ce théorème est évident pour un contour quelconque ABC, lorsque dans l'intérieur de ce contour et sur le contour même on n'a jamais P r= o : alors en effet les deux nombres fx. et A sont tous les deux nuls et par suite l'équatiou jx =. \ A est satisfaite.

Elle est satisfaite encore lorsque dans l'intérieur du coutour ABC et sur ce contour même on n'a jamais Q = o: le nombre p est alors encore égal à zéro et je vais prouver que l'on a aussi A = o. En effet la fraction =:, quand on aura fait un tour entier pour revenir au point de

départ A, devra se retrouver en ce point affectée du même signe que d'abord elle possédait, quand le mouvement a commencé : donc cette fraction doit changer de signe un nombre pair de fois, toujours en

s évanouissant, puisque son numérateur seul peut devenir nul, et en passant alternativement du positif au négatif et du négatif au positif: donc enfin l'excès A du nombre de fois où elle va du + au — sur le nombre de fois où elle va du — au + en s'évanouissant . est égal à zéro, ce qu'il fallait prouver.

4. Considérons maintenant un point M pour lequel on ait à la fois P = o, Q=o et qui réponde par conséquent à une racine simple ou multiple de l'équation f(z)=o. Traçons autour du point M un contour convexe A.A^AsA,,. Si pour un point quelconque IN de la courbe ainsi tracée , le rayon vecteur MN ou r est suffisamment petit, le théorème de M. Cauchy aura lieu pour ce contour A.A^A,,. C'est ce que nous allons prouver.

Soient a et b les coordonnées du point M. En nommant <p l'angle que le rayon vecteur MN ou r fait avec l'axe des jc , les coordonnées du point N seront x== a-\- rcos <p, ?'= 6-f-rsin<p ; et par suite , en développant f[x-\-y \f — 1) et observant que f{p--\- b \/ — 1) = o, on aura

(0 /fc.+JT; VS),^ /'(q+fV/— • '-(cos ? + V^M sin <P)

. /"(a+bl/^l) , , .

+ — — ! — • . r*\cos ç +V — 1 sin <p)*-i- . . .

+ i.Z... m ^.r"(cos<p+V— 1 sm^)B.

Le terme général de ce développement est

J \7. n - ^Cœs <p+ V— 1 sin <p)';

représentons par H„ le module de ^ ° ^a+ V ~l> et par a, un angle

convenable, en sorte que l'on ait

TaTTT^ = "• ^cos &" + V— 1 sin et,) ,

puis rappelons-nous la formule de Moivre (cos <f> + V— "ï siu <p)' = cos ntp-+- \/ — 1 sin n<p; ce terme général deviendra

H.r,[cos (n<p -f- «„) + V^Tsin (n<p -f- «„)]. On a donc

Z^+jV-i) = H,/{cos(<?>-fa,) H- vZ—isinfo + a,)]

+ H1r,[cos(2<p4-a.) + V/— i sin(2<p-f-a,)j-f-

+Hmrmcos(m(p4-am)-H\/ — i sin (mip+a,,)] j

d'où résulte

P = H,ra>s(<p-f «,) -f- Htr*cos(3<p + a1) +. . .-f- Hm/jncos(mip4-=<m), Q = H,rsin((p + a,) + Har'siri(2!p-+-a!1) -j-.. .+ HmfJBsin(m<p + am).

Si la racine a -f- b \/ — i est une racine simple , le coefficient H, sera essentiellement différent de zéro; ce cas est celui qu'il convient d'examiner en premier lieu.

5. Pour mieux fixer alors le degré de petitesse du rayon vecteur r, désignons par K la somme des modules Ha, H3, ...Hm,

et posons à la fois r < i, r< -*~ , c'est-à-dire rendons r

plus petit que le plus petit des deux nombres i et ' - 2. En adoptant pour r une yaleur assujettie à la condition qui vient d'être énoncée, P aura le même signe que son premier terme H,/'cos(p+a,) toutes les fois que la valeur absolue de cos(<p-f-a,) sera supérieure à

— , ce qui arrivera si l'angle <p-J-ai est compris entre les limites

— , —, -, ou entre les limites -Ç , *y-, de même le signe de Q sera celui

de son premier terme H,rsin(<p -{-«,) toutes les fois que la valeur absolue de sin(<p-f-a,) sera supérieure à ^— , ce qui arrivera si l'angle

?+a, est compris entre les limites -, , -5j ou entre les limites ~, ^.

