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ea s'évanouissant sur ce contour ABC passe du positif au négatif de plus que du négatif au positif.

Comme on a P + Q v ~ =(p-\-q \/~i) (p'+fy/Z^i) le nombre A est d'après notre 2e proposition la somme des deux

nombres analogues cT, é" relatifs aux quantités l- , ^-. Mais pour

-7- on a cT =o, puisque p' est positive pour tous les points du contour

ABC. Je dis que pour - on a <f = 2111. En effet, - n'est autre chose que

cot mt. Or, l'arc t ayant une valeur déterminée et au moment où le point M qui se meut sur le contour ABC part du point A, devient égal à a. -f- 27T quand ce point revient en A, de sorte que mt devient égal à jnx -f- 2ni7r; d'où l'on conclut que cot mt passe en s'évanouissant du positif au négatif 2111 fois de plus que du négatif au

positif, ainsi pour ^ l'on a bien J= 2111.

Puisque la valeur de A relative à - est égale à cT-f-cT' et qu'on vient

de trouver «T' = o et «T = 2m, on en conclut a = 2111. Donc le nombre total des racines de l'équation algébrique F(;) = 0 est égal à son degré m , puisqu'il doit être égal à la moitié de A.

Le raisonnement que je viens d'employer pour déduire du théorème de M. Cauchy la proposition que toute équation algébrique du m"*" degré a ni racines^peut encore servir à prouver autrement que dans lesnos 5 etGdel'article précédent, que si l'on trace un contour suffisamment petit autour d'un ipoinl K correspondant à une racine simple d'une équation quelconque F(z) = o, ou à une racine multiple de l'ordre ?i, on trouvera, en parcourant ce petit contour, A = 2

p ou A = 2«, cest-à-dire que la quantité ^ en s évanouissant sur ce

contour passera du positif au négatif 2 fois ou 211 fois de plus que du négatif au positif. D'un autre côté il a été prouvé dans notre 4" proposition et aussi dans l'article précédent qu'on a toujours A = o pour un contour qui ne renferme pas de racines. Cela posé, si l'on cousidère un contour quelconque qui renferme un certain nombre de racines, ou peut le partager en plusieurs contours dont

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les uns très petits ne renferment qu'une seule racine (simple ou multiple) et les autres n'en contiennent pas, et l'on fera voir comme dans l'article précèdent, ncs 7 et 8 que le théorème de M. Cauchy ayant lieu pour chacun de ces contours partiels de l'une et de l'autre espèce, a lieu aussi pour le contour donné formé de leur réunion. Je n'insisterai pas davantage sur cette nouvelle démonstration du théorème, qu'il suffît d'avoir indiquée.

La proposition suivante mérite encore d'être remarquée. Soit F (z) = o une équation (algébrique ou non algébrique) qui devient P 4- Q V — 1 =0 quand on fait z = x + y V — 1 et qui a un certain nombre f*. de racines renfermées dans l'intérieur du contour ABC, n'en ayant aucune sur ce contour même. Soit f(z) = o une autre équation qui devient p-\-q \/ — 1=0 en faisant z=x -\-j \/ — 1 et qui a v racines au dedans du même contour. On suppose qu'aucune des quantités P, Q, p, q ne peut devenir infinie pour des valeurs finies de x et dey. Si l'on divise P+Q V7 — 1 par ^ + 9 V7 — '> on aura un quotient de la forme p' + q' \/ — 1, dans lequel les quantités p' et q' auront toujours des valeurs finies pour tous les points du contour ABC. Je dis qu'en parcourant le

contour ABC, la quantité A- passera en s'évanouissaut du positif au négatif 2(ac — 1) fois de plus que du négatif au positif, ou qu'on aura £' = 2(jU — v) pour l—r.

En effet on a d'après le théorème A = 2/* pour -, £=2v pour-

et d'après notre ie proposition on a aussi A = S* + £'. De là résulte r = a(> - v).

