ISSI

On arrive aux mêmes résultats par la méthode générale dont M. Poisson a fait usage depuis long-temps dans un grand nombre de problèmes et en particulier dans celui qui nous occupe. {Théorie de la chaleur, pages 261 — 264. )

On n'a point encore démontré, lorsque les fonctions positives g, A , l, sont quelconques, la possibilité d'exprimer une fonction arbitraire y(.r) par une série convergente de la forme C.Vj+C.Vj+etc. (3o). Fourier et d'autres géomètres semblent avoir méconnu l'importance et la difficulté de ce problème qu'Us ont confondu avec celui de déterminer les coefficients C,. M. Liouville a résolu une partie de la question en démontrant par une méthode très ingénieuse (n° de juillet de son journal ) , que la somme de la série (34), si cette série est convergente, ne peut qu'être égale à f{x), pour toutes les valeurs dex comprises entre x et X. Dans le numéro suivant, nous admettrons provisoirement l'intégrale (35) qui est fondée sur la formule (34), pour en déduire quelques conséquences.

\l3 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

On voit qu'à mesure que le temps t augmente, tous les termes de la série (33) tendent vers zéro , avec des vitesses inégales , de sorte qu'après un certain temps, la température variable u de chaque point de la barre finit par se réduire sensiblement à zéro, c'est-à-dire à la température fixe du milieu où la barre est placée. Mais avant que la valeur de u soit nulle , il y aura une époque où la série (35) se réduira à très peu près à son premier terme correspondant à la plus petite racine p, de l'équation F(r) = o, en sorte qu'on aura sensiblement

u = C.V.e- f'(, C, désignant la quantité

XgV,/(x)dx

ffV.dx

En faisant abstraction du coefficient constant C, , on voit que cet étatfincd des températures ne dépend point de leur distribution initiale représentée par f(x) qui n'influe que sur la valeur de la constante C, : il se confond avec le premier des états simples que nous avons, considérés précédemment. Par conséquent, après un certain temps plus ou moins long, les températures de tous les points de la barre, quel que soit leur état initial, seront supérieures à la température fixe du milieu, si la valeur de C, est positive, ou lui seront inférieures, si C, est négative. Eu outre, si la fonction gp, — l est positive pour toutes les valeurs de x depuis x jusqu'à X , ces températures finales, abstraction faite de leur signe quand elles seront négatives , ne présenteront qu'un seul maximum , c'est-à-dire qu'elles seront croissantes depuis une extrémité de la barre jusqu'à un certain point, puis décroissantes depuis ce point jusqu'à l'autre extrémité; et

si l'une des équations (a), (5) se réduit à ^= o pour l'une des extrémités, ces températures finales iront en croissant ou décroissant depuis cette extrémité jusqu'à l'autre. Ces propriétés n'ont pas lieu dans l'état initial , puisque la fonctionner) est arbitraire.

Elles supposent toutefois que la valeur de la constante C, qui dépend

PURES ET APPLIQUÉES. 4i5

de cette fonction/^) n'est pas nulle. Or C, devient nulle, dans le cas oùf(x) remplit la condition j gV ,/(x)dx = o. Alors si l'on na

pas en même temps Ç g\if(x)dx = o, les températures finalesseront exprimées par le second terme CaVae-f'' de la série (333, la va-

leur de C, étant — — ^ . Dans cet état final, les températures

seront positives dans une partie de la barre et négatives dans la partie restante. De plus, si gp3 — / est positive pour toute la barre, il y aura une valeur maximum de u sur chacune de ces parties et il n'y en aura qu'une.

Si l'on avait à la fois

f^gV<Ax)d* = °> et f^g^,f(x)dx = o, l'état final serait exprimé par le troisième terme de la série (55). Si l'on avait en outre j g\3f(x)dx = o, l'état final serait donné par le quatrième terme et ainsi de suite.