Ce que nous venons de dire sur la manière dont les signes de P et Q dépendent des signes de leurs premiers termes, est vrai non seulement le long du contour A,AaA3A4, mais encore dans son intérieuroù

l'on art fortiori r<i, r<^^; or, quand la valeur absolue de sin(<p+«,) est plus petite que —?, cellede cos(<P+«.) est plus grande

que — , et vice versa; donc, quel que soit <p et sauf le cas où /=o, une au moins des deux quantités P, Q est différente de zéro, et possède le même signe que son premier terme. Sur le contour A,A,A3A4 , et dans son intérieur, il n'y a donc que le point M pour lequel on ait à la fois P = o, Q=o, et qui réponde à une racine de l'équation /(*>== o.

Cela posé, pour parcourir le contour A,A,A3A4, uous désignerons par A,, A,, A3, A4, les quatre points pour lesquels on a. . . <H-a,=|, <p-\-x,z=j, <?+*,= j, <p+a,= £; et prenant le point A, pour point de départ, nous irons successivement de A, en Aa, de A, en A3, de A, en A4, et de A4 en A,. D'après ce que l'on vient de dire, le polynôme Q ne changera jamais de signe dans l'intervalle A,A, ni dans l'intervalle A3A4, et la même chose aura lieu pour le polynôme P dans les deux intervalles AaA3, A4A,.

Au point A, les deux polynômes P et Q ont les mêmes signes que

leurs premiers termes, tous deux égaux à H,r.— , c'est-à-dire le

signe +; la fraction - est donc positive. Au point Aa ces deux

polynômes ont encore les mêmes signes que leurs premiers termes qui

sont — H.r. — , H.r. — : et la fraction - est négative. Quand on a 7 a ' Q D

p va du point A, au point A, , la fraction g change donc de signe une

ou plusieurs rois; et comme dans cet intervalle on n'a jamais Q = o,

il en résulte qu'elle s'évanouit toujours au moment où elle change de

p signe. En vertu de ces changements de signe , la fraction g d'abord

positive devient négative , puis redevient positive, et ainsi de suite. Mais comme finalement le signe -f- se trouve remplacé par le signe — ,

il faut que le nombre de fois où la fraction g passe du positif au négatif

l'emporte d'iiue unité sur le nombre de fois où elle passe du négatif au positif.

P Du point A, au point A3 la fraction - change encore désigne; mais

sans s'évanouir , puisque dans cet intervalle on a constamment P<o.

Du point Aj où la fraction ~ est positive jusqu'au point A4 où elle

est négative , les changements de signe n'ont lieu que lorsque P s'évanouit. On arrive donc pour l'intervalle A3A4 au résultat fourni par

l'intervalle A,A,, savoir que ^ en s'évanouissant passe du positif au

négatif une fois de plus que du négatif au positif.

Enfin, dans l'intervalle A4A, , P est toujours > o, et la fraction

-. ne peut jamais s évanouir.

En résumé, nous trouvons donc pour le contour entier A,ABA3A4 l'excès A égal à 2 ; d'un autre côté ce contour ne renferme dans son intérieur qu'une seule racine. Le théorème de M. Cauchy est donc vrai pour le contour en question.

6. Supposons en second lieu que la racine a + b \/ — 1 soit multiple de l'ordre n: on devra regarder alors le contour A, A, A3 A4, dont les dimensions sont très petites , comme renfermant n racines égales entre elles, et l'on aura par suite f/, = ?i : pour que le théorème de M. Cauchy soit exact, il faut donc que l'excès A soit alors égal à 2n. Or, quand la racine a + b y — 1 est multiple de l'ordre n, on a H, = o, H, = o, .... Hn, = o ; les valeurs de P et de Q sont par conséquent

P = H. r* cos (wp + a„) -f- H„ + , r" + ' cos [(n -f- 1) <p -7- a, + ,]

-f- . . . -J- Hm 7jn cos (m<p -+- am) Q = H. r" sin (n<p -f- a.) + H^.r'-'-'sin [(«+ 1) <p +*» + .] + •• • -f- Hmrm sin (mcp + am).

Pour fixer le degré de petitesse du rayon r, nous désignerons par K la somme H„ ^ , -f- H, + , -f- . . . . + Hmet nous prendrons r plus petit

que le plus petit des deux nombres 1 et ° ^ 2. En adoptant

PURES ET APPLIQUÉES. afiS

pour r une valeur assujettie à cette condition, le signe de P sera le même que celui de son premier terme H„ r"cos ( n<p -f- a„ ) toutes les fois que la valeur absolue de cos (n<D + a.) se trouvera

supérieure à .*__? , comme cela arrive quand 1 arc n<p -4- «a est

compris entre les limites ~ , -r , ou entre les limites Ç- , ~ , . . . . r 4 4 4 4

et ainsi de suite jusqu a 1 j — -- , -, — — : de même le signe

de Q sera celui de son premier terme H„r" sin [n <p -f- an) toutes les fois que la valeur absolue de sin <r2<p-f-a„) se trouvera supérieure a — ,

ce qui arrivera si l'arc n<p-\-a.n est compris entre les limites - , —, ou

. ., . Sr w /» ii- •. (8n — 3> (8/i — i)t

entre les limites -7- , '-j-, ou enfin entre les limites -. , i ; .

