S JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
varient eu même temps que celles-ci suivant certaines lois, ainsi que les racines r de lequation transcendante. Par exemple si le pouvoir émissif augmente à l'une des extrémités de la barre , les points pour lesquels chaque fonction s'annullera s'éloigneront de cette extrémité, et toutes les racines r de lequation transcendante deviendront à la fois plus grandes.
J'établis des propositions analogues relativement aux valeurs maxima de ces fonctions et à d'autres valeurs plus ou moins remarquables.
Apres avoir ainsi discuté les solutions particulières , je donnt d après les méthodes connues 1 intégrale générale pour un état initial arbitraire.
Avant que les températures de la barre soient réduites à zéro, il y aura une époque où elles seront exprimées sensiblement par le premier terme de la série qui représente l'intégrale générale; cet état final des températures se confondra donc avec le premier des états simples que nous avons considérés précédemment; par conséquent après un temps plus ou moins long les températures de tous les points de la barre seront supérieures ou inférieures à la température fixe du milieu , ce qui peut n'avoir pas lieu pour les températures initiales.
Cette propriété exige cependant que le coefficient du premier terme de la série qu'on obtient par une intégrale définie , ne soit pas nul. S'il est nul, et si celui du second terme ne l'est pas, l'état final des terupératm-es sera le second de nos états simples, de sorte qut les températures finales seront supérieures à celle du milieu dans une portion de la barre et inférieures dans la portion restante.
Eu assujettissant à de nouvelles conditions la fonction qui représente les températures initiales, l'état final pourra se réduire à tel état simple qu'on voudra. Toutefois je pense que ce résultat mathématique ne pourrait guère être vérifié par l'expérience, parce que les équations de la chaleur ne sont pas d'une exactitude absolue.
En général, les variations de signe qui peuvent exister dans les températures initiales doivent, le temps croissant, disparaître les unes après les autres.
J'ai examiné de quelle manière cette disparition s'opère et je
suis arrivé à ua théorème très complet qui comprend le cas ou ces variations de signe ne disparaîtraient pas toutes. J'en ai déduit comme corollaire ces propriétés nouvelles et curieuses de la fonction qu'on forme en ajoutant ou superposant un nombre quelconque de solutions particulières, le temps ayant une valeur déterminée quelconque.
En premier lieu, cette fonction qui ne renferme que la seule variable x , s'évanouit en changeant de signe entre les deux extrémités de la barreau moins autant de fois que celui de ses termes dont l'indice est le moindre. Elle peut en outre être nulle à l'une des extrémités ou à deux extrémités de la barre. En second lieu, cette fonction s'annulie au plus autant de fois que celui de ses termes dont l'indice est le plus grand. Dans cette seconde partie du théorème , une valeur de x qui annulle la fonction dont il s'agit et quelques-unes de ses différentielles successives par rapport à x doit être considérée comme une racine multiple et comptée pour autant de racines qu'il y a d'unités dans Tordit: de la première des différentielles qu'elle n'annulle pas, si cette valeur de x est comprise entre celles qui répondent aux deux extrémités de la barre. Mais si la fonction et quelques-unes de ses différentielles successives se trouvent nulles pour la valeur de x qui répond à Tune des extrémités de la barre, le degré de multiplicité de cette valeur de x est seulement la moitié de l'ordre de la première différentielle qui ne s'annulie pas , cet ordre ne pouvant être alors qu'un nombre pair.
M. Liouville a démontré directement ce théorème, qui n'était pour moi qu'un corollaire du précédent, sans s'occuper du cas particulier où la fonction serait nulle à l'une des extrémités de la barre. J'en ai aussi trouvé après lui une autre démonstration directe que je donne dans ce mémoire. M. Liouville a fait usage du même théorème dans un très beau Mémoire qu'il a publié dans le numéro de juillet de son journal et qui a pour objet le développement d'une fonction arbitraire en une série composée des fonctions V que nous avons considérées.
