ytV.V = o

qui se re'duit à

Elle a puur intégrale V = Csin.(«.r -f- c).

On peut prendre la constante arbitraire c telle qu'on ait

= -^— pour .r = x ,

ou bien V'= o, si V est nulle pour x = x.

Cela posé , il résulte du théorème du n° XII du premier Mémoire qfie la fonction V doit s'évanouir et changer de signe entre les limites x et X au moins autant de fois que V, et en outre d'après le n° XVI deux valeurs de x consécutives qui aunullent V doivent toujours comprendre au moins une valeur de x qui annulle V. Mais V s'annulle pour une suite de valeurs de x équidifférentes dont la différence constante est -. Donc V doit s'évanouir entre x et X au moins n

autant de fois que l'intervalle X — x contient - ou autant de fois

qu'il y a d'unités entières dans — . Or on peut rendre ce nombre plus grand que tout nombre donné, en faisant croître r indéfiniment ; car on peut prendre n aussi grand qu'on voudra, et remplir toujours la condition gr — l > k'n*, en attribuant à r des valeurs positives suffisamment grandes.

Concevons maintenant que r croisse par degrés insensibles depuis o jusqu'à une valeur R; la fonction gr — l croîtra en même temps que

r. Si l'on suppose toujours que, quelle que soit r, on ait k hV = o pour x = x ,

ce qui revient à — =- = h j et si l'on observe que , quand r=o ,

V ne s'évanouit pas entre ies limites x et X, on conclura de la deuxième partie du théorème du n° XII, en y remplaçant le paramètre m par r, que le nombre des valeurs de r comprises entre o et R qui annullent la fonction V(X , r) est égal au nombre i des valeurs de x qui annullent V( x , R) entre les limites x et X. Il résulte ensuite du n* XX du même mémoire que le nombre des valeurs de r comprises entre o et R qui satisfont à l'équation F(r) = o, c'est-à-dire qui annullent la fonction À" -j — (-HV où l'on fait x = X est égal à i ou à i+ i , selon

Z^' + HV que la fonction -== est positive ou négative pour ,rs=X et

/■=R, sa valeur pour x = \ et r=o étant positive, comme on l'a vu plus haut n" V.

L'équation F(r)=o a donc une infinité de racines positives, puisque /augmente jusqu'à l'infini, quand on prend la quantité R de plus en plus grande.

Nous désignerons par p, , p, , ps, etc. les différentes î-acines de l'équation F (r) = o rangées par ordre de grandeur en commençant par les plus petites. Pour chacune de ces valeurs de r, les trois équations (6), (7) , (8) sont vérifiées en même temps. Nous représenterons généralement par V, la fonction V correspondante à la racine pf : elle renferme implicitement comme facteur une constante arbitraire.

On a supposé n° II, u=Xe~rt pour satisfaire aux trois équations (1), '2), (3). On a donc maintenant une infinité de solutions particulières de cette forme; savoir

u—X^e— M, u = V,e f'(, u = \je-f't etc., et en général,

u =. Xfi-f'K (27)

Cette valeur (27) de u qui vérifie les équations (1), (2), (5) satisfera eu outre à l'équation (4) si les températures initiales des différents points de la barre sont exprimées par la fonction Vj. Alors la formule

PURES ET APPLIQUÉES. 5g7

(27) remplit toutes les conditions du problème : les températures variables de tous les points de la barre sont à chaque instant proportionnelles à leurs valeurs initiales ; et si l'on conçoit que le temps croisse par intervalles égaux , les valeurs numériques de ces températures décroissent comme les puissances successives d'une même fraction dont le logarithme pris positivement est proportionnel à p;; de sorte qu'elles s'approchent de zéro d'autant plus rapidement que la racine f,- est plus grande. Nous allons faire connaître les principales propriétés qui distinguent ces différents états simples représentés par les foi-mules (27) où les températures variables sont exprimées par un seul terme. Ces propriétés ne sont autres que celles des fonctions V,, V, ,. . . V{, ... et se déduisent de la théorie exposée dans notre premier mémoire.

En considérant r comme variable, nous supposerons toujours, comme dans les nr* VI et VII, que la fonction V(.r, r) qui satisfait à l'équation

A-gJ + (ê/'-/)V = 0

remplit la condition

dX

k — — hV = o pour a: = x.

it^H-HV

dx

Cela posé, la quantité — - — — étant positive pour x = X et

r=o, comme on l'a vu n° VI, on conclut du théorème du n° XX

dV du premier Mémoire, que les deux fonctions V et k -y- -j- HV où l'on

fait ,x = X doivent s'évanouir et changer de signe alternativement

dV pour des valeurs croissantes de r, et que c'est k- 1- HV qui s évanouit la première.