On conclut aisément de là que, sur le contour A,A,A3A4 et dans son

intérieur il n'existe aucun point ( le point M excepté), pour lequel en ait à la fois P = o, Q = o : c'est pourquoi l'on a /.t = ??, comme nous l'avons dit tout à l'heure.

Cela posé, pour parcourir le contour A,AsA3Ai, nous désignerons par A,, A„ A3, . . . A4„ les points pour lesquels on a

sr ■ , 3tt . 5t (8/i — 3W

/<tp-f-a„ = 7, ^4-tf„ = T, nç + a„ = — , nt$-\-a± — '-;

et, prenant le point A, pour point de départ nous irons successivement de A, en Aa, de Aa en A3,. ... de A4„ en A, D'après ce que l'on vient de dire, le polynôme Q ne changera jamais de signe, ni dans l'intervalle A,Aa, ni dans l'intervalle A3A4>. . . ni dans l'intervalle A4.,A4lI ; et la même chose aura lieu pour le polynôme P dans les intervalles

AaA3, A4A3, . . . .A4r,A,. Il est inutile de considérer ces derniers inter-

valles dans lesquels - ne peut pas s'évanouir : dans tous les autres au

contraire, cette fraction s'évanouit et passe du positif au négatif. Ainsi, par exemple, au point A, , P et Q ont les-mêmes signes que leurs pre-

miers termes, tous deux égaux à U^. — : la fraction - est donc positive : on peut s'assurer au contraire qu'en Aa elle est négative : donc

Aobt i836. 3"]

dans l'intervalle A,A„ elle change de signe une fois ou un nombre impair de fois en s'évanouissant et allant de + à — , puis de — à +,... puis finalement de -f- à — ; le nombre des passages de + à — surpasse d'une unité le nombre des passages de — à -{-. Ce que nous disons pour l'intervalle A,Aa a lieu pour les zn — i autres intervalles ASA4, A5A6, . . . A4„,A4„. L'excès A est. donc égal|à in, de sorte que le théorème de M. Cauchy est rigoureusement démontré pour le contour que nous considérons (*).

(*) On simplifiera beaucoup cette démonstration en admettant , comme on a au fond droit de le faire , que l'équation f{z) = o n'a pas de racines égales. Si l'on adopte cette hypothèse , on pourra aussi se dispenser de recourir à la formule de Moivre , en présentant le raisonnement de la manière suivante. Après avoir développé f(x,-\-J"V' — ') et obtenu la formule (i) du n° 4 ■, on séparera dans cette formule le premier terme fia. -\- b\/ — i)r(cosip-f- \/ — 1 sin <p) de tous les autres dont on représentera l'ensemble par P,-f- Q, j/ — i , et après avoir

mis f'(a -+- b {/ — i)rfcosp -f- \/ — » sinip) sous la forme

H,r[cos(p + «,) + y/ — i sin(<p -f- <*,)] , on aura

f(x -hr y/^) — H,r[cos(f + *,) + l/^Tsin(p + «,)] + P. +Q, V^T , qui donne P=H,rcos(p + *,) 4-P,, Q=H,rsin(p -f-*,)-|-Q,. Pour fixer le degré de petitesse du rayon r que nous prendrons d'abord < i , représentons par

H -r" le module du terme général /-"(cos <p 4- l/ — isinffl)" : le

module de la somme P, + Q, ^' — i sera moindre que la somme des modules U^r* + 113^+ . . . -f- H,,»"" et à fortiori moindre que r'(H, -f- Hj -f- . . . -f- Hm) . en posant H, +Ha+. . . -fHm = K, on aura donc l/P;+Q* <C Kr2 , ce qui exige que la valeur absolue de chacune des quantités P, , Q, soit aussi <[ Kr*. Cela posé,

si l'on prend r<[ ' y , il~est clair que le signe de P sera semblable au signe

de son premier terme, et constamment négatif depuis le point Aa, où..

cos(<f> -f- «,) = — jusqu'au point A3 où l'on a encore cos(<p-f-œ,) = . Au

contraire, le signe de P est constamment -f- depuis le point A4 où l'on a

cos(<p [. aT) — jusqu'au point A, , où 1 on a aussi cos(<p+ a.) — — • De

même la fonction Q est toujours positive dans l'intervalle A,A3 , et toujours négative dans l'intervalle A3A4. On achèvera ensuite la démonstration comme au n° 5 , où les points A. , A, , A3 , A4 ont la même signification qu'ici.