On vient de voir qu'après un temps plus ou moins considérable , la fonction u finit par avoir le même signe dans toute l'étendue de la barre, si la valeur de C, n'est pas nulle, ou bien par n'avoir qu'un nombre de changements de signe égal au nombre des coefficients successifs C,, C, , C3. . . qui se trouvent nuls à la fois. Donc, si à une époque déterminée, u s'évanouit une ou plusieurs fois entre les limites x etX, il faut que par l'accroissement du temps, le nombre des valeurs nulles de u diminue, jusqu'à se réduire enfin à zéro ou au nombre des coefficients C, , C». . . qui seront nuls à la fois. Xous allons examiner comment s'opère cette disparition des valeurs nulles de u. Cette recherche a des applications importantes.

Supposons d'abord que u soit nulle pour t = r et ;r = £, et que

■j- ne soit pas nulle en même temps. On peut douner à x une valeur

Novembre i836. 53

4i4 JOURNAL DE MATHEMATIQUES

a plus petite que | et une autre valeur b plus grande que £ telles que y- (je, t) qui n'est pas nulle pour x = £ ne s'annulle ni pour x = «, tii pour x = b , ni pour aucune valeur de jr comprise entre a et 6.

Alors -rç (je, t) ayant constammment le même signe dans cet intervalle, selon que ce signe est + ou —, la fonction u{x , t) doit croître ou décroître continuellement, tandis que x croit depuis a jusquà b, elle ne s'évanouit donc que pour x = % dans cet intervalle, et les valeurs de u(a, x) et u(b, t) sont différentes de zéro et de signes contraires.

Faisons maintenant t = t -f- 1 ', t' étant uue quantité positive qu'on

prendra aussi petite qu'on voudra. Comme — (x , t) n'est nulle pour

aucune valeur de x comprise entre a et b , — (jc, t -+- t') aura, pour chaque valeur de x entre a et b une valeur différente de zéro et de même signe que -t-(x,t), pourvu que t' soit suffisamment petite.

Donc — (x,t -\-t') aura dans tout l'intervalle de a à b le signe dx v * . ' °

de ,"(£, t) : donc, selon que ce signe sera -f- ou — , la fonction

u x , t -j- z') ira en croissant ou en décroissant dans cet intervalle.

Or, aux deux limites a et b cette fonction a des valeurs de signes contraires. Car u{ a, r) n'étant pas nulle, u(a, r-f- 1') aura le même signe que u(a, t) si l'on prend t' suffisamment petite, puisqu'on peut rendre la différence entre u(a, t) et u(a, T + t') plus petite que ufa, r) en diminuant <* ï donc u{a , r-\-t') a un signe contraire

a celui de -j^fjf, t). De même u[b, t -f- 1') aura le même signe que

* i a du f ~ x

u 7), r) et consequemment le même signe que ~ (Ç, t;.

Donc «(x, t -\-t') a deux valeurs de signes contraires pour x = a et pour x = b; ec comme cette fonction croit ou décroît continuellement dans l'intervalle de a à b, on voit qu'elle s'annulle une seule fois et qu'elle change de signe pour une valeur de x comprise entre a et b.

PURES ET APPLIQUÉES. 4i5

En faisant xz=r — t' , on verra de même que la fonction... u{x, t — t') doit aussi s'évanouir une seule fois en changeant de signe pour une valeur de x entre a et b.

Supposons à présent que u et -r- soient nulles à la fois pour t — t et x=%, mais que -j-; ne le soit pas, et admettons pour fixer les idées que — soit positive.

On peut donner à x une valeur a plus petite que ? et une valeur b

plus grande que £ telles que -7— a ait dans tout l'intervalle de a h b le

même signe qu'elle a pour ,r = ^, c'est-à-dire le signe +. Alors x

croissant depuis a jusqu'à /;, — (x , t) ira en croissant, et comme

cette fonction est nulle pour x = % , elle sera négative dans l'intervalle de a à 0 puis positive dans l'intervalle de £ à b.

Donc x croissant depuis a jusqu'à £ , la fonction u(x , t) décroîtra et sera par conséquent positive, puisqu'elle est nulle pour x = £ ; ensuite x croissant depuis £ jusqu'à b , u(x , t) croîtra et par conséquent sera encore positive.

