J-l) 1.2 (2H— l)X • 1-2 3 ..(2/i 3)Xl
on aura
la quantité £ sera comme précédemment aussi petite qu'on voudra, pourvu que x' reste comprise entre des limites — a et + b suffisamment petites.
Cela posé , le polynôme Q est nul pour z = o, positif quand z est positive, et négatif quand s est négative. On voit d'ailleurs que la fonction «(£ + x', t -f- 1') a le même signe que AQ pour toute valeur finie de z qui n'est pas très petite, puisquealors Q surpasse e. Donc, Q changeant de sigue pour z = o, la fonction u(%-{-x', r-\-t') doit aussi changer de signe au moins une fois, tandis que x' varie entre les limites — a et -{- b. Je dis de plus qu'elle ne peut s évauouir qu'une
seule fois dans cet intervalle, parce que sa dérivée ~ ne s'évanouit
pas et conserve constamment le signe de A dans ce même intervalle. En effet, on a , d'après la formule (35) ,
PURES ET APPLIQUÉES. 4a3
dx — dx'^dx l ^ dx' ,.2^"- ' dx' |.J.J.MiTtfV ' ^
On trouve d'ailleurs
^v /■ » i /\ .r'"1-' dY1 /i\ , K . . af °,~3
5?=(A+a),.a,3...(>B--ô> ^tg=(y;(A+a:),.a.3...(M-3)»etc^
étant très petites et nulles eu même temps que x .
Substituant ces valeurs de -r-, , -7-7 . . . dans la formule précédente, remplaçant rapar 2n-\- 1 , et faisant ensuite
on trouvera
du /ki'\" , r z" c'°-î 1 , ~i
dx \g J |i-2.3...2rc i.2.3...(2n — 2J X ' i.2.3...n J
c étant comme € une quantité qu'on rendra aussi petite qu'on voudra en prenant t' et ce' suffisamment petites.
On voit par cette expression de -r-, que cette dérivée conserve constamment le signe de A quand x' varie entre les limites très petites — a et -\-b , et qu'ainsi la fonction u[^-\-x' , r-{-t') croît ou décroît continuellement dans cet intervalle; de sorte qu'elle s'y évanouit une seule fois en changeant de signe.
On peut encore démontrer ces propositions sans employer les développements précédents. Lorsque m est pair et =2«, on a Y„=(-Y A
pour x' = 0 , et les autres fonctions Y , Y, , Ya, . . . Y„, sont nulles pour x' = o. D'après les relations qui existent entre Y, Y,, . . . Y„, et leurs différentielles, il est aisé de voir que toutes ces fonctions Y, Y,,. . .Y„ sont différentes de zéro et de même signe que A pour des valeurs de x' suffisamment petites, soit positives,, >oit négatives; donc alors tous les termes de la formule de Taylor (55) qui renferment ces
fonctions sont de même signe que A et comme le dernier Y. — — =
surpasse Ht'"*1 , on voit que u(£-\-x', T-\-t') ne s'annulle pas et
conserve le signe de A dans l'intervalle suffisamment petit où l'on fait
varier x' .
Lorsque m = 2«+ i , Y, Y, . . .Y„ ont toutes le signe de A, quand •r est positive, et le signe contraire, quand x' est négative; d'où l'on conclut d'abord que la fonction u(%-\-x', r-{-t') change de signe dans le petit iutervalle où l'on fait varier x'. Mais elle ne peut s'éva-
nouir qu'une seule fois dans cet intervalle, parce que ~ ne s'y an-
du
nulle pas. En effet, —, étant exprimée par la formule (56), on trouve
dY dY, dY„
'ue 3?'*?' 5Z °nt
*r = \i) A P°ur x=°-
dY dY, dYn
<Iue j-p y -jp > -j^r ont constamment le signe de A et que
Considérons maintenant la fonction u{%-\-x', r — t'). En changeant dans les formules qui précèdent t' en — t' et faisant encore
on trouvera , si m est pair et = an ,
<£+.«', T — 0=(j)'.A.(P + €), (37) P désignant le polynôme (58)
zs— » . z'-i
