jr /F (x) cos mxdx

mais cette méthode est impraticable sitôt qu'on cesse d'avoir f {x) = constante. Il faut donc recourir à d'autres procédés.

D'abord, j'observe que la fonction F (x) qui, par hypothèse, satisfait à la condition Ff-J = o, peut être exprimée entre les limites

,r = o, x= -, par une série de cosinus, puisque l'on a la formule

Février i8îê. 6

4a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

connue

¥(x) = - 2 cos mx I 2 ¥(/*>) cos m/udfjt,,

m désignant, comme ci-dessus, un nombre impair quelconque.

Quanta la fonction f(x), nous pouvons, entre les mêmes limites, la développer sous la forme

j\x) = R0 -f- Ri cos 2x + R4 cos l^x -f- ... -f- R„ cos «.r -f- . . . .

ou, pour abréger,

j\x) = 2R„ cos nx ,

n désignant un quelconque des nombres pairs o, 2, 4> 6. . . , et R„ étant un coefficient déterminé par l'égalité

R. = *J*f(fi)co&nfuift,

dout le second membre doit néanmoins être réduit à moitié lorsque n = o. Eu remplaçant f(x) et F(x) par leurs valeurs dans l'équation (A), cette équation devient

(A') Xhmmcosmx-{-lRncosfix'S.Amcosmx==-l.cosinx f2 F(/a)cos/h f^/f* ,

et l'on peut s'assurer que si l'équation (A') a lieu pour toutes les valeurs de .r comprises entre x= o et x= -, elle aura également lieu

quand x se trouvera en-deçà ou au-delà de ces limites. Tel est l'avantage que l'on trouve à substituer aux fonctions^ x) et F(x) les séries de cosinus équivalentes; et c'est en cela que consiste l'esprit de ces substitutions.

Le produit

2R„ cos nx 2A„, cos mx,

qui n'est autre chose que le produit des deux quantités

R0 -f- R, cos ix -j- R4 cos l\x 4- .... -f- R„ cos nx -f-

et

A , cos x -f- A3 cos 3.r -f- A5 cos 5.r + + Aracosmx + . ..

peut être effectué en général; si l'on fait usage de la formule

cos mx cosnx = - cos (>n-\-n)x -f- - cos (m — n)x ,

on ramène ce produit à la forme

a, cos x -f- tf3cos3.r + «5 cos 5a; + etc.; on peut donc poser

^.Rncosnx'2Amcosmx = a,cosx + rt3cos3x + r/5cos5.r + etc.; et en effectuant les calculs, on obtient aisément

Ces valeurs de a, , « 3 , a5 , . . . dépendent des quantités A , , A3 , A5, . . A„. . . .; mais pour bien mettre en évidence la loi régulière de leur formation, il convient d'introduire aussi dans le calcul les quantités A, , A 3 . A 5, . . . A„. . . Ces quantités n'ont aucun sens par ellesmêmes; voici quelle signification nous leur attribuerons dans la suite. 11 faut concevoir une fonction <p(m) telle que l'on ait en général Am — <p{jn), quand m est un quelconque des nombres impairs 1, 3, 5 . . . A présent, si dans la fonction analytique <p(m) on remplace m par — m, le résultat de la substitution sera <p( — m). Or, c'est précisément ce résultat que désormais nous dénoterons par A m, en posant en conséquence

A-, = <Pr— 1), A 3 = <p(— 3),... A m = <p(— m)....

Introduisant dans nos calculs les quantités A, , A 3,. . . . A raJ. . . .

nous pourrons mettre les valeurs de a„ a3, a5, . . . sous la forme

«1=è1+R0A1+^(A3+A,)+Y4(A5-r-A-3)+-+^A'-+A'-»)+rt3=^+RoA1+^(A5+AI)+^(A7+A I)+...+^(A3+n+A3 0+...

^5=è5+RoA54-%Ar+A,)+^(A9+A1)-f-...+^(A3^+A5 0+...

h,, b-i, bit. . . étant exprimés comme il suit:

b, = y(A,-A,)4-|i(A3-A 3) + ^(A5-A 5)+.-.. bs = £ (A1-A,)H-^(A3-A„,) + ^(AS-A 5) +. . . .

b5 = ^ (A,-A,) + y(A3-A-3) + t(As-A-5) +• • • •

La loi de formation des quantités blt b3, b5,.... et a,, aSt ab,.... est facile à apercevoir, et l'emploi des signes A,, A 3, etc., n'a pas peu contribué à rendre cette loi évidente. Eu adoptant pour a„ a„ a5,..., les valeurs ci-dessus, le produit 2R„ cos nx 2Am cos mx est égal à

a, cos.r -f- «3cos5x + «5 cos 5 x -f- etc.

Si donc on fait, pour abréger,

X = bt cos x + b3 cos 5x 4- bscos5x -f- ,

Y = 2cos^[R0Am+^(Am+3+Am 4)+^(Am+4+Am 4)+etc.]>

on aura

2Ra cos nx 2An cos mx = X + Y,

et l'équation i A') deviendra

(A") 2 Amw cos mx + X -j- Y == - 2 cos mx f 2 T (/x.) cos m f/Âu.

Dorénavant c'est à l'équation (A") que nous nous proposerons de satisfaire.

Dans le cas très particulier où l'on a f(x) = constante, on peut, comme on l'a dit plus haut, trouver par les méthodes ordinaires la râleur de Am qui satisfait à l'équation (A"). En examinant attentivement cette valeur, on en conclut par induction que, clans le cas le plus général oi\f{x) est une fonction quelconque de jc , il doit être permis de poser

sr

Am = - 1 du(Pcos m/A + Q sin m/A),

if J o

P et Q désignant des fonctions inconnues de//-, indépendantes de m, qu'il s'agit de déterminer, en sorte que l'équation (A") ait lieu. Toutefois, on pourrait douter à priori de la possibilité d'écrire la valeur de Absous la forme précédente; mais comme nous arriverons par notre analyse à calculer P et Q, il nous sera facile de vérifier à posteriori l'exactitude de notre hypothèse.

Posons donc

Am = - / 2 dfj. (P cos m fJL -f- Q sin /«/et),

et voyons s'il existe en effet des fonctions de /.i , indépendantes de m , qui, mises au lieu de P et Q, rendent la valeur de Am propre à satisfaire à l'équation (A").

Pour cela, calculons successivement, et mettons sous leur forme la plus simple les trois quantités 2Am??z cos mx , X, Y, dont se compose le premier membre de l'équation (A").

En premier lieu nous aurons

2Am/w cos mx = - 2 cos mx I 2 dp (Y* cos m /ut. -f- Q sin m y. ) ;

or il vient, en intégrant par parties,

/U 1 Ps'uiniu 1 r. dP ,

r cos mudu = / sin mu -- du , r m m J dp r '

et

/Qsiu mudu = Wft + - /cos mu -^ dp.

Si donc on se rappelle que m est un nombre impair, et si l'on suppose