I.2.3...(2R — 2)Xl 1.2. 3... (271 — 4)Xl
Si m est pair et = 211 + 1 , on obtiendra
en posant (4°)
— i.2.3...(an+i) i.2.3...(2n-i)Xi i.2.3...(an— 3)Xi .2
1 X 1 . 2 . 3 ... « la quantité e remplit les mêmes conditions que dans le numéro précédent.
Nous allons montrer que le polynôme P (5g) ou (40) s'évanouit en
PURES ET APPLIQUÉES. 4a5
changeant de signe pour autant de valeurs de z qu'il y a d'unités dans son degré m qui est arc ou %n -f- i .
Il est à remarquer d'abord que quel que soit le degré m pair ou impair de ce polynôme, ses fonctions dérivées — , —, etc., peuvent se
déduire de P en y remplaçant successivement m par m — i , m — 2 , etc.
Si l'on divise P par ■— , ou trouve la partie entière du quotient égale
a — z et le reste égal a . — , de sorte qu on a identiquement
dz
dz
m? = z Tz - 2dF- (40
En différentiant cette équation par rapport à z , on en conclura
, . dP d'P d3P\
('"- l^Tz =zdF-aô
. . d*V rf3P dW*
Enfin l'on a
etc.
tf-P
dim
On peut aussi déduire ces équations de la première
p dP d'P
dz dz"
sans la différentiel-, puisque cette équation a lieu, quel que soit le
degré m, et que si dans l'expression de P on change successivement
„ , dP d'P „
m en m — i , m — 2, etc., r se change en -r- , -r— . . - , comme on 1 a
observé tout à l'heure.
Les fonctious P, -y , -, — , -rr .... ; — étant liées entre elles par les
' dz ' dz2 ' dz' ' tfc'" r
équations (40 > deux fonctions consécutives de cette suite ne peuvent pas s'évanouir pour une même valeur de z; car ces équations (4i) font voir qu'une valeur de z qui annullerait deux fonctions consécutives réduirait aussi à zéro toutes les autres jusqu'à -j-^ inclusive-
2t, JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
ment, ce qui ne peut être, puisque^ est égale à -f- i. Il suit de là
que lequation P = o n'a pas de racines égales.
De plus, les équations (40 montrent que pour toute valeur de z
, , , . , rfP rfaP
qui annulle 1 une quelconque des fonctions dérivées ^r » ^rr> etc., les
deux fonctions adjacentes ont des valeurs de signes cent rai res : on en conclut d'après uo théorème connu que l'équation P= o a ses m racines à la fois réelles et inégales. On peut tirer la même conclusion du théorème de Fourier et aussi de celui que j'ai donné pour la résolution des équations numériques, en ayant égard, dans leur application,
aux relations (40-
Le polynôme P s'évanouit donc et change de signe pour des valeurs finies de s en nombre égal à son degré m ; l'une de ces racines est zéro quand m est impair, les autres racines sont deux à deux égales et de signes contraires , quel que soit m. Toutes ces racines sont comprises entre — m et ■+- m , car en faisant ; = mou> m, on voit que chaque terme positif de P surpasse le terme négatif qui le suit immédiatement.
Puisque P change de signe m fois, on peut donner à z, m + ï valeurs (entre — m et -f- m) , pour lesquelles P aura des valeurs alternativement positives et négatives, qui d'ailleurs surpasseront les valeurs correspondantes de « , attendu qu'on peut rendre g moindre que toute quantité donnée, en prenante etx' suffisamment petites.
Il résulte de là que la fonction u (%+x', r — t') exprimée par l'une des formules (5y), (5g) change de signe au moins autant de fois que P, c'est-à-dire m fois , tandis que x' croît depuis — a jusqu'à -j- b.
Je dis de plus que cette fonction ne peut s'évanouir plus de m fois dans cet intervalle. En effet, si elle s'évanouissait /rc-f-i fois, sa dérivée pre-
mière — (£ + •*"'> t — t') changerait de signe au moins m fois dans dx Kh
cet intervalle , donc sa dérivée seconde ~ changerait de signe au
moins m ï fois, puis -r-^ en changerait au moins ;?/ — 2 fois, et ainsi
de suite; de sorte qu'enfin ~j^m (jf + x', r— t') changerait de signe au
moins une fois dans le même intervalle. Or c'est ce qui ne peut arriver, si l'on prend cet intervalle suffisamment petit, aussi bien que t' ; car
en diminuant)!', ~ (f> + oc' , t — t') diffère aussi peu qu'on veut de
dy^ (% + x', t) pour une même valeur de x', et cette dernière fonction
ne s'annulle pas et conserve le signe de A dans l'intervalle dont il s'agit, si on le prend suffisamment petit.
Les m valeurs consécutives de z ou de x' qui annulent
UŒ -\-oc' , t — t'), en comprennent d'autres qui annulent -r-„ ainsi — . 1 ' dx dx
doit s'évanouir m — 1 fois, ni plus ni moins, tandis que x' croit depuis — a jusqu'à -\-b, on en conclut que -ry ne peut pas être nulle
en même temps que u, et que u n'a point de valeurs miuima dans
cet intervalle.