7. Quand le théorème de M. Cauchy a lieu pour deux contours ABCA, ACDA qui ont une partie commune AC, il a lieu également pour le contour total ABCDA formé par leur réunion. En effet, l'excès A du nombre de fois où ^ en s'évanouissant passe du -fau — sur le nombre de fois où cette fraction en s'évanouissant passe du — au -f- est le même . soit qu'on parcoure le contour total ABCDA, soit qu'on parcoure successivement les deux contours ABCA, ACDA, puîsqua chaque passage du -f- au — ou du — au + qui a lieu quand on va sur le côté AC de C en A répond un passage inverse du — au -+- ou du -f- au — quand on va sur le même côté de A en C. Or en supposant que le nombre des racines soit égal k/u.' dans le contour AKCA et h/u." dans le contour ACDA, on a A =2^. pour le premier de ces contours et A = 2/a" pour le second, puisque le théorème de M. Cauchy est supposé applicable à l'un et à l'autre : d'après ce que l'on vient de voir, il résulte de là que, pour le contour total ABCDA, on a A=a(;w'+fc"), équation qui ne diffère pas de l'équation A = 2ft du n° 2 appliquée au contour ABCDA dans lequel il y a /*' -f-/*." racines. Le théorème de M. Cauchy est donc vrai pour le contour ABCDA , ce qu'il fallait démontrer.

Si l'on considère un nombre quelconque de contours juxtaposés, pour chacun desquels ce théorème ait lieu, il aura lieu également pour le contour total formé par la réunion de ce\ix-là : c'est ce qu'on verra en réunissant ces contours successivement deux à deux, comme on peut le faire d'après ce qui vient d'être démontré.

8. Étant donné un contour quelconque ABC, on peut toujours le concevoir divisé iV en contours convexes tracés autour de chaque racine contenue dans l'intérieur de ABC et assujettis aux conditions énoncées n°6 : 2°. en contours semblables à ceux dont on a parlé n" 3, c'est-à-dire pour lesquels on n'ait jamais à la fois P = o, Q= o. Le théorème de M. Cauchy ayant lieu pour les diverses parties dans les-

a88 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES.

quelles on divise ainsi le contour ABC aura lieu pour ce contour même ABC, dont la forme est arbitraire.

Ce théorème est donc entièrement démontré.

Toutefois nous excluons formellement le cas particulier où , pour quelque point de la courbe ABC, on aurait à la fois P = o, Q=o : ce cas particulier ne jouit d'aucune propriété régulière et ne peut donner lieu à aucun théorème; car dès qu'on l'admet, l'excès A peut varier avec la forme du contour sans que le nombre jâ. varie : de sorte qu'il n'existe alors entre fJt. et A aucune relation constante.

g. De l'origine 0 des coordonnées comme centre et d'un rayon r très grand, traçons un cercle, et cherchons combien l'équation f(z)=o a de racines comprises dans l'intérieur de ce cercle. Soit <p l'angle qu'un rayon quelconque ON fait avec l'axe des oc : les coordonnées du point N seront .r=rcos(p, j-=rsin<p, et l'on aura

f\x -\-jsJ— i) = rm(cos m<p -+- \/ — 1 sin mtp)

+ A,/""-1 [cos(to — i)<p f- y/ — i sin(w — i)<p]

-f-Am, r(cos<p + v/ — isin<p)H-Am.

Soit H, le module de A,, . . .Hra, celui de Am, , Hm celui de Am et supposons que l'on ait

A, = Ht (cos a, -f-V^ — i sin a,) , AjSsH^cos a.-f- V* — i sina„), etc. On aura

f{x-\-js/ — i) =/,m[cos mç+y/ — i sin m<p]

-j-H,/"— cos[(?? — i)<p+a,],-j- V7— i sin[(m — i)<P+a0]

+ Hm(cos a„,-r- \/ — i sinam) ; ce qui donne

P=rmcosm<p-j-H(rm-,cos[(>ra — i)<p-f-a,]+. . .-f-H,,, cos*m , Q=r sin/«<p-|-H1r,n~ 'sin[(7« — i <p-f-a,]-f-. . . +H„ sina„,.

Prenons le rayon /à la fois > i et > K S/z, K désignant la somme

des modules H, ,. . . . Hm,, Hm. Alors le signe de P sera semblable à

celui de son premier terme toutes les fois que la valeur absolue de

- 1/2 cos rmp sera supérieure a 2: : de même le signe du polynôme Q

sera celui de son premier terme r"1 siu m<p toutes les fois que la valeur

absolue de sinmç sera supérieure a — .

Nommons A,, A,, A3, A4m les points de la circonférence du cercle pour lesquels on a successivement

% 3x 5jr (8m — 1 ) ■x

m$ = -. , m$ = — , mx> = -y , . . . . m<ù =. -. — — .

