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n'ables x et y ayant chacune une valeur finie et unique pour tout système de valeurs réelles de ce et de y. Si le contour ABC ne renferme aucun point pour lequel on ait à la fois P = o et Q = o, je

dis qu on aura A = o pour— c'est-à-dire que si — s'évanouit pour

P différents points du contour ABC, — passera en s'évanouissant du

positif au négatif autant de fois que du négatif au positif.

Cette proposition est évidente, si dans l'intérieur du contour ABC et sur ce contour même on n'a jamais P =o.

Elle est encore vraie lorsque dans l'intérieur du contour ABC et sur ce contour même on n'a jamais Q = o. Car, d'après le corollaire de la deuxième proposition l'excès A est le même pour les deux

quantités ^ et — U- , or A est nul pour — -p- , puisque par hypothèse Q ne s'annulle pas sur le contour ABC ni au dedans , donc A

P est nul aussi pour j-. En voici d'ailleurs une autre raison. Au

P moment où le point M part du point A, -pr a une valeur et un

signe déterminés; et qnand le point M revient en A , ■=- reprend la

même valeur et le même signe; donc le point M parcourant le contour

P ABC , -=r ne peut changer de signe qu'un nombre pair de fois,

toujours en s'évanouissant , puisque P seule peut devenir nulle , et en passant alternativement du positif au négatif et du négatif au positif; ainsi l'on a A = o.

Considérons maintenant un contour quelconque ABC qui ne renferme pas de point intérieur pour lequel on ait à la fois P = o, Q = o. On pourra évidemment partager l'aire comprise dans ce contour en plusieurs segments tels que pour tous les points situés dans l'un quelconque de ces segments et sur le contour même qui le termine l'une au moins des fonctions P, Q, ait toujours des valeurs différentes de zéro et de même signe. Si les contours qui terminent deux de ces segments ont une partie commune , on peut admettre que dans l'un de ces deux segments contigus, c'est P qui n'est jamais nulle, et que dans l'autre c'est Q. Car, si c'était la même fonction

P ou Q qui ne fût jamais nulle dans ces deux segments, on pourrait les réunir en un seul dans lequel cette même fonction ne serait jamais nulle, en supprimant la partie commune aux deux contours qui les renferment. Après qu'on aura ainsi supprimé ces lignes de séparation inutiles, la fonction P ne sera nulle pour aucun point commun à deux contours contigus, puisque, comme nous venons de le dire, P ne pourra jamais être nulle sur l'un de ces deux contours et que Q ne pourra pas l'être sur l'autre.

Cela posé , en parcourant l'un quelconque de ces contours par-

P tiels la quantité — ne s'évanouira pas ou bien elle s'évanouira

en passant autant de fois du positif au négatif que du négatif au positif, comme on l'a vu tout-à-1'heure. Donc , en parcourant le contour primitif unique ABC qui résulte de la suppression de toutes

les parties communes, il est clair que -pr passera encore en s'éva-

nouissant du positif au négatif autant de fois que du négatif au

p positif ou que A sera nul pour le contour ABC , puisque -=- ne

s'annulle sur aucune partie commune.

Maintenant il est facile d'établir le théorème de M. Cauchy. Soit F(z) = o l'équation proposée qui devient P -f- Q \/ — 1 = o quand on fait z = x -f- y V — 1. Soit yt. le nombre de ses racines a + b \/ — 1 , a' -f- b' \/ — 1 , a" + b" \/ — 1 , etc., correspondantes à des points K, K', K", . . situés dans l'intérieur d'un contour quelconque ABC, de sorte qu'on ait à la fois P = o, Q = o, pourchacun de ces points. Soit aussi A l'excès du nombre de fois où la quantité

rr- en s'évanouissant pour différents points du contour ABC passe

P du positif au négatif sur le nombre de fois où yren s'évanouissant sur le même contour passe du négatif au positif. Il s'agit de prouver qu'on a toujours A = a,w, quelque soit/*.

