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veau, et ainsi de suite, sans avoir de minimum. De plus, ■ décroît

toujours, quand x croît.

La fonction Y,+ A jouit de ces propriétés en même temps que V,. On peut d'ailleurs, d'après le n° XXIX où l'on fera p = o, comparer

les valeurs de x qui annullent ~ et — -^-^ et pour lesquelles V, et

Vi+A deviennent des maxima. On voit ainsi qu'entre deux maxima consécutifs de V, il y a toujours au moins un maximum de V,+A et entre deux maxima consécutifs de V, + A il ne peut exister plus d'un maximum de Vf. Le n'"1" nuzximum de Vt tombe toujours entre les deux maxima de V,-fA dont les'rangs sont n et n-\- A à partir de x • de sorte que si A = 1 , les deux fonctions V; et VI4 A atteignent leurs maxima l'une après l'autre tour à tour. Entre deux limites a et b \l+A ne peut avoir qu'un maximum de moins que V, et au plus A maxima de plus que V,; et conséquemment entre deux maxima consécutifs de Vf il ne peut exister plus de A maxima de V1+A. Voyez la fin du n» XXIX.

On peut, dans ce qui précède, supposer en particulier i=\ , 2, 5 , . . . On en conclut que si la fonction gf, — l est positive pour toutes les valeurs de x comprises entre x et X, V, qui ne s'évanouit pas entre ces limites a un maximum unique dans leur intervalle.

Novembre i83G. r

Si g/>. — / esl constamment, positive entre x et X, V, a deux valeurs maxima entre lesquelles elle s'aunulle. Et si gp, — l est aussi positive en même temps que gf>t — /, le maximum unique de V, se trouvera entre les deux maxima de Vs.

Si gf3 — / est positive entre x et X , V3 qui change deux fois de signe entre ces limites aura trois valeurs maxima tour à tour positives et négatives.

Si gpa — l est aussi positive entre x et X, chaque maximum de Va se trouve placé entre deux maxima consécutifs de V3 , et si g? , — / est aussi positive , le maximum unique de V, tombera entre le premier et le troisième maximum de V3.

Il en sera de même des fonctions V4, \ 5 , etc.

Ce qui précède fait connaître à peu près la forme des courbes qui représentent ces différentes fonctions V„ V», V3. . . dans l'intervalle de x à X.

Nous pourrions encore considérer les points d'inflexion de ces

d*Vcourbes qui sont donnés par l'équation -7-^ = 0 laquelle à cause de

l'équation (8) est la même que la suivante

dx ' (dk\ \dx)

En supposant, dans tout ce qui précède, p = -^Vr — > si la condi-

tion (28) était satisfaite , on pourrait connaître le nombre de ces points d inflexion sur chaque courbe et les comparer sous le rapport de leurs positions respectives sur la même courbe ou sur des courbes différentes, soit entre eux, soit avec les points d'intersection de ces courbes avec l'axe des x et les points maxima. Mais ces détails deviendraient trop longs et auraient peu d'intérêt. Il vaudra mieux ne s'occuper des points d'inflexion que dans chaque problème particulier où les fonctions g , À , / auront des expressions connues.

Les valeurs des racines de l'équation F(r) = 0 dépendent de celle des constantes h et H et des fonctions g, l et k et varient en même temps que ces diverses quantités.

En supposant constante la valeur h de — =- pour x-=. x, si l'on

attribue successivement à H des valeurs positives de plus en plus grandes depuis zéro jusqu'à l'infini, les racines de l'équation F (/)=o,

e est-à-dire les valeurs de r qui annullent la fonction k —- -+■ HV où

l'on fait x = X, augmenteront toutes à la fois en convergeant vers celles qui annullent \ -(X, r), d'après le n° XXI du premier mémoire. En même temps la fonction gp, — / devenant plus grande, les valeurs de x qui annullent chaque fonction \'; deviendront plus petites, de sorte que les points de la barre pour lesquels cette fonction Y, est nulle , s'éloiguent tous de l'extrémité de la barre correspondante à l'abscisse X, où le pouvoir émissif devient plus grand.

D'après le n° XX\I les valeurs de x qui annullent la fonction

A -7—' + pVi doivent aussi diminuer, si l'on a dx '

On en conclut en faisant p =0 que, si l'on a £j?f — /> o, les valeurs de x qui rendent V,- maximum deviendront aussi plus petites, de sorte que les maxima de Vf s'éloigneront de l'extrémité de l'abscisse X. Si l'on donne à l'autre constante h des valeurs positives de plus en plus grandes , sans faire varier H , les racines de l'équation F(r) == o comme aussi celles de l'équation V X, r) = o augmenteront toutes à la fois, d'après le n° XXII du premier mémoire, et en même temps d'après le 11° XXVIII. les valeurs de x qui annullent chaque fonction V, deviendront plus grandes, de même que

4o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

celles qui annullent k -r1 -f~ pVi> Sl ^a condition (28) est remplie.

En particulier si l'on a gft — / > o, les maxima de Vj s'éloigneront de l'extrémité de l'abscisse x.

Au surplus, le cas où h augmente ne diffère pas réellement de celui où H augmente , puisque A et H mesurent la grandeur du rayonnement aux deux extrémités de la barre; ainsi ce qu'on a dit pour l'un de ces cas peut s'appliquer à l'autre, par une simple inversion.

Si H et h prennent ensemble des valeurs plus grandes, les racines fi de l'équation F(r) = o augmenteront plus que si une seule de ces quantités H, h augmentait; mais alors on ne peut pas décider en général si une valeur de x qui annulle V, doit devenir plus grande ou plus petite, car elle deviendrait plus petite, si H seule augmentait , et plus grande si h seule augmentait.