11 est aisé de voir par une discussiou toute semblable à celle du n* 6 que dans les intervalles A,A3, A+A5, . . . A^A, la fraction - ne s'évanouira jamais, et que dans chacun des intervalles A.A,, A3A4, . . A4m 1, où elle s'évanouira au contraire et ne deviendra jamais infinie, l'excès du nombre de fois où elle passera du -f- au — sur le nombre de fois où elle passera du — au -f- sera égal à l'unité. L'excès total A pour le contour entier ABC sera ainsi égal à 2m ; la moitié m de cet excès donne le nombre des racines de l'équation f(z)=. o contenues dans le cercle A,Aa>. . . .A4„ dont le rayon est exprimé par un nombre quelconque plus grand que 1 et que K \' 2. Ou voit par là que toute équation algébrique f{z) = 0 de degré m a m racines de la forme x -\-y \/ — 1 et rien a que m. Le plus grand des deux nombres 1 et K s/z est une limite supérieure du module de toutes les racines : il serait facile de trouver une limite plus simple [*).

(*J 11 nous resteraità expliquer les'moyens de trouver l'excès A pour un contour donné. Mais afin d'éviter un double emploi, nous renverrons cette recherche à la fin de l'article suivant.

29o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Autres démonstrations du même Théorème ;

Par C. STURM.

Les nouvelles démonstrations que je vais donner du théorème de M. Caucby, s'éloignent moins que la précédente de la méthode que cet illustre géomètre a suivie dans son mémoire ; elles sont fondées sur la décomposition en facteurs de la fonction qu'on égale à zéro. Je vais d'abord démontrer ce théorème pour une équation algébrique de degré quelconque en admettant comme déjà connu ce principe que toute équation algébrique a toujours une racine soit réelle soit imaginaire de la forme a -f- b V — • > d'où l'on conclut immédiatement qu'une équation du m'""' degré a m racines.

Soit F(s) = o l'équation proposée, F(z) étant une fonction entière de z dont le degré est m, et dans laquelle les coefficients des puissances

de z sont des quantités réelles ou imaginaires de la forme

a + g \/— «"• Soient a -f- b V—i, a'+ b'y/^î , a"+ b" V^—i ,

les m racines de cette équation parmi lesquelles il peut s'en trouver d'égales. On a d'abord

F(z)=(z— a— b s/ZT^z—a'—b' V— i)(z— a!'— b" ^—i), etc. . . (0 Si l'on remplace z par x + y \' — i, x et y étant des quantités réelles indéterminées, F(z) prendra la forme P+QV/ — i , P et Q étant des fonctions entières et réelles de x et y , et l'équation précédente deviendra

P-f-Q \/~t = [x— a-\-(y— b)y/=7] [x-d+iy—b') V^TJ »

[x^a'+{y—b")\/^T\ etc. I K '

On peut regarder les indéterminées x et y comme les coordonnées d'un point quelconque M rapporté à un système d'axes rectangulaires tracés sur un plan, et alors la recherche des racines de l'équation

F(z) = o qui est devenue P + Q\/ — 1 = 0, revient à déterminer sur ce plan tous les points dont les coordonnées satisfont à la fois aux deux équations réelles P=o, Q=o.

Désignons ces points par K, K', K", etc. Leurs coordonnées sont a et b pour le point K, a' et b' pour le point K', a" et b' pour K", etc.

Posons

a:a+(7-4) \/~i = >'(cos ' + V— ' sin t) , x — a' ■+■ (j — b1) s/^i = r^cos*' -f- \A— 1 sin t'), x a'+ (jr — £")V^7 = r»(co&t!'sh\/^-lsmt!'), etc.

Le produit de tous ces facteurs sera , d'après la formule connue , rr'r1'.. .[cos(< + t' -f- t" + . . .) + V^"7» siuC + * + <" +• • )]•

En vertu de l'équation (2), ce produit doit être égal à P-f- Q \/ — 1,

on a donc

P = rr'r". . . cos(* + t' + *" -f-. . .), Q = rr'r"... sin (t + *' + t" + ...),

et ^ = cot(* + f + t" +...),

La cotangente signifie ici le quotient du cosinus divisé par le sinus.

Puisqu'on a fait x — a-$-(y — b) y — i=r(cos2-j- V — * sinf), on a x — a = r cos £ , / — b =s r sin t.