Ainsi, V(X, r) qui est positive quand r = o, demeure positive tandis que r croit depuis o jusqu'à p,; elle change de signe une foi? et devient négative pour une valeur de r comprise entre p, et p3; elle

Novembre i83fi. ~"

3g8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES.

s'évanouit une seconde fois pour redevenir positive quand x croît depuis p, jusqu'à f>3, et ainsi de suite.

De là et du n* XII du premier Mémoire on conclut encore les propriétés suivantes : V, ne change pas de signe ou demeure positive entre les limites x et X (comme V(x, r) quand r=o). V, change de signe une fois pour une valeur de x comprise entre ces limites. V3 change de signe deux fois entre les mêmes limites, et en général Vj change de signe i — i fois entre x et X.

Si l'on devait avoir V = o pour ,r=X au lieu de K^ -f- HV=o

(ce qui revient à supposer H infinie dans l'équation (8), Vf s'évanouirait toujours pour i — i valeurs de,x plus grandes que x, en comptant X parmi ces valeurs. Et si l'on avait V = o pour x=x, au lieu de

k -j hV = o, V, s'évanouirait encore pour / — i valeurs de x plus

grandes que x; X pouvant être encore la plus grande de ces valeurs.

D'après les nos XVI et XVII du premier Mémoire, la valeur de x unique qui annulle V, est comprise entre les deux valeurs de x qui annullent V3 ; chaque valeur de x qui annulle V3 tombe seule entre deu:c des trois valeurs qui annullent V4; en général , les deux fonctions Vfet V}4., correspondantes à deux racines consécutives p,, ft+, de l'équation F(r) = o, s'évanouissent l'une après l'autre alternativement, tandis que x cro4t depuis x jusqu'à X, et c'est V<+I qui s'annulle la première. Il en sera de même si l'on a V=opour jc=x, pourvu qu'on ne compte pas x parmi les valeurs de x qui annullent V, et V(+I

Si l'on compare les deux fonctions correspondantes à deux racines de rangs quelconques p* et fi+^, la ?iitm' valeur de x à partir de x qui annulle Y, est plus grande que la nltmt valeur de x qui annulle Vi+a , et plus petite que la valeur de x qui annulle V,+A dont le rang à partir de x est marqué par /z-f-A.

D'après les n" XVI et XVIII du premier Mémoire, deux valeurs de x consécutives qui annullent V, comprennent toujours au moins une valeur de x qui annulle V,+ û. Si l'on considère deux valeurs de

x quelconques a et b entre x et X (a pouvant être égale à x et b à X), Vf-f-a ne peut s'évanouir entre les limites a et b qu'une fois de moins que V,; V,+ A s'évanouit entre a et b au plus A fois de plus que V,, et entre deux valeurs de x consécutives qui annullent V, il ne peut exister plus de A valeurs de x qui annullent V,+ A.

A ces propositions il faut ajouter les remarques énoncées à la fin du n° XVIII, en y remplaçant V par V, et V'par V,+ A.

D'après une observation générale que nous avons faite u° XLIII de notre premier mémoire, on peut encore à l'aide des théorèmes des nos XII, XVI, XVII et XVIII, comparer les changements de signe qu'éprouve la fonction \t dans l'intervalle compris entre a et b , avec ceux qu'éprouve la même fonction \t, ou une autre V„ correspondante à une autre racine p„, dans un second intervalle égal au premier b — a, et compris entre deux autres valeurs de or, a' et b'.

Par exemple, si a et b sont deux valeurs de x consécutives qui annullent V,, et si en superposant les deux intervalles égaux b-a et b'-a' on trouve que les valeurs de la fonction gfL —I dans le premier intervalle sont plus petites que les valeurs correspondantes de gft — /ou de g f„ — l dans le second, et que celles de k sont au contraire plus grandes dans le premier que dans le second, on sera certain que V ou V„ change de signe au moins une fois dans ce second intervalle, V* ou V„ pouvant d'ailleurs être nulle pour x=a' ou x=:b'.

Soit p une quantité constante ou une fonction de oc telle qu'on ait pour toutes les valeurs de x depuis x jusqu'à X

(gp, — l)k +/>'- kd£ > o. (28)

On aura aussi à fortiori

(gp,+A —l)k + p* ~kd£> o.

Nous allons comparer les valeurs de x qui annullent les deux fonctions

4og JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

d\ t^i-UA

k -r1 -}- />V, et À -j-pY.+ s qu'on obtient en faisant r=f,

et r = fi+A dans l'expression k -, — \- pY.