Donc quand on connaîtra cT' et l'un des deux nombres de racines f/,, y, on connaîtra l'autre. En particulier on aura cT' = 0, si les deux équations F(z)=o et f(z)=o ont le même nombre de racines dans l'intérieur du contour ABC; et réciproquement.

La recherche du nombre des racines d'une équation F(z) = o contenues dans un contour donné étant réduite à trouver l'excès A pour ce contour , nous allons maintenant donner les moyens de déterminer ce nombre A, lorsque l'équation F(r) = o est algébrique.

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Supposons que le contour ABC soit composé de plusieurs portions de lignes AB, BC, etc. Il faudra déterminer en parcourant successivement chacune de ces portions de lignes AB, BC, . . . l'excès (positif, négatif ou zéro) du nombre de fois où la quantité = en s'é-

vanouissant passe du positif au négatif sur le nombre de fois où elle passe du négatif au positif. Le nombre A sera égal h la somme de tous ces excès partiels relatifs aux différentes portions du contour ABC. Il suffît donc de considérer l'une de ces portions AB. On peut trouver l'excès qui s'y rapporte, lorsque les coordonnées x et y d'un point quelconque de cette ligne AB peuvent être exprimées par des fonctions rationnelles d'une certaine variable s. On emploie à cet eflet une méthode semblable à celle que j'ai donnée dans mon théorème pour la détermination du nombre des racines réelles d'une équation comprises entre deux limites quelconques.

r et Q devenant sur la ligne AB deux fonctions rationnelles de

la variable s , leur quotient ^ prendra la forme d'une fraction =-

dans laquelle V et V, seront deux fonctions entières de s. On fera sur ces deux polynômes V et V, l'opération nécessaire pour trouver leur plus grand commun diviseur, en ayant soin de changer les signes de tous les termes de chaque reste avant de le prendre pour diviseur du reste précédent. Ainsi en supposant que le degré de V par rapport à s soit supérieur ou égal à celui de V, , on divisera V par V, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste d'un degré inférieur à celui de V,. On changera les signes de tous les termes de ce reste , et en le désignant après ce changement de signes par Vj, on divisera V, par V2 ; on arrivera à un nouveau reste — Vs. On divisera de même Va par V3, et en continuant ainsi on arrivera enfin à un dernier reste V, indépendant de s ou qui contenant s divisera exactement le reste précédent V,,.

Si l'on parcourt la ligne AB (dans le sens ABC), s aura d'abord pour Je point de départ A une certaine valeur a; avariera ensuite par degrés insensibles et finira par avoir pour le point B une valeur £ plus grande ou plus petite que a. (s peut dans ses variations tantôt croître, tantôt décroître, et même ne pas rester comprise

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entre les valeurs a. et € relatives aux deux points extrêmes A et B.)

Cela posé, l'excès € du nombre de fois où la quantité vr ou ^

en s'évanouissant pour différents points de la ligne AB passera du positif au négatif sur le nombre de fois où elle passera en s'évanouissant du négatif au positif sera égal à l'excès du nombre des variations qui se trouveront dans la suite des signes des fonctions V,V,,V,„. .Vrpour s=Ç sur le nombre de leurs variations pour s= a. Cette proposition résulte des considérations suivantes: tandis que s varie depuis a jusqu'à £ , la suite des signes des fonctions V,T „ ... V, pour chaque valeur de s ne peut s'altérer qu'autant qu'une de ces fonctions change de signe et par conséquent devient nulle. Quand c'est une des fonctions intermédiaires entre "N et ^ , qui s'annulle, on prouve aisément (comme dans la démonstration du théorème relatif aux racines réelles) que le nombre des variations dans la suite des signes de toutes les fonctions demeure le même, et quand s en croissant ou décroissant, atteint et dépasse une valeur qui annulle V, la suite des signes gagne ou perd une variation ou conserve

le même nombre de variations selon qu'alors y- passe du positif

au négatif, ou du négatif au positif ou ne change pas de signe; cela est vrai , lors même que V et V, ont un plus grand diviseur commun Vr qui s'anuulle pour la valeur de s que l'on considère, auquel cas toutes les fonctions V,V„. . . Vfs'annullent en même temps. On conclut de là la proposition énoncée qui a lieu soit que \ et \ , aient ou n'aient pas de diviseur commun (*).