On voit que x — a e\ y — b sont les projections sur les deux axes rectangulaires de la droite qui joint le point fixe K au point quelconque M dont les coordonnées sont x et y. Par conséquent , r représente la longueur de cette droite, et t l'angle ou plutôt l'arc de cercle compris entre sa direction et celle d'une parallèle KX menée par le point K à l'axe Or dans le sens des x positives, cet arc étant mesuré sur un cercle qui a pour centre le point K. L'arc t est nul lorsque la droite KM coïncide avec la parallèle KX à l'axe des x, et il peut prendre des valeurs quelconques soit positives, soit négatives, même au-delà d'une circonférence, si l'on fait tourner autour du point K cette droite KM supposée indéfinie. De même t', t". . . seront les angles ou arcs de

ag2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

cercle compris entre les droites K'M, K"M, et des parallèles à l'axe des x menées par les points K', K".

Il s'agit maintenant de déterminer combien parmi ces points K, K', K", . . . pour lesquels on a P = o , Q = o, il s'en trouve dans l'intérieur d'un contour fermé ABC tracé à volonté sur le plan jcOj.

Concevons que le point M soit un point mobile qui parcoure le contour ABC en partant d'un point A de ce contour et allant toujours dans le même sens sans rétrograder, jusqu'à ce qu'il revienne au point de départ A. Lorsque le point M est en A , l'angle ou l'arc / a une valeur déterminée que nous désignerons para; c'est la valeur de l'angle AKX. Supposons que le point fixe K soit dans l'intérieur du contour ABC. Lorsque le point M parcourra ce contour, l'arc t variera par degrés insensibles et pourra tantôt croître, tantôt décroître, même audelà d'une circonférence, selon la forme du contour ABC. Mais quand le point M sera revenu en A, l'arc tsc trouvera égal à sa valeur primitive a augmentée d'une circonférence. Ainsi l'on a t = a. au moment où le point M part de A, et t = cL-{-27T quand il revient en A après avoir parcouru le contour entier.

Mais si le point K est hors du contour ABC , l'arc t après avoir alternativement augmenté et diminué par degrés insensibles , finira par reprendre sa valeur primitive a., au moment où le point M reviendra en A.

On dira la même chose des autres arcs f, t", . . . qui ont pour centres les points K', K". . . .

Supposons que parmi les points K, K', K", . . . les uns soient situés hors du contour ABC, et les autres au dedans. Soit a le nombre des points intérieurs. Désignons par £la somme des valeurs a, a', a",... des arcs t, t', t",.... au moment où le point M part du point A. Pendant que le point M parcourra le contour ABC, cette somme. . . t -\-£ -\- t"-\- . . . variera par degrés insensibles, et lorsque le point M reviendra en A, on aura t -\- t' -\- 1" -{- . . .=£ + 2^, puisque chacun des arcs t, t', t" , qui a pour centre un point intérieur doit être augmenté de 27T, quand le point. M revient en A, tandis que les arcs qui ont pour centres des points extérieurs reprennent leurs valeurs primitives. Pour une position quelconque du point mobile, on a

? = cot(< + «' + t" +•••)•

PURES ET APPLIQUÉES. a93

Je dis maintenant que cot(t-\-t' -\-t"-\-...) doit s'évanouir pour différents points du contour ABC en passaut du positif au négatif 2//. fois de plus que du négatif au positif.

La cotangente d'un arc variable s'évanouit en même temps que son cosinus , quand cet arc devient égal à un multiple impair de -. En

s évanouissant , la cotangente passe du positif au négatif ou du négatif au positif, selon que l'arc croît ou décroît en devenant égal à ce multiple ; mais elle ne change pas de signe si l'arc atteint ce multiple sans l'outrepasser. L'arc t-\-t' -\-f -\~. . . . variant par degrés insensibles pendant le mouvement du point M, deviendra égal une ou plusieurs

fois à chacun des 2ft multiples impairs de - compris entre £ et. . .

€ -f- 2/j.tt. Si l'on considère l'un quelconque de ces multiples , l'arc t -\- t1 -\- t" -\- . . . doit lui devenir égal en croissant une fois de plus qu'en décroissant , puisque t -\- t' -\- t" -\- . . . commence par avoir au point de départ Aune valeur € plus petite que ce multiple, et finit par avoir une valeur plus grande £ + 2f/.7r , quand on revient au point A : alors cot (t -f- t' -f- 1"-\-. . .) en s'évanouissant pour ce multiple-là, passe du positif au négatif une fois de plus que du négatif au positif. S'il arrive que la somme variable t-\-t' -\~t" . . devienne égale à un

multiple impair de - qui ne soit pas compris entre C et Q, -\- 2^.-a , elle

l'atteindra autant de fois en augmentant qu'en diminuant; et par conséquent cot (t -f- t'-\- t"-{- . . .), en s'évanouissant pour ce multiple-là passera du positif au négatif autant de fois que du négatif au positif.