Quelle que soit la racine de l'équation F(rj = o qu'on substitue , d\

kdï+PX à la place de /dans — , cette quantité a toujours une valeur

constante h-\-p pour jc=x, et une autre valeur constante — H-f-/> pour j: = X, en vertu des équations (7) et (8). Si l'on fait croître r d'une manière continue depuis ft jusqu'à f,n-A en supposant toujours d\T . dV Tr

-^- = h pour .r = x, la fonction — où l'on fait x = X variera , et comme elle a pour r=f; et pour r = fi+û une seule et même valeur — H-f-/;, et conséquemment le même signe, on en conclut d'après le théorème du n° XX du premier mémoire, que r

croissant depuis p; jusqu'à-,.^, la fonction k - — hfV où l'on fait x=X

doit s'évanouir et change de signe le même nombre de fois que V(X, r), c'est-à-dire a fois. Il s'ensuit, d'après le n" XXVI, que la fonction

<*Vl+A k —y \- p\ .+ a s'évanouit entre les limites x et X, A fois de plus que

k -3-^ -f- ^/\ y : d'ailleurs chacune change toujours de signe en seva-

nouissant.

Cela posé, on peut appliquer à ces deux fonctions les propositions énoncées dans le n° XXIX du premier Mémoire, en remplaçant dans ce numéro

'+/,V'par k^pV„ K ^ + /A par k-^-+pVi+A

et le nombre £ par A.

Ainsi deux valeurs de x consécutives qui annullent k-j- ■ -f-/Af compren-

dX,, nent toujours au moins une valeur de x qui annulle k — r- $-p\t+^

et deux valeurs de x consécutives qui amiullent A '+- i DV .,

dx ' l~t~A

ne peuvent pas comprendre plus d'une valeur de x qui annulle

*§ + itf

La n"°" valeur de x à partir de x qui annulle k — --f-pV, est plus

grande que la nla" valeur de x qui annulle k — ^t^.-f pV, + A etplus

petite qu'une autre valeur de .r qui annulle k — ^— -f- pYJ+A d'un

rang marqué par n-j- A (à partir de x). En faisant en particulier a=i

ou voit que les deux fonctions k — -3— +pV,-j. et k - -f- pV,

s'évanouissent l'une après l'autre alternativement, tandis que x croît depuis x jusqu'à X;.

Si l'on prend entre x et X des valeurs a et b , k "^ -j- pV,+A

dx

ne peut s'évanouir qu'une fois de moins que k ~~ + pV, entre ces limites a et b et s'évanouit au plus A fois de plus que K — -f-pV-,

dx ' '*

Conséquemment entre deux valeurs de .r consécutives aetf qui annullent ^^r + P^o ^ ne Peut exister plus de A valeurs de x qui

dVaunullent À —j- — \-p\ ',+*. Il faut joindre à ces propositions tirées

du n° XXIX les remarques qui terminent ce numéro.

d\ D'après le n° XXXII, la fonction h -—.-\-p\. doitchanger de si<me

une fois ou un nombre impair de fois dans l'intervalle compris entre deux valeurs de x consécutives qui amiullent \lt elle ne peut pas s'évanouir sans changer de signe si la condition (28) est toujours remplie.

De plus si la quantité ^ est positive pour uue certaine

valeur de jt, k -~ +/A t changera de signe une fois ou un nombre

4o2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

impair de fois dans l'intervalle compris entre cette valeur de x et celle immédiatement supérieure qui aunulle Vjj et k -r1 ,+ pV; ne changera pas de signe ou en changera un nombre pair de fois dans l'intervalle compris entre la même valeur de x et celle immédiatement

, Mi inférieure qui aunulle V,. L'inverse aura lieu, si — est négative pour la valeur de x que l'on considère.

Supposons actuellement que p soit une quantité constante ou une fonction de .r qui décroisse continuellement, taudis que x croît depuis x jusqu'à X et qui remplisse toujours la condition

(gf, - i)k + P* - kd£ > o. (28)

Il peut se faire que quelques-unes des fonctions gf, — l, gpt — /, . . . gfi — Z, etc., changent de signe entre les limites x et X. Mais pour

toutes les valeurs de r supérieures à la plus grande valeur de -, gr — / sera constamment positive entre ces limites. Soit p, +A l'une de ces valeurs de r. Alors la fonction k — -7 hpYi + A jouira des propriétés énoncées dans le n° XXXI du premier Mémoire. Ainsi elle s'évanouira entre les limites x et X, autant de fois que V, + a ou unefoisde plus, ou une fois de moins, c'est-à-dire un nombre de fois marqué par i-\- A — 1 ou i-f-A ou î-f-A — 2 , selon que les valeurs h-{-p et — H-f-p de

Tl pour a = x et pour .r=X seront toutes deux

de même signe, ou la première positive et la seconde négative; ou enfin la première négative et la seconde positive. En outre, d'après le même n° XXXI ces deux fonctions doivent s'évanouir l'une après l'autre alternativement quand x croît depuis x jusqu'à X, et suivant l'ordre indiqué dans ce numéro.