Si l'on trouve un plus grand commun diviseur ^ r entre A et V,, il pourra se faire qu'on ait à la fois P = o, Q = o, pour une valeur de s qui annullera ce plus grand commun diviseur et qui

(*) Les recherches qui m'ont conduit à mon théorème sur la détermination dts racines réelles des équations m'avaient aussi fait rencontrer cette dernière proposition parmi plusieurs autres. Mais comme je n'en voyais pas alors l'utilité, je ne l'ai pas énoncée dans l'analyse de mon mémoire insérée au Bulletin des Sciences de juin l82y. J'en ai fait mention depuis dans le n° 20 du mémoire imprimé dans le Recueil des Savons étrangers ; elle admet d'ailleurs les simplifications exposéesdaus ce mémoire.

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répondra à un point situé sur la ligne AB entre A et B. Dans ce cas, P et Q étant nulles à la fois pour ce point-là , en substituant ses coordonnées dans la formule x-\-y\/ — i , on aura une racine simple ou multiple de l'équation F,(z)=o. Si le plus grand commun diviseur entre V et V, ne devient nul pour aucun point de la ligne AB situé entre A et B, ou si l'on ne trouve pas de plus grand commun diviseur, on sera certain, pourvu qu'on n'ait supprimé d'avance aucun facteur commun à P et à Q, qu'il n'existe sur la ligne AB aucun point correspondant à une racine de l'équation F (s) = o. C'est en admettant cette hypothèse que nous avons démontré le théorème de M. Cauchy; les modifications qu'il faudrait y apporter dans le cas où il y aurait des racines sur le contour même ABC, exigeraient une discussion longue et minutieuse que nous avons voulu éviter en faisant abstraction de ce cas particulier.

Nous avons supposé le degré de V par rapport à s supérieur ou égal à celui de V,. Si le degré de Y est inférieur à celui de V, , on cherchera encore le plus grand commun diviseur entre V et V, en divisant d'abord V, par V, puis V par le reste de la première division après avoir changé les signes de tous ses termes, et en continuant ainsi on formera cette suite de fonctions V,, V, V,, V3, .. Vr. La différence qu'on obtiendra en retranchant le nombre des variations formées par leurs signes pour s = a du nombre des variations pour s — €,

exprimera l'excès E du nombre de fois où la quantité y en s évanouissant sur la ligne AB passera du positif au négatif sur le nombre de fois où elle passera du négatif au positif. Ce nombre E étant ainsi déterminé, l'excès cherché e du nombre de fois où la quantité

inverse y en s'évanouissant sur la même ligne AB, passera du positif

au négatif sur le nombre de fois où elle passera du négaiif au positif, sera égal à — E ou à — E -f- i ou à — E — i selon que cette quantité -77- aura des valeurs de même signe pour s = a et s = £, ou

qu'elle sera positive pour s = a. et négative pour s = £ , ou qu'elle sera négative pour s=. a et positive pour s=Ç.

En effet, la quantité ~- peut changer de signe sur la ligne AB

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en devenant tantôt nulle , tantôt infinie. L'excès i du nombre de lois où en devenant nulle ou infinie elle passe du positif au négatif sur le nombre de fois où elle passe du négatif au positif est égal à la somme des deux nombres i et E. D'un antre côté cet excès i est

évidemment égal à zéro ou à + i ou à — i, selon que ■—■ a des valeurs de même signe pour s=tt et s = G , ou que =- est positive pour

s = a. et négative pour s = è, ou qu'elle est négative pour s =. a. et positive pour s = £. Donc e est bien égal à — E dans le premier cas, à — E + i dans le second et à — E — i dans le troisième. Cette proposition a lieu, comme on voit, quand même \ et A t ne seraient pas des fonctions entières de s.