Faisons maintenant t= t + t' ■ -r-',, {oc , r-f- 1') aura pour chaque valeur de x entre a et b une valeur différente de zéro et de même signe que —' {x , t) c'est-à-dire positive, pourvu qu'on prenne t. suffisamment petite , puisqu'alors ces deux fonctions diffèrent l'une de l'autre aussi peu qu'on veut. Donc -r- [x , t -j- t') croîtra conti-

nuellemment dans l'intervalle de a h b; mais cette fonction a une valeur négative pour x = a et positive pour x = b , puisque ces valeurs diffèrent aussi peu qu'on veut de celles de ^-(fl, r)et ^[b, r)

qui ne sont pas nulles. Donc -y- {x, r-f-*') s'anuulle entre les limites

a et b une seule fois et passe en s évanouissant du négatif ou positif.

Pour discuter u(x, r-^-t'), il faut considérer la fonction — {x , t).

Pourx=?et tz=r on a par l'équation (i) g— =k -r—, puisque u et — sont alors nulles. Donc -7- (jj, t) n'est pas nulle et a le même signe que — ;(£, t) , c'est-à-dire le signe-}-. Or, on peut prendre a et b assez près de £ pour que -r{x , t) reste positive enlre ces limites a et &. Mais en prenant t' suffisamment petite, la différence a(x, t -\-t') — u(x , r) a le même signe que j- {x , t). Donc pour

toutes les valeurs de x comprises entre « et b, la fonction.... u{x , t -\-t') est plus grande que u{x, r) et par conséquent positive. Si l'ou fait x=.x — t', on prouvera, comme tout à l'heure, que

-7-(x, t — t') s'annulle entre les limites a et b une seule fois et passe

du négatif au positif.

Pour chaque valeur de .r comprise entre a et b, la fonction u(x, r — t') est plus petite que u(x, r), puisque la différence u{x , t — t') — u(x, t)

a un signe contraire à celui de -r- (x, t), t' étant suffisamment petite :

donc u(x, t — t') est négative pour ,r = ?. Mais elle est positive pommer;: a et x=b, comme m (.r, t), car en prenant t' suffisamment petite, u(a, t — t') et u(l), t — t) diffèrent aussi peu qu'on veut de u(a, r) et uJj, r)qui ont le signe -j-- H suit de là que u{x, r — t') change de signe au moins deux fois, d'abord pour une valeur de x comprise entre aetç, puis pour une autre entre ? et b. Je dis de plus que cette fonction ne peut pas s'évauouir plus de deux fois enîre les limites a et b: car si elle s'évanouissait une troisième fois, en changeant ou ne changeant pas de

signe, j-. (x > T — t ') devrait s'annuller au moins deux fois entre les

mêmes limites a et b, ce qui n'arrive pas.

Nôns avons supposé — t (£, t) positive. Si cette quantité est négative on reconnaîtra de la même manière que u(x , T-f-/') doit être négative et ne pas s'évanouir entre les limites a et b, et que... u[x, t — t) doit changer de signe et s'évanouir deux fois seulement , d'abord entre a et £ , puis entre £ et /;. D'ailleurs, ce cas se ramène au précédent, en changeant, u en — u.

En supposant que u ne soit pas constamment nulle pour x = x

quelle que soit t, il peut arriver que u s'évanouisse pour x = \ quand

t. atteint une valeur t. Alors -=- sera nulle en même temps, à cause

dx l

de l'équation k -^ — hu = o. (2). Si t— 4 n'est pas nulle aussi, on verra par le raisonnement précédent qu'en faisant croître x depuis x jusqu'à une valeur b un peu plus grande que x, it[x , T-\-t') ne s'é- 1 « d u , . . ...

vanouira pas et aura le même signe que -r-Ax> rJ> et que u\x, t — t )

changera de signe et s'évanouira une seule fois entre x et b. 1 De même, si u est nulle pour x = X et t= r, -7- sera nulle en même temps; à cause de l'équation (3). Alors u(x , i-{-t') aura pour les valeurs x un peu plus petites que X et pour x = X, le même signe que -j-j^X, t) : et u(x, t — t') changera de signe et s'évanouira

une (ois près de la limite X.