PURES ET APPLIQUÉES. 4o5

dV- Considérons maintenant la fonction k -~ •+■ p\,. Elle sevanouit

toujours A fois de moins que k-y- + pV, + ± entre x et X ,

pourvu que la condition (28) soit toujours vérifiée. Donc les valeurs

de i-^ pour x = x et pour x = X étant les mêmes que

celles de — ^ savoir h -f- p et — H + p , on voit que

cette fonction K-t-î -+- p\ \ doit s'évanouir un nombre de fois marqué par i — 1 ou i'ou i — 2, selon que ces valeurs h-\- p et — H-f-/j

de ^ pour x = x et a" = X seront toutes deux de même

signe ou la première positive et la seconde négative , ou enfin la première négative et la seconde positive.

dV, Dans le premier cas, où les deux fonctions V( et K-j- -f- //V, s'évanouissent le même nombre de fois i — 1 entre x et X, je dis qu'elles doivent s'évanouir l'une après l'autre alternativement pour des valeurs de x croissantes, et que c'est, k-^ + pVt ou V# qui s'annulle

la première selon que les valeurs h -f- p et — H -f- p pour x = x et x—H sont toutes deux positives ou toutes deux négatives. s'

dV Car d'après le n° XXXII, K-j-' -f- pV t doit changer de signe au

moins une fois dans l'intervalle compris entre deux valeurs de x

dv ■ consécutives qui annullent V, et de plus À' -r-!-\-pYj doit changer de

signe au moins une fois entre x et la plus petite valeur de x qui annulle V,-, si h -\- p est positive pour x = x, ou bien une fois au moins entre X et la plus grande valeur de x qui annulle Vj si — H -\- p est négative pour x = X. Donc ces deux fonctions devant s'évanouir le même nombre de fois i — 1 ne peuvent s'annuller que l'une après l'autre alternativement.

On voit de même que si h-\- p est positive pour x=x et — H-f-/; négative pour x = X , les deux fonctions V, et k -^~ -f- p\t s'évanouiront encore Tune après l'autre alternativement , et que A — ! -f- p\i qui doit s'évanouir une fois de plus que \it deviendra

nulle la première. Enfin si h -{-ppour x = x est négative et — H-\-p pour x = X positive , les deux mêmes fonctions s'évanouiront encore l'une après l'autre tour à tour, Y, deviendra nulle la première

et le sera une fois de plus que k -r1 -f- p\ ■.

Ces propriétés ont lieu pourvu qu'on ait constamment depuis x jusqu'à X,

BTi- 0 * + !*•— *3È'>Ô (=8)

et que p ne croisse pas, tandis que x augmente.

Cette condition (28) sera remplie, si la fonction gp, — l reste positive entre les limites x et X; alors on peut ajouter à ce qui

précède que ^ décroîtra continuellement tandis que x croîtra depuis une valeur quelconque jusqu'à celle immédiatement supérieure qui annulle Vf. Enfin d'après le n° XXXIII, gf>t — /étant toujours positive, si l'on prend successivement pour p des valeurs constantes croissantes depuis — x jusqu'à -f- 00 ou des fonctions de x de plus en plus grandes qui décroissent taudis que x croit depuis x jusqu'à X, chaque valeur de x qui annulle k -j— -f- pV; augmentera en même temps que p, sans cesser d'être seule comprise entre deux valeurs de x consécutives qui annullent V;; celles-ci répondent à p = ± 00 .

Les valeurs de x qui annullent -j- répondent à p=o. Quand ou

fait p = o , la condition (28) se réduit à gj>, — / > o. Alors, d'après le n" XXV et aussi d'après le n° XXX du 1" mémoire, pour chaque

PURES ET APPLIQUÉES. 4o5

dV dx

innulle -3—', -^= — passe toujours du positif au négatif, et V, devient

maximum , abstraction faite de son signe. V, 'n'a pas de minimum. En 7 dVi

~dï outre, comme —=- a une valeur positive -\-h pour x = x et une valeur négative — H pour x=X (aucune des constantes h, H n'étant nulle ou infinie) on conclut du n° XXXI que lorsque x croît depuis

dV- \ jusqu'à X , les deux fonctions V, et -r-1 doivent s'évanouir en chan-

dV géant de signe l'une après l'autre alternativement; -3—' devient nulle

la première et s'évanouit i fois , c'est-à-dire , une fois de plus que V, , ainsi V( passe tour à tour d'un maximum à zéro, puis de zéro à un autre maximum de signe contraire au précédent, puis change de signe de nou-