Puisque les multiples impairs de - compris entre € et €-\-2/jl7T sont

au nombre de 2ju , que cot (t -±- 1' -}- 1" -\- . . .) en s'évanouissant pour chacun de ces multiples, passe du positif au négatif une fois de plus que du négatif au positif, et qu'en s'évanouissant pour un multiple impair

de - non compris entre Q et €-{-2f/.7r , elle passe autant de fois du positif au négatif que du négatif au positif ; on en conclut que

P cot ( t -\- 1' -\- t' + ....) ou la quantité ^ qui lui est égale, en s'évanouissant pour différents points du contour ABC, passera du positif au AorT i83fï. 38

négatif 2^ fois de plus que du négatif au positif. Ce qui est le théorème de M. Cauchy.

On peut en donner encore une démonstration analogue à la précédente, mais dans laquelle on ne suppose pas déjà connu le principe de l'existence des racines , qui deviendra au contraire une conséquence du théorème en question. On verra même par cette nouvelle démonstration qu'il s'étend à des équations non algébriques. Elle est fondée sur les propositions suivantes :

ire Proposition. Soient/» et q des fonctions réelles de deux variables réelles x et y. Considérons x et y comme les coordonnées d'un point quelconque M rapporté à un système d'axes rectangulaires Ox , Oy; et supposons que chacune des fonctions p, q, ait une valeur finie unique et déterminée pour tout point situé sur un contour ABC tracé dans le plan xOy (elles peuvent devenir infinies pour des points situés au dehors ou au dedans de ce contour). Admettons aussi que p et q ne soient nulles en même temps pour aucun point situé sur ce contour même. Si l'on conçoit que le point M dont les coordonnées sont x, y, parcoure le contour ABC (dans le sens ABC), la quantité

- pourra s'évanouir en changeant de signe pour différents points de ce

coutour. Soit «T l'excès du nombre de fois où - en s'évanouissant passe

du positif au négatif sur le nombre de fois où -en s'évanouissant passe du négatif au positif (cet excès S' peut être un nombre positif, ou négatif , ou zéro). Si l'on fait p -f- q \/ — i = /(cosf+ V — 1 sin t), je dis que lorsque le point M partant du point A aura parcouru le contour entier ABC et sera revenu en A , l'arc t après avoir varié par degrés insensibles sera égal à la valeur primitive a qu'il avait au point de départ A plus JW.

En effet, au moment où le point mobile M part du point A, p et q ont des valeurs déterminées , et quand le point M revient en A , p et q reprennent ces mêmes valeurs; donc cos t et sin t reprennent aussi leurs valeurs primitives; donc a. étant la valeur de l'arc t, au moment où le point M part de la position A ; quand il y reviendra t sera égal à cette valeur primitive * ou bien à cette même valeur a plus ou moins un multiple de la circonférence, de sorte qu'en revenant

PURES ET APPLIQUÉES. a95

au point A, on aura t=adz2k7r, k étant un nombre entier ou zéro.

Si l'on a t =1 a, -f- ikir , t en variant par degrés insensibles pendant

le mouvement du point M sur le contour ABC, deviendra égal une ou

plusieurs fois à chacun des 2k multiples impairs de - compris entre

a. et a-\-2k7r, et il atteindra chacun de ces multiples une fois de plus en croissant qu'en décroissant, puisque cet arc t a d'abord au point de

départ A une valeur a. plus petite que le multiple de - que l'on considère et finit par avoir une valeur plus grande quand le point M revient en A. Donccot t en s'évanouissaut pour ce multiple-là passera du positif au négatif une fois de plus que du négatif au positif. Si l'arc t devient

égal à un multiple impair de - non compris entre et et ct-\~2kyr, il

l'atteindra autant de fois en augmentant qu'eu diminuant ; et alors cot?, en s'évanouissant pour ce multiple passera du + au — autant

de fois que du — au -f-. On conclut de là que coi.t ou - en s'évanouissant pour différents points du contour ABC passera du positif au négatif 2k fois de plus que du négatif au positif. Ainsi le nombre que nous avons appelé cT est égal à 2k , et l'on a t = ct-\- Jrt , quand le point M revient en A.

Si après avoir parcouru le contour entier, on a 2 = a — 2ktf, on prouvera de la même manière que cot . t ou - devra s'évanouir en passant du positif au négatif 2k fois de moins que du négatif au positif, on aura donc £ = — 2k; et en revenant au point A, t-=a.-\-i'7i , puisqu'on a t = ct — 2k7r).

Si le point M revenant en A , t reprenait sa valeur primitive a, , cot . t en s'évanouissant passerait du -f- au — autant de fois que du — au -fde sorte qu'on aurait cT = o, et en revenant au point A , la formule t = a -j- S X serait encore vérifiée.