Je suppose actuellement que la fonction u et plusieurs de ses deiï- , . du d'u . ;> dm~'u , . u ■ 1 <• •

vees successives -r- , t— - , . . . jusqu a -3—— deviennent nulles a la (ois

pour x=% et tz=r , et je vais examiner ce que u deviendra pour des valeurs de x et de t très peu différents de Ç et de t. Pour traiter ce cas général qui comprend ceux dont je me suis occupé dans les deux numéros précédents , j'emploierai une autre méthode fondée sur le développement de u suivant les puissances de x' et de t' , en faisant x = %-\-x' et t S = t + € L'équation (1) devient

du \ dx'J } , , ,

Sd7=— -w lu; (0

On a, d'après la formule de Taylor , KÇ+*', t+0=Y+Y/+Y, -f~2 +. . .+Y„ ^"+6^«(*) (55)

(*) On arrive immédiatement à cette formule en intégrant n -f- 1 fois de suite . ,J+1 . ai ""' depuis t =0 jusqua t = t et introduisant successivement comme

.... . , d"u da~'u , ,

constantes arbitraires les valeurs de -— ; — r; — , etc. pour t = o , qu on suppose

dl ' de"-' ' r ' * rr

donne'es.

en désignant par Y, Y,, Y2...Y„, ce que deviennent les fonctions

du d'il d"u t /- .. .1 . j

il.—,. —r....-rr. quand on fait t = o ou t=r. de sorte que ' di : ' dt " dt"' n ^

Y, Y,. ..Y, ne dépendent que de la seule variable x'. Le terme G*'"-1"1

/"*/"*/** dn'^',ij

remplace l'intégrale multiple Jjj . . . ^;+T^'',+ ,> d'où il suit que 0

est comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs que

prend la fonction , , '■t-t. -wj+ï, tandis que /' varie depuis o

jusqu'à sa plus grande valeur.

, t, , P . du

On a suppose que pour x = Ç et t=T, les fonctions u , j^,

— . etc. jusqu'à -, — - sont toutes nulles et que -=— - a une valeur A

dx% J n dx"'~' ' dxm

différente de zéro. Quand on fait (=t ou t' = o, ces fonctions u,

du d'u i « \r dY d'Y , t-. ,

— , — .... sont les mêmes que x, y- , -tt-, , etc. Donc , pour x =«> dx' dx'' n dx' dx a r

,r dY . „ dm~"Y ,, . dmY . , . , .

Y, i — .etc. iusqua -j-r:— sont nulles et -3-7- est égale a A.

Pour des valeurs de x' suffisamment petites, soit positives , soit négatives , différera de A aussi peu qu'on voudra. On en conclut

3 ' dx m

(en intégrant m fois) , que pour ces mêmes valeurs , on aura

a étant une quantité positive ou négative, fonction de x', qui s'évanouira avec x', et qu'on pourra rendre plus petite que toute quantité donnée en prenant x' suffisamment petite.

Pour avoir les expressions de Y,, Y,. . . ., il faut dans l'équation (1) et dans celles qu'on en déduit en la différentiant plusieurs fois par rap-

, , - . , . . , , du d'il

port a t , faire t = o. On obtient alors en remplaçant u , y-, , — . . . ,

par Y, Y, , Y, . . . . les équations suivantes :

etc.

La première g\ , = — — , — —/Y diflerentiée ^ fois par rapport à x', donne

crî^Xl-U dg dP~'Y ■ ^ V

, ffi+*Y . dk rfP+'Y (p\\)p d'k dPY dP+'k- d\

dx'f+- ~*~ ^P~*~l> dx' dx'**' "*" 1.2 dr'2 dr'''~'~ * * ""*" dx'P+< dx

— ldn — — fi\ dx'r ' ' ' dx'r '

n v dY dm-Y E „ , d»Y .