Ces résultats s'étendent avec quelques légères modifications au mouvement linéaire de la chaleur dans un globe ou dans un cylindre composé de couches concentriques infiniment minces, telles que la densité, la capacité de chaleur et la conductibilité, sont les mêmes pour tous
38o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
les points d'une même couche , mais variables d'une couche à une autre; ce corps est place' dans un milieu d'une température constante, ou bien sa surface est entretenue à une température fixe. Le< propriétés relatives aux maxima sont plus simples que dans la barre. Après un temps plus ou moins long, les températures de toutes les couches qui composent le corps deviennent supérieures à la température fixe du milieu et croissantes depuis la surface extérieure jusqu'au centre, ou bien au contraire ces températures deviennent inférieures à celle du milieu et décroissantes depuis la surface jusqu'au centre. J'ai énoncé cette proposition dans le Bulletin des Sciences de 1829. Comme pour la démontrer on n'a besoin de considérer que le premier terme de la série qui exprime l'intégrale générale, j'en avais une démonstration indépendante de ma théorie sur les équations différentielles linéaires du 2e ordre: je la donne dans le présent Mémoire. Ou peut d'ailleurs déterminer avec une approximation suffisante !a fonction à laquelle les températures finales deviennent proportionnelles dans la barre , la sphère et le cylindre.
La même analyse, convenablement modifiée, donne les lois du mouvement linéaire de la chaleur dans une barre composée d'un nombre quelcouque de parties hétérogènes, comme aussi dans un "lobe et dans un cylindre plein ou creux, composé découches hétérogènes d'épaisseurs quelconques , telles que les qualités spécifiques varient brusquement dans le passage d'une substance à une autre.
Toute cette théorie s'applique sans aucune difficulté à plusieui^ problèmes dynamiques , parmi lesquels je citerai ceux qui ont pour objet les vibrations d'une corde homogène ou non homogène d'une épaisseur et d'une élasticité variables, les oscillations d'une chaîne pesante de densité variable suspendue par l'un de ses bouts ou par les deux bouts, et le mouvement vibratoire d'une colonne d'air de densité et d'élasticité variables.
Considérons la distribution de la chaleur dans une barre droite ou courbe d'une matière homogène ou non homogène et d'une épaisseur constante ou variable, mais assez petite pour que tous les points d'une section plane perpendiculaire à la ligne qu'on prend pour l'axe de la barre aient sensiblement la même température au même instant. Ce corps est placé dans un milieu dont la température est constante ; nous la prendrons pour le zéro de l'échelle thermométrique. Le mouvement de la chaleur dans cette barre, n'ayant lieu que dans le sens de son axe, est représenté par l'équation suivante:
du du dt ' dx
aX) - lu (!)
r désigne la portion de l'axe de la barre comprise entre uue section quelconque en perpendiculaire à cet axe et un point fixe pris sur le même axe, u est la température de cette section au bout du temps t ; g représente le produit de la chaleur spécifique de la barre à l'endroit où est faite la section a par l'aire de cette section ; k est le produit de la conductibilité intérieure en cet endroit par la même aire co; enfin /exprime le produit du contour de la section a par le pouvoir émissij au même lieu ; / dépend de la matière de la barre et du degré de poli de sa surface. Nous regarderons les trois quantités g, k et l comme des fonctions de x positives données pour tous les points de la barre ; chacune d'elles peut se réduire à une constante.
La fonction u doit remplir encore d'autres conditions.
On doit avoir
k-j- — hu = a pour x =■ x, (2)
Jt- + Hm = o pour x = X, (5)
x et X étant les valeurs de x qui répondent aux deux extrémités de la barre, h et H des constantes positives qui mesurent la grandeur du rayonnement à ces extrémités.
Au lieu de la condition (2) on peut se donner celle que u ou j-
Novembre |836. 4q
soit nulle pour x = x, quel que soit t\ cela revient à supposer h infinie ou nulle dans l'équation (2). Si par exemple on doit avoir k = o pour.r = x, on écrira l'équation (2) ainsi :
k du
t -T- — u = o pour x = x
puis on y fera^r = o ou h iuriuie. De même l'équation (5) deviendra u = o ou 3- = o pour ,r = X, si 1 on fait H infinie ou nulle. Enfin il faut qu'on ait encore
u = f (xx pour t = o (4)
J x étant une fonction donnée de x qui représente les températures initiales des points de la barre, et qui prise pour u doit vérifier les équations {2) et (3); elle est d'ailleurs arbitraire.