On peut toujours rendre P et Q fonctions rationnelles d'une même variable s, lorsque la ligne AB est une droite, ou un cercle ou un arc de cercle.

Si la ligue AB est droite, il suffit de prendre pour s la distance d'un point quelconque de cette droite à un point fixe situé sur sa direction , ou bien encore ou peut supposer que s n'est autre que x ou y. Si la droite AB est parallèle à l'axe des x, y est constante et il faut prendre s = x ; si elle est parallèle à l'axe des y , x est constante et l'on prend s —y.

Si la ligne AB est un cercle ou un arc de cercle dont le rayon soit R et dont le centre ait pour coordonnées g et h, on fera .r = g + R cos t, y = h + R sin t, et l'on prendra s = tang j t;

alors on aura x = g -\ ,\ , r=h-\-—l—. ; et P , Q seront

des fonctions rationnelles de cette nouvelle variable s, de sorte que - prendra la forme ^-, V et V, étant des fonctions entières de s.

Pour la pratique, ce qu'il y a de plus simple est de cbercher par la

méthode précédente les racines contenues dans des rectangles dont les

côtés sont parallèles aux axes. On ne fait alors varier qu'une seule des

coordonnées^", rdansPetQquisont des fonctions entières de x eiy. On

abrégera le calcul en supposant d'abord les deux, côtés du rectangle qui

sont parallèles à l'un des axes situés à des distances infinies de cet axe.

Car alors eu parcourant ces côtés-là pour lesquels on aurajouj= — =o

p et = + oc , la quantité -f. ne s'évanouira pas ou s'évanouira une seule

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fois , et 1 on verra aisément si en «'évanouissant elle passe dn positif au négatif ou du négatif au positif.

On peut ainsi déterminer approximativement les parties réelles x et les parties y des racines représentées par x -f- y \J — i ; on obtiendra ensuite des valeurs plus exactes de ces racines par les méthodes d'approximation usitées.

On peut encore dans la pratique faire usage de la proposition suivante dont on peut donner une démonstration semblable à la première du présent article. Soit une équation algébrique F(z) = o de la forme (5)

qui devient P+Qv/ — i=o en faisant z = x-\- y \,; — î".

Si l'on donne à y dans P et Q une valeur déterminée h positive ou

négative, et si l'on fait croître x depuis — ce jusqu'à -f- co , l'excès du

nombre de fois où ^ en s'évanouissant passera du positif au négatif

P sur le nombre de fois où - en s'évanouissant passera du négatif au

positif sera égal à l'excès du nombre des racines x -f- y \/ — i

de lequatiou F(r)=o, pour lesquelles y est plus grande que h

sur le nombre des autres racines pour lesquelles/ est plus petite que h.

Le degré m de l'équation F(r-) s o étant pair, si l'on donne à x

dans P et Q une valeur déterminée g et si l'on fait croître^ depuis

P — ■» jusqu'à + ce , l'excès du nombre de fois où - en s'évanouissant

passera du positif au négatif sur le nombre de fois où ^ passera du négatif au positif sera égal à l'excès du nombre des racines de l'équation F(r) = o pour lesquelles la partie réelle x est plus petite que g sur le nombre des autres racines pour lesquelles x est plus grande que g.

Le degré m étant impair, si l'on fait toujours x=g dans P et Q et si l'on fait croître y depuis — x jusqu à -f- ce , l'excès du nombre de fois où la quantité — p en s'évanouissant passera du positif au négatif sur

le nombre de fois où elle passera du négatif au positif sera encore égal à l'excès du nombre des racines de F(r)=o pour lesquelles x est plus petite que g sur le nombre des racines pour lesquelles x est plus grande que g.

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