Ce théorème a lieu d'abord si le nombre ft est zéro , c'est-à-dire si au dedaus du contour ABC il n'y a aucun point pour lequel on ait à la fois P = o et Q = o ; car alors on a aussi A = o , d après notre proposition 4e- Supposons que le nombre ;m des racines ren-

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fermées dans le contour ABC ne soit pas nul ; F (z) est alors divisible par le produit des u facteurs 3 — a — b y1 — r, s — a! — b' y — 1, etc., (parmi lesquels il peut s'en trouver d'égaux). En désignant le quotient par <p (z) , on a donc

F(z)=(z— a— b\/—i)(z— d— b'\/— o (*- «"— Vy/—i).-..x <P(4

En remplaçant z par x -+- y \J — i , F(z) devient P -+- Q \J — i, le produit des p facteurs z — a — b \/ — i, z — a' — b' \/ — i , etc., devient une quantité de la forme p -f- q V — \ , <p (z) devient aussi p>+q' \/^7; et l'on a P+Q \ ^7 = (p+q s/ZT^p'+q' y'^~[).

Supposons comme précédemment que le point mobile M dont les coordonnées sont x , y parcoure le contour ABC (dans le sens ABC).

La fonction <p (z) ou p'-\-q' V — i n'est nulle pour aucun point situé dans l'intérieur du contour ABC; donc d'après notre 4e proposition , en parcourant le contour ABC, on aura J" = o pour la quantité-^-. D'après la 5° proposition, pour - on aura cT = i}J.. Donc

pour - on aura d'après la 2' proposition A = J1 -4- «T; = 2/*. Ainsi le théorème est complètement démontré.

Il importe d'observer que cette démonstration s'applique non-seulement à une fonction entière de z qu'on égale à zéro, mais encore à toute fonction F(z) qui devenant nulle pour différentes valeurs de z de la forme a-{-b \/ — 1, donne toujours, étant divisée par z — a — b \/ — 1 ou par une certaine puissance entière de ce facteur, un quotient qui ne devient ni nul ni infini pour cette valeur de z. Nous pourrions aussi modifier la forme de celte dernière démonstration, en faisant voir à l'aide de nos lemmes, que le théorème énoncé doit être vrai pour une équation qui a fx racines renfermées dans le contour ABC , s'il est vrai pour une équation qui n'en a que y. — 1 , après avoir prouvé comme nous l'avons fait dans la 4e proposition . qu'il a lieu quand jW = o.

On peut en déduire qu'une équation algébrique d'un degré quelconque a toujours autant de racines qu'il y a d'unités dans son degré.

Supposons que l'équation F(z) = o soit algébrique du m1— degré,

PURES ET APPLIQUÉES. Soi

elle sera de la forme suivante :

zm-j-A,(cosa,i-\- y/- 1 sin a.l)zm~'-\- +Am(cos am-{-\/~ i sin aa)=o(3)

je dis qu'elle aura m racines de la forme a + b \/ — j.

Faisons z = x -f-J' V' — i = '' (cos t -f- Y7 — ' sin t); r est ici la distance du point M (x,j) à l'origine 0 et / l'angle que cette droite OM fait avec l'axe des x. En de'signant par P -f- Q \J — i ce que devient F(z), on trouve P + Q \/ — i égal à

cos mt -f- y — i sin mt multiplié par

/-m^A,rm,(cosa,-<+V/-isina1-<)-f As?'n,,(cosaa-2/-r-v/-isinȉ-2it)+etc.

Désignons par p + q \/ — 1 le premier facteur cos mt -\-\/ — i sin mt et par p +<?' V' — ' ^e second fadeur r* + etc.

On peut tracer autour de l'origine 0 un contour assez grand pour que la partie réelle p de ce second facteur soit constamment positive pour tous les points situés sur ce contour ou au dehors. Car cette partie réelle p est r"1 + A, rm,cosa, — 1-\- Aarn—,cos or, — 2^-f-etc. ; et l'on voit qu'elle sera positive, si la distance r de l'origine à un point quelconque M du contour ABC est égale ou supérieure au plus grand des modules A,, A,. . Am augmenté de l'unité. En admettant que cette condition soit remplie, la fonction p' sera à fortiori positive pour tous les points situés hors de ce contour.

Le facteur p' -+- q' \/ — i ne pourra donc être nul pour aucun point situé sur le contour ABC ou au dehors; d'ailleurs le premier facteur p + q V — i ou cos mt-\- \/ — i sin mt n'est nul pour aucun point du plan xOj; donc P -f- Q \/—i qui est le produit de ces deux facteurs, ne peut être nul pour aucun point situé sur le contour ABC ou au dehors. Ainsi toutes les racines de la forme a -f- b V— -i que peut avoir l'équation proposée F(z) = o ouP -f- Q \/ — i = o répondent à des points situés dans l'intérieur de ce contour, et d'après le théorème général le nombre total de ces racines est égal à la

moitié du nombre A qui exprime combien de fois la quantité —

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