Comme Y, -j-, ,. . . .-r-T^n sont nulles pour x=oet que -t-t^= A

on voit par les deux dernières équations que Y, -j-f , etc. , jusqu'à

j--^— sont nulles aussi pour x =o et quon a

d"-»Y, /k\ drl /k\ . ,

4Û~ = (g) W* = WA' pour x =°-

Par conséquent, pour des valeurs de .r' suffisamment petites, on aura

a étant une fonction de .r' qui doit être très petite et nulle en même temps que x', et (-) désignant ici la valeur de - qui répond à...

4*o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

En différentiant p fois par rapport à x' l'équation

ffY. = -A 4iZ /Y,,

j , ., „ rfï. „ rfm-5Y,

on verra de la même manière que Y,, -7— , •• • jusqua j-^t-tj- sont

nulles pour x' = o et que

rfm-'ïa /£\ rf—'Y, /*v . ,

d^ = K-s)l^=-> = Kg) 'A' P<>ur*=o,

doù l'on conclura

On trouvera de même

Y3=0(A+a3)r^^6), et en général ,

Toutes les quantités a, a,, a,. . . .a , fonctions de a?' pourront devenir plus petites que toute grandeur donnée, pourvu qu'on attribue à x' des valeurs suffisamment petites soit positives , soit négatives.

Supposons maintenant le nombre m pair et = in. Nous aurons en mettant dans la formule (35) les valeurs précédentes de Y, Y, , Y,. . .

u (£+*', t+0= (A-H«) — Ç- KA-M.) ë^r 5 (~)

' v '1.3.3. ..an v "' 1.3. 3. ..(an — i)\gJ

+<M-*-0 ^-T^xfe) +(A + ^rS~

Si l'on fait

et si l'on représente par Q le polynôme

1 .2.3. . . 2/1 ~ 1 .2.3. . .{in. — 2) x 1 1.2. 3... (ara — 4)Xi-2

la somme des termes affectés du coefficient A dans le développement précédent sera A /—j . Q; la somme des termes qui renferment

a, a,, a,. ..a, aura une valeur absolue plus petite que ( — J . £Q, €

étant un nombre qui surpasse toutes les quantités et, at. . ,an prises positivement, et qu'on pourra prendre aussi petit qu'on voudra, en donnant à x' des valeurs assez petites, pour que a , a, , aa. . . a„ soient encore moindres que Q.

En joignant à ces termes la partie â^'"4"*, on voit que la valeur précédente de 11 pourra se mettre sous cette forme

U (g + OC', T + t>) = (j)". A(Q + «).

g est une quantité positive ou négative, fonction de z et de 2', qu'on rendra aussi petite qu'on voudra , en prenant £' suffisamment petite et donnant d'ailleurs à 3 des valeurs finies, positives et négatives, qui ne soient pas tellement grandes que les vrleurs correspondantes

de x' ou de z y (— j sortent des limites que nous avons assignées à

cette variable x'. On pourra donc donner à z des valeurs d'autant plus grandes que t' sera plus petite. Nous désignerons par — a et -f- b les limites entre lesquelles .r' devra rester comprise pour que la quantité 1 soit moindre qu'une quantité donnée aussi petite qu'on voudra.

Cela posé, pour toutes les valeurs de z , le polynôme Q est constamment positif et plus grand que son dernier terme ^ , qui est luimême plus grand que f, qu'on peut diminuer à volonté. Donc pour toutes les valeurs de .r' comprises entre — a et -\-b, la fonction u{%-\-x' , r-f-«')

Décembre i836. 5:i

sera différente de zéro et de même signe que A , la quantité positive t' éiant très petite.

Supposons maintenant m impair et = 2/2 -f- 1. En substituant dans la série de Taylor (55) les valeurs de Y, Y,, Y,, . .Y„, on aura

u{Z+x', t + 0=(A+*) — S^-^-KM-*') ■ f""' A-)

' K ' 1.2.3. ..(2«+l) V ' ' 1.2.3. ..(2rt 1) \g/

Tl T i;i.2.3...(2n-3) 1.2 ^

Si l'on fait encore

6 y . •> 3 ^r.l,1~'~ . o /.,.,__.> VX . "T