On verra facilement que les équations (1), (2), (3), (4) déterminent complètement la fonction u pour toutes les valeurs de t et pour celles de x comprises entre x et X, et qu'au contraire il y aurait indétermination, si en conservant l'équation (1), on supprimait l'une quelconque des équations (2), (5), (4).
ti.
Pour arriver à l expression de u en fonction de x et de t , on commence par chercher , suivant la méthode connue, des valeurs particulières de u qui satisfassent à l'équation (1) et aux équations (2) et (5) en faisant abstraction de la condition (4)1 u z=zj(x) pour t = o. On suppose
/•étant une constante 'indéterminée indépendante de x et de t, et V une fonction de x indépendante de t. En substituant à la place de u cette valeur hypothétique (5) dans les trois équations (1), ^2),(5), e~ " disparaît comme facteur commun , et l'on trouve pour déterminer V et r les équations suivantes.
(*) On peut voir dans les ouvrages de M. Poisson et surtout dans sa Théorie delà Chaleur, chap.YI, les considérations qui conduisent à chercher des intégrales particulières de la forme (5) et à prendre pour l'intégrale générale la somme de toutes les intégrales de cette forme.
On a d'abord
pour toutes les valeurs de x depuis x jusqu'à X ;
et en outre k-r- — hV = o , pour x =s x (7)
' dx dV
dx
k~ +HV = o, pour x = X. (8)
dX La valeur de l'une des quantités V , -7- , pour x= x reste indéterminée et peut être prise à volonté ; celle de l'autre est donnée par
l'équation (7). Cette équation (7) se réduit à— =0 ou à V = o
pour x=x, selon qu'on y suppose h nulle ou infinie. Il faut alors donner
dV à celle des quantités V , -3- , qui ne doit pas être nulle pour x =x ,
une valeur arbitraire.
Dès que les valeurs de V et de — pour a: = x sont fixées, la fonction V est entièrement déterminée par l'équation différentielle (6) pour toutes les valeurs de x croissantes depuis x jusqu'à X; quoiqu'on ne sache intégrer celte équation que dans un très petit nombre de cas particuliers, on conçoit que la fonction V existe et a pour chaque valeur de x une valeur réelle nuique qui dépend de celles de x et de r; on peut toujours la développer en une série convergente, comme M. Lfouville l'a fait voir dans son Mémoire inséré au n° de juillet de son journal (page a55.)
Jusqu'ici la constante rest arbitraire; mais maintenant elle doit être déterminée de telle sorte qu'on ait
dV
k~ -f- HV cs> o pour x = X (8)
Cette équation (8) peut se réduire soit à V = o, soit à j— = o, pourx=X, en faisant H infinie ou nulle.
On aura ainsi une équation en r que nous représenterons par F(r) = o et qui fournira différentes valeurs de cette inconnue r.
Il est clair qu'on obtiendrait la même équation F(r) = o, si
l'on se donnait la valeur de l'une des quantités Y ,-j-, poiirx=X, qu'on tirât celle de l'autre de l'équation (8), et qu'où substituât les valeurs de V et de j- que fournirait l'intégration de l'équation différentielle (6) dans l'équation (7) qui doit avoir lieu pour x = \.
Il faut maintenant examiner les propriétés des racines de cette équation F(r) = o.
Nous allons démontrer d'abord que cette équation en r, F(r) =0, ne peut point avoir de racines imaginaires.
Supposons, s'il est possible, que l'équation F(/) = o soit vérifiée par une valeur imaginaire de r de cette forme, À -f- u. \; — 1, A et //. étant des quantités réelles. Si l'on substitue cette racine X -\- f/. \/ — 1 à la place de 7* dans V qui est une fonction de x et de r, V deviendra de la forme P + Q V — i, P et Q étant des fonctions réelles de x, A et /x. Les trois équations (6), (7}, (8) devront donc être identiquement satisfaites , si l'on y met P -J- Q y/ — 1, à la place dé V et ?. + (Jt, \/ — 1 à la place de r. En faisant cette substitution, puis égalant séparément à zéro la somme des termes réels et celle des termes qui renferment y — ' comme facteur, on trouve
dP\
-~ +(gA- /) P -guQ
dQs
dx
et k-r- — h¥ =■ r , k~ — /iQ =■ o , pour x = x 10
dx "- ' dx ^ r
A-^ + HP=o, k^ + HQ = o,.poura:==X. (11).