2e Proposition. Soient p, q, p', q', p", q" ', etc. des fonctions des deux variables x et y ayant chacune une valeur finie et unique pour tout point situé sur le contour ABC. Le point M dont les coordonnées sont x et y parcourant le contour ABC (dans le sens ABC;, soient S , «T', J", . . . respectivement les nombres qui expriment combien de fois

chacune des quantités - , —,, ^, .... en s'évanouissant pour différents ^ q q" q * »

points de ce contour passe du positif au négatif de plus que du négatif au positif. Ou suppose qu'aucune de ces fractions -,—,.... ne devient - sur le contour même. Si l'on pose

P + Qv/ZT7 = {P + q\/- \){p'+q's/- D^'+./V^O-.-

et A =^4-^'+ Éf' + etc.

P , , le nombre A exprimera combien de fois la quantité ~ en s'évanouissant passera du positif au négatif de plus que du négatif au positif. (Chacun des nombres J\ eT', S'" ,• . . et A peut être positif, négatif, ou zéro.)

En effet posons p -f- q \^ — i = r (cos t -j- \ — i sin t) , p' •+- q \/ — i = >''(cos t' -+- v/— ^ sin t'), etc.

Nous aurons j = cot. (t + * + t" + ).

Au moment où le point M part du point A , les arcs / , t', t' . . . ont des valeurs déterminées et, a', a.*,... désignons par £ la somme a-(-a' + a" + ... Quand le point M aura parcouru le contour eutier ABC et sera revenu en A, on aura d'après la première proposition

t = a-J- c)V , £'=a'-j-«TV, t" = a" -\- ^"nr , etc. et conséquemment t-j-t'-\-t" + . . .=s(«+*'+a". . .)+(€r+<r'+eT"+. • .)w=6+A7r.

On en conclut par le raisonnement employé précédemment que

P col (t-\-t' + *'+. . ), qui n'est autre chose que ^, en s'évanouissant

pour différents points du contour ABC, passera du positif au négatif A fois de plus que du négatif au positif.

Corollaire. Si l'on pose P-|-Qv/ — i = (p-\-q\/ — 1)(/>'+?V' — 0 et si l'excès «T qui se rapporte à —, est zéro, on aura A = cT, c'est-àdire que l'excès du nombre des passages par zéro du -f- au — . sur le nombre des passages par zéro du — au + sera le même pour- et

P . • • pp'—qq'

pour ,-= qui est ici "V ■-, ,. r Q T pq -\-qp

Ce cas a lieu en particulier quand la quantité p' ne s'evauouit pas sur

le contour ABC ; car alors —, ou cot V ne s'évanouit pas sur ce con-

tour , de sorte qu'on a «T' = o.

On aura encore cT' = o, si l'on suppose //=o , car alors —, ou cot t' étant identiquement nulle, ne change pas de signe sur le contour ABC.

Mais eu faisant // = o , n ou —, -—, se réduit à — -. Donc 1 ex-

' Q Pi +1P p

ces «T est le même pour les deux quantités - et — - ; ce qu'il est facile au surplus de reconnaître à priori. {Voyez page 3o6.)

3e Proposition. Soient K, K', K". . . des points dont le nombre est fx. situés dans l'intérieur du contour ABC, et parmi lesquels il peut s'en trouver qui coïncident. Soient a et b les coordonnées du point K, a' et b' celles de K', a" et b'1 celles de K", etc. Si l'on pose

P-fQ V7— T= [oc— a+{y— b)\/^ 7j [x— a'+(y— b') V^TJ etc. la

quantité ^ en s'évanouissant pour différents points du contour ABC

passera du positif au négatif 2,14 fois de plus que du négatif au po-

P sitif, de sorte que pour - on aura A = t.u.

En effet si l'on pose

x — a-\- {y — b) \/ — 1 = p + q \/ — 1 = '' (cos t + \/ — 1 sin t) x — a'+^y—b')^ — ! z=p'-\-q' \A— i = / (cos t' + V^-T sin t') t, t' , t",.. seront les angles ou arcs de cercles compris entre les rayons vecteurs KM, K'M, K"M .. et les parallèles à l'axe des x menées par les points K, K', K". . Quand le point M a parcouru le contour entier et revient en A, chacun de ces arcs se trouve augmenté d'une circonférence itt. Donc en vertu de la première proposition, pendant le mouvement du point M, chacune des quantités

cot t ou - , cot t' ou — , , . . . passera en s'évanouissant du positif au

négatif deux fois de plus que du négatif au positif, de sorte que les

p nombres cT ,£',£'. . sont tous égaux à + 2. Donc pour ^ on aura d'après la deuxième proposition , A = cf -\- &1 -f- cT"+ . . . = 2/0c.

4e Proposition. Soient P et Q des fonctions réelles des deux va-