Q2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Je substitue maintenant dans cette équation les valeurs (22) de p et cie<j, et je trouve
e-'f ./, gCP'-f-Q*) dr = constante ,
résultat absurde, puisque l'intégrale définie qui multiplie ici l'exponentielle e—^f' ne dépend pas de t et qu'elle ne peut pas être nulle, attendu que g est une quantité positive, et que d'ailleurs P et Q ne peuvent pas être nulles pour toutes les valeurs de x depuis x jusqu aX. Un prouverait d'une manière semblable que l'équation F(r) = o ne peut pas avoir de racines multiples.
Je vais maintenant taire voir que l'équation F(r) = o ne peut pas être vérifiée par une valeur de r négative ou nulle, si les fonctions k, g, l, et les constantes h, H, sont positives, comme on l'a supposé n* I.
En intégrant l'équation (6) par rapport à x depuis xs=x jusqu'à une valeur quelconque de x, on a
*ï = c + fjsr+ l^x- M
dV La constante C est égale à la valeur de k -r- pour x = x. Si V ne
doit pas être nulle pour x=\, on peut lui attribuer une valeur arbitraire, et supposer cette valeur positive; d'après l'équation (7) celle de
— - pour x = x sera aussi positive ou nulle; et si V était nulle pour dx *
.r=x, ou prendrait toujours la valeur de — pour x = x positive.
Ainsi C est positive ou nulle dans l'équation (24). H résulte de cette équation que si l'on donne à r une valeur négative ou nulle
— doit être positive pour toutes les valeurs de x croissantes depuis x
dx
jusqu'à X. En effet, supposons, s'il est possible, qu'en faisant croître «r
à partir de x, -r- vienne a changer de signe en s évanouissant une
remière fois pour x = £. L'équation (24) donnera
o == C + fl (—gr+l)\dx. (25)
dV Or ici C est positive ou nulle, et comme —■ est positive pour toutes
les valeurs de x moindres que £, V qui est positive ou nulle pour x = x, prendra des valeurs croissantes et par conséquent positives, tandis que x croîtra depuis x jusqu'à £. Donc, si l'on suppose r négative ou nulle, les fonctions g et l étant positives, l'intégrale
/ ( — gr-\-l)Ydx sera une quantité positive, et l'équation (25) sera impossible.
Ainsi, quand on attribue à r ui:e valeur négative ou nulle, -y-
doit demeurer positive dans tout l'intervalle compris entre x et X. Conséquemment V est positive et croissante dans cet intervalle, et il
s'ensuit, d'après l'équation (24), que la fonction positive k -7- est aussi
dV
croissante. La fonction k - — (-HV est donc encore positive et croissante, et ne peut pas être nulle, lorsque x atteint la limite X, c'està-dire que l'équation F(r)=o ne peut pas être vérifiée par une valeur de /' négative, ni par r=o.
On peut encore le démontrer de la manière suivante.
On a, en multipliant l'équation (16) par Ydx, puis intégrant depuis a? = x,
L'intégration par parties donne
de sorte que l'équation précédente devient
*VS = C +/; k(£) ** +fl{-gr+l)Vdx. (26)
La constante C étant égale à la valeur de AV -j- pour x=x, est positive ou nulle, d'après l'équation (7).
5g4 JOURNAL DE MATHÉMATIQIES
Si l'on fait /■ négative ou nulle, on voit que le second membre de cette équation aura une valeur positive et croissante avec x , de sorte
qu'il ne pourra pas devenir nul; doncAVj-, et conséquemment ni V, ni -y- ne peut s'évanouir quand on attribue à r une valeur négative ou nulle; V et -T- restent donc positives, et l'on ne peut pas avoir
k -j — H- HV = o pour .r =X , H étant positive.
Si la fonction l n'était pas constamment positive entre les limites x et X, mais que les fonctious k , g et les constantes h, H fussent toujours positives, il serait possible que l'équation F(r) = o fût satisfaite par des valeurs de r négatives ou par r=o. Mais alors les racines négatives de cette équation seraient en nombre limité, et toutes comprises entre o et la plus grande valeur négative de - (c'est-à-dire la plus éloignée de zéro). En effet, si l'on attribue à r une valeur négative qui surpasse numériquement -, la quantité — gr-\-L sera cous
tamment positive, et l'on reconnaîtra, en reprenant les démonstra-
d\ tions précédentes, que les fonctions — et V ne pourront point passer
du positif au négatif pour aucune valeur de x.
La plus petite racine de l'équation F(r)=o serait r==o, si /était
nulle, et si l'on supposait À-- = o pour i = x et pour x = X;
alors V serait égale à une constante.
On peut encore démontrer les propositions de ce numéro à l'aide de la théorie exposée dans notre premier Mémoire.
L'équation F (/") = o a une infinité de racines positives.
Cette proposition peut se déduire du n° XL du premier Mémoire. Mais nous préférons la démontrer directement de la manière suivante.
Soient k' et n des constantes positives telles qu'on ait pour chaque valeur de x comprise entre x et X
k < k' et gr — / > k'n*.
Posons l'équation différentielle
rfr