En multipliant la première des équations (9) par Q, la seconde par P, puis retranchant, il vient
<M-(*S - ?-d-(k§) = w<r + Qs) à*t (")■
Intégrons les deux membres de cette équation depuis <r=xjusquà
PURES ET APPLIQUÉES. 38i
x = X. En intégrant par parties le terme Q.d.k f— \ sans fixer d'abord les limites de l'intégration, on trouve
d'où fa .,. ( **) - /P.tf. (Ag) = *(Q| Pg).
L'intégrale du premier membre de l'équation (12) prise entre les limites x et X est donc égale à la valeur que prend l'expression
À [Q-i P-r^ ) pour .r = X, moins celle qu'elle pi-end pour x = x.
Or, en vertu des équations (10) et (11), A- (Q ^-— Pj^J se trouve
nulle, soit pour x = x , soit pour x = X. Ainsi l'intégrale du premier membre de l'équation (12) prise entre les limites x et X se réduit à zéro, et par conséquent celle du second membre est aussi nulle, c'est-à-dire qu'on a
/x.f* g (P« + Q»; dx = o. (i3)
Mais comme la fonction g est positive pour toutes les valeurs de x
comprises entre x et X, l'intégrale / g (P*-f- Q') dx ne peut pas
être nulle; car elle est la somme des valeurs de la différentielle g (Pa + Q''1 dx qui est positive, quand P et Q ne sont pas nulles. Or, P et Q ne peuvent pas être nulles pour toutes les valeurs de x depuis x jusqu'à X; en effet leurs valeurs pour x = x sont arbitraires, puisqu'on peut se donner à volonté la valeur de V pour x = x (si toutefois on ne doit pas avoir V = o pour x = x) ; et l'on voit de plus d'après la forme des équations (10) et (9) qu'elles doivent donner pour P et Q des valeurs réelles différentes de zéro, quand x croit à partir de x. Si l'on avait Y = o pour x = x, on observerait que pour les valeurs de x un peu plus graudes que x on n'aurait pas
V=o, puisque — ne doit pas être nulle en même temps que Vpour
x = x. L'équation (10) à laquelle on vient d'arriver est donc absurde, à moins que /a ne soit nulle. Ainsi l'équation ¥(r) = o ne
peut point avoir de racines imaginaires de la forme A -f- A* \/ — ' • On remarquera que cette proposition a lieu, lors même que la fonction l ne serait pas constamment positive entre les limites x et X, et que les constantes h et H ne seraient pas aussi toutes deux positives, comme on l'a supposé, n* i ; il faut seulement que g et À" soient positives.
C'est à M. Poisson qu'est due la première démonstration générale et rigoureuse de la réalité des racines de ces équations transcendantes auxquelles on est conduit dans la résolution des problèmes de physique mathématique. Il l'a donnée d'abord dans le Bulletin de la Société philomathique pour l'année 1828, et l'a reproduite dans d'autres mémoires et dans sa Théorie de la Chaleur, page 178.
Je crois devoir appliquer cette démonstration de M. Poisson à l'équatiou F(r, =0 dont il est ici question. On verra que celle du numéro précédent est au fond la même, et n'en diffère que par la forme. Je ferai voir en outre que la même équation F^ = o n'a pas de racines égales. Mais auparavant il faut établir les formules qui servent de base à ces démonstrations, et qui ont d'ailleurs un autre usage
Considérons r comme variable, en supposant que la fonction \ {X.r . soit assujettie à vérifier seulement les deux équations (6) et (7) ,
' 4. (gf—l) t=='o, (6)
dx
et k-j h\ = o pour x = x. (7)
On n'a point égard ici à l'autre condition (8) qui doit servir à déterminer les valeurs de /'. Attribuons à r une autre valeur r', et désignons par \ ' ce que devient la fonction V par le changement de r en r' , nous
aurons aussi
dV
et k -j~ — AY = 0 pour x = x. (7')
dx
dx En multipliant l'équation (6) par V, l'équation (6'j par V, et re-
tranchant, on a la suivante
Son premier membre est la différentielle de l'expression
k CV — ^'-j-J, <îu' est nulle pour x = x en vertu des équations (7) et -'). Donc en intégrant les deux membres de cette équation depuis x = x jusqu'à .r=X, on aura
(r ~ O/f fVVTfa = A ( V g - V ~) pour x = X , ,
Si l'on diffère ntie cette équation (14) par rapporta l'indéterminée r qui entre dans V et non dans V, on aura
Eu faisant dans cette dernière équation r'=;-, V se change en V, et l'on obtient cette formule
/s*V'rf* = A-(^- - V^.) pour.r=X. (r5)
Ou peut encore y arriver de la manière suivaote, sans faire usage des équations (6') et (7').