Si h augmente et si H diminue, on ne peut pas dire en général si une racine ft de l'équation F(r) = o doit devenir plus grande ou plus petite, car p; deviendrait plus grande si h seule augmentait et plus petite si H seule diminuait. Mais ces deux causes réunies feront croître les valeurs de x qui annullent V* , comme aussi celles qui annullent A' -j1 -f- p\ i si la condition (28) est remplie , et celles qui

rendent V,- maximum si l'on a gp, — l >• o.

Ces valeurs de x deviendront au contraire plus petites, si h diminue et si H augmente, sans qu'on puisse décider dans quel sens variera la racine p(.

En donnant à A et à H des valeurs constantes, supposons qu'on remplace la fonction que k représente par une autre fonction h' qui pour chaque valeur de x soit plus petite que la première k ou au moins égale à k, et les fonctions g, l par d'autres g', V telles que g'r — V soit plus grande que gr — l, ou au moins égale, pour chaque valeur de r comprise entre certaines limites.

Supposons qu'après ces changements de fonctions la racine p, de l'équation F(/) = o dont le rang est i devienne p'i et que la fonction correspondante V, soit changée en V/.

H résulte du n° XXIII du premier mémoire que les nouvelles racines p't seront plus petites que les premières />,, pourvu qu'elles satisfassent comme les premières à la condition g'r — Z'> ou = gr — L; mais on ne saura pas si la nouvelle fonction V/ s'annullera pour des valeurs de x plus petites ou plus grandes que celles qui annullent V(; car d'après le théorème du n° XII, V/ s'annullerait pour des valeurs plus petites, si la racine f't n'était pas plus petite que p,, puisqu'on aurait g'f', — V > gp, — l et k' < k; mais d'un autre côté, les valeurs de x qui annullent V, deviennent d'autant plus grandes, que p', est plus petite.

Si l'on prend de nouvelles fonctions g', V et k! telles qu'on ait

g'r — V gr — / et k' >• À' on ne peut plus dire si la racine p',-

(|ui remplacera f, sera plus petite ou plus grande que f,; car p',

serait < fi, si l'on avait seulement g'r — l gr — l et k' = k, et

/'; serait > p, si k seule était changée en k' > à- et que g' et l' fussent les mêmes que g et l.

Si pour chaque valeur de x on a g'f,' — Z gpt — / et k' k ,

les valeurs de x qui annulleront V, seront plus petites que celles de même rang à partir de x qui annullent Y,; elles seront au

contraire plus grandes si l'on a g'p', — /' g?L — / et k! /-.

Pareillement si les deux fonctions gf, — l et g'f>\ — /' sont positives, selon qu'on aura pour chaque valeur de x,

g'r'i - i' ^ gfi - \ ft k'<k

on bien g'f', — l' gf, — l et k' \ k ,

les valeurs de x correspondantes aux maxima de V/ seront plus petites ou plus grandes que celles de même rang à partir de x qui répondent aux maxima de Vj.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que les valeurs particulières de la fonction u données par la formule u = V( e~til (27) qui sa-

4,„ JOURiNAL DE MATHÉMATIQUES

testait a toutes les équations du problème (i), (2), (5) et (4), lorsque la fonction f(x) qui représente les températures initiales «les pointsde la barre est la même que V,: V, contenant implicitement comme facteur une constante arbitraire. Si f (x) n'est égale à aucune des fonctions V, , V3, V3,... on formera l'expression générale de u en faisant la somme de toutes les valeurs particulières (27) après les avoir multipliées par des constantes arbitraires C^C,, C3, C,, etc.. de sorte qu'on aura

u = C,V,e-f'! -f- CaVae-?<f -f- . . -f- Q Vj'e-f* -f- etc. (29)

Cette expression de u satisfait aux trois équations (1), (2), (3) puisque chacun de ses termes y satisfait séparément. Il reste à remplir la condition

u '== f{x) pour t = o. (4)

Il faut donc qu'en faisant t = o dans l'équation (29) on ait pour toutes les valeurs de x depuis x jusqu'à X

• f{x) = C,V, -f- Ca V, 4- • • -f- C, V; -f- etc. (3o)

c'est-à-dire qu'il s'agit d'exprimer dans l'intervalle de x à X la fonction arbitraire f(x) par une série de fonctions assujetties à vérifier les trois équations (6), (7), (8) et qui diffèrent les unes des autres par les valeurs f, p». .f,. . du paramètre r tirées de l'équation transcendante F (r) = o. En admettant la possibilité de ce développement , on détermine chaque coefficient C, par le procédé connu que nous allons rappeler.

Multiplions les deux membres de l'équation (5o) par g\tdx , puis intégrons-les entre les limites x et X ; nous aurons

fXgVtf(x) dx=ClJX g\, Vi dx + Cj^gV, \/dx -h ...

+ df gW' dx ■+■ etc. (3i)

Or, d'après la formule (17) toutes les intégrales qui dans le second membre de cette équation sont multipliées par les coefficients C, C... . autres que C, sont nulles. Celle qui est multipliée par C, est évidemment une quantité positive. Si l'on suppose connue l'ex-

PURES ET APPLIQUEES. j i .

pression de V en fonction de x et de r qui satisfait aux deux équations (1) et (2) , en considérant r comme indéterminée,

gY'dx sera d'après la formule (16) égale à la valeur

de l'expression — V-j\ A- -7- -f- H V j où l'on fera ,r = X et r = f,.

En désignant pour abréger, cette quantité par R*, on tirera donc de l'équation (3ij

r f* $V' S (x) dx ^

Li — R,

et en mettant cette valeur de C, dans les formules (29) et (3o) qu'on peut écrire ainsi :

u = J CVie-f" f(x) = 2.QV,

elles deviendront

>xgXi f{x) dx

r*g\iJWdx

Yi6t J, 5 (55)