En différentiant l'équation (6)
dx
par rappor
t à r, on a
\ dxdr)
dx
+ >-0^+sV = o.
En multipliant cette équation par V et 1 autre (b) par ^, puis retranchant , on obtient
588 JOURNAL DE M Al HÉMATIQUES
Le second membre de cette équation est la différentielle de
kCUl — y^t^V et cette expression se réduit à zéro pour x = x; \dx dr dxdr/' r
car on a k -p — h\ = o pour x = x ,
d'où, l'on tire en différentiant, par rapport à r,
, ddV , d\T
k -, — r — « -r- = o pour x = x , dxdr dr ( *
et de là résulte
, /dYdV -r ddV \
k{dxTr-YdxTr)=°^rX = X' En intégrant donc l'équation qui précède entre les limites x et X , on retrouvera la formule (i5).
On en déduit encore, H étant une constante,
/><'- = (* s + »v)£' - y4(*£ + HV) p°"«=x- (■")
Au surplus, les formules (14) et (i5) sont comprises dans les formules (g) et (4) de notre premier Mémoire (*), nos IV et V, dont elles se déduisent en y remplaçant l'indéterminée m par r, et prenant X pour la seconde limite de l'intégration.
Supposons maintenant qu'on prenne pour r et r deux racines différentes de l'équation F(r) = o, c'est-à-dire deux valeurs telles qu'on ait
yt^Y + HV=o, et A"^-'-r-HV' = opoura-=X.
dx dx ■
Alors le second membre de l'équation (14) sera nul, et cette équation deviendra
fcW'dx *= o; (.7)
Mais si l'on prend pour r et /■' une seule et même racine de l'équation F(r) = o, l'intégrale définie f gVY'dx n'est plus nulle, car elle
devient IgY'dx, quantité essentiellement positive. D'après la formule (16) on a alors
{*) Mémoire sur les Equation* dijjérentielles linéaires du second ordre.
PURES ET APPLIQUÉES. 38g
JlgV'dx = - V.~(*2 4- HV) pour x = X, (.8)
puisqu'on suppose que la valeur actuelle de r annulle k ^- -f- HV pour
D'après M. Poisson, la réalité des racines de l'équation ¥(r) == o
résulte très simplement de la formule (17). Supposons que cette
équation F(r) = o ait une racine imaginaire A -f- fx. \ ' — 1. Si l'on
prend r= A -|- f* y' — 1 > la fonction V qui vérifie les trois équations
(6), (7) et (8), deviendra P + Q\ — t, P et Q étant des quantités
réelles dépendantes de x, A et u, qui ne seront pas nulles pour toutes
les valeurs de x depuis x jusqu'à X. En effet , leurs valeurs pour l'une
de ces limites , par exemple pour x = x, sont arbitraires (si toutefois
on ne doit pas avoir V = o pour „r = x); et d'ailleurs quand on fait
/■= A -\- [>. V' — 1 et V = P-f-Q\' — 1 dans les équations (6) et (7),
elles se partagent en d'autres (qui sont les équations(c))et (10) dun'lll),
qui doivent visiblement donner des valeurs de P et de Q différentes
de zéro pour des valeurs de x croissantes à partir de x. Cela serait
encore vrai, lors même qu'on supposerait V = 0 pour x = x, atlendu
dX r
quon ne peut pas avoir en même temps -r- = o. Les remarques ont
déjà été faites au n° III.
L'équation F(r) =0 ajant pour racine A-f-f1 V/ — 1 » il est aisé de voir, en changeant dans les formules V7 — 1 en — \/ — 1, qu'elle aura
aussi pour racine -> — \j.\/ — 1, et en faisant r'~=.7 fj. \/ — 1 dans
l'équation (6') du n° précédent, on aura V = P — Q \/ — 1.
En mettant ces expressions de V et de V dans la formule (17), on trouvera
ce qui est impossible, puisque g est une fonction positive de x, et que P et Q ne peuvent être nulles que pour des valeurs e dx particulières.
L'équation F(r) = o ne peut donc pas avoir des racines imaginaires de la forme A -f a \/— 1 .
Novembre i836. 5o
J'ajouterai qu'elle n'a pas de racines égales, c'est- à-dire qu'une même valeur de r ne peut pas réduire à zéro en même temps la fonction h ■ \- HV et sa dérivée -J ( k '-z f- HVY où l'on fait cc=- X ;
c'est ce qui résulte immédiatement de la formule (16). D'ailleurs cette proposition n'est qu'un cas particulier de celle qui est énoncée à la fin du n" XX du premier Mémoire.
On peut encore s'assurer que l'équation F (r) = o n'a point de racines imaginaires ni égales par une démonstration analogue à celle dont Laplace a fait usage dans le 6e chapitre du 2' livre de la Mécanique céleste pour prouver la réalité des racines d'une équation algébrique provenant de l'intégration d'un système d'équations différentielles linéaires.
Soient p et : q deux variables fonctions de x et de t qui vérifient les équations suivantes :
dq
dt- dx + lP
k J- — hp = o, k-j- — hq = o , pour x = x
— + Hp = o, A : -— -+■ Hq = o, pour x = X
On satisfait à ces équations en supposant
p = \. cos. rt \
q = V. sin. rt j v ;
les quantités V et r étant les mêmes que précédemment.
En effet en substituant ces valeurs de p et de q dans les équations ( 19) et (20) on obtient les équations (6) , (7) et (8) d'où résulte l'équation en r, F(r) = o.
Supposons que cette équation puisse avoir une racine imaginaire A -j- u V' — 1 • Pour cette valeur de r, V se changera en
PURES ET APPLIQUEES. 3g i
P -j- Q \/ — i , et pour que les valeurs de p et de q ne cessent pas d'être réelles, on les modifiera de la manière suivante. On a d'après les formules (21):
p -f. q \/^~j = V. (cos. rt -f- V ' — î skauft) = V. en ^~'
=(P f Q y'^y^+MV'^T'V-' =(P-j-QVr7) (cos. A< + V -1 sm.At).ef
d'où l'on tire en séparant les parties réelles d'avec les imaginaires,
p=(Pcos. AZ — Q sin.Af).fi"', , ,
q = (P siu. AÉ-f-Qcos.A^.e-'.
Cette nouvelle expression de p est la demi-somme des deux valeurs de V. cos. rt qui répondent à /== A -f- fx V — ietàr=A — u. \ — 1, il en est de même pour q. Ou peut au surplus s'assurer par une vérification directe que ces valeurs (22) satisfont aux équations (ig)et(2o). Car leur sub titution dans ces équations reproduit les équations (9), (10) et (î 1) dans lesquelles se transforment les équations (6), (7) et (8) quand on fait r = A -f- fi. \ — ■ 1 .
Maintenant je multiplie les équations (19), la première par 2 pdx la seconde par 2qdx, et je trouve en ajoutant
,(a±+à*) f-fztfi 4*) - °ydi*!>
Intégrant les deux membres de cette équation par rapport à x depuis x = x jusqu'à x= X, j'obtiens
&ft<rVffc = '■fXp-i- (» |) - «!K ( 4)] (=')
Mais l'intégrale de p.d. ^ ^ — q .d. Ç k -£) est ft (p^| — ?g)
expression qui est nulle, soit pour a' = x, suit pour .r = X, à cause des équations (20). L'équation (25) se réduit donc à celle-ci
d f* ■jt ■ f J (/>* ■+■ q ) dx —. o.
qui donne en intégrant par rapport à t
f , g (p' -f- <7*) ntar = constante.