En résumé, si la fonction u et plusieurs de ses dérivées suc-
du d'u . „ dm~'u „
cessives-r-, -7-, jusqua „,, sont nulles pour t =. r et x = Ç, en
prenant la quantité positive t' assez petite et faisant varier x dans un intervalle suffisamment petit renfermant la valeur 0, la fonction u(x, t -f- t') ne s'évanouira pas dans ce petit intervalle, si m est pair, et s'y évanouira une seule fois en changeant de signe sizraest impair; mais la fonction u(x , r — t') s'évanouira et changera de signe précisément m fois dans le même intervalle, quel que soit m, la dérivée
du . -
-r— ; ne s évanouira pas eu même temps que u.
11 en sera de même pour chacune des valeurs de x , telle» que £ comprises entre x et X , qui annulleront la fonction u (x , r).
Les petits intervalles qui renfermeront ces différentes yaleurs de x et qui jouiront des propriétés précédentes seront séparés les uns des autres, ou de l'une des extrémités de la barre par d'autres intervalles plus ou moins grands, dans lesquels la fonction u (x , t) ne s'annullera pas; dans ces derniers, les fonctions u(x, r — t') et u{x, x-\-t') ne s'annulleront pas non plus, si t' est suffisamment petite, puisqu'alors elles diffèrent aussi peu qu'on veut àeu{x, r), qui n'est pas nulle.
4aS JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction u(x, t) n'était nulle ni pour x=x ni pour .r = X. Examinons maintenant le cas où elle serait nulle à l'une de ces limites.
Si u (x; t) est nulle pour .r:=x, ;j-(x, t) est nulle en même temps, à cause de l'équation k — — hu=o qui a lieu pour x=s ,
quel que soit t. Si -j-i n'est pas nulle aussi, on a déjà vu au n° XX,
qu'en faisant croitre x depuis x jusqu'à une valeur un peu plus grande que x, la fonction u[x, r -\- t') ne s'évanouit pas et a le même signe
que j-j(x, t) et que u(x , t — t') s'évanouit en changeant de si-
gue une seule fois dans ce petit intervalle, sa dérivée -j-{x> T — O ne pouvant pas y être nulle.
Mais il peut arriver que plusieurs dérivées consécutives -7- ,
jusqu'à y-^=, soient nulles en même temps que u pour x=x et
t = t. On va voir qu'alors la première dérivée -3-^ qui n'est pas
nulle est d'un ordre pair.
Faisons t = r-f- t' et x = x -f- x', et désignons, comme précédemment par Y„ ce que devient la fonction -^ ou -7-^ quand on fait
t = r ou t' = o. On a vu n° XXI que cette fonction Y„ est nulle pour x' =0, si 271 est < m. En outre , on a en général, quel que soit 11, pourvu que m — in soit positif,
1û^ = (i) A P°ur * = °»
de zéro.
Dodc , si l'on suppose le nombre m impair et = in + 1 , on aura
Y. = o et -£ = (-) .A pour x = o.
Ainsi Y„=o sera nulle pour x' = o et ^-? ne le sera pas. Or, au
contraire, il résulte de lequation k -3 hu = o qui a lieu pour
x = x, quel que soit £, que Y„ ne peut pas être nulle sans que -^ le soit en même temps. En effet, cette équation revient à la suivante :
k -r-, — hu = o pour x' = o,
qui différentiée n fois, par rapport à t', donne
, \dl*J , dt " 1
k —-; — - — h jr- = o pour x' = o.
dx' d*u r
t' étant quelconque.
En faisant dans cette dernière t' = o, on aura donc
k -—■ — h\m = o pour x' = o.
On ne peut donc pas avoir en même temps Y„ = o et -=-7 =(-) A ,
ce qui résulterait de l'hypothèse de m= 2«+ 1.
Ainsi m ne peut être qu'un nombre pair m ; alors Y„ est égale à
(-) A pour x' = o.
Cela posé , on conclut de ce qui a été démontré dans les n08 XXI et XXII, qu'en prenant la quantité positive t' suffisamment petite et faisant croître x depuis la limite x jusqu'à une valeur un peu plus grande que x, la fonction u(x, r-\-t') ne s'évanouira pas et que u{x, r — t') s'évanouira n fois en changeant de signe. Au-delà de ce petit intervalle } ces deux fonctions ne s'évanouiront pas, jusqu'à ce que x en croissant atteigne un autre petit intervalle comprenant la valeur 0 la plus voisine de x qui annulle u (x, t).
Décembre i836. 55
43o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
On arriverait à une conclusion semblable, si u et plusieurs de ses du d 'u dx' dx-
dérivées successives -=- , -r— . . . . étaient nulles à la fois pour t= t
et x = X.
De tout ce qui précède \ résulte l'énoncé suivant : Concevons que t croisse par degrés insensibles, à partir d'une valeur quelconque. Aussi long-temps que pour des valeurs croissantes de t,
la fonction u(x , i) et sa dérivée -r- ne s'évanouiront pas simultanément pour quelque valeur de x comprise entre les limites x et X, et que u(x, t) ne deviendra pas nulle à l'une de ces limites , cette fonction u [x , t) s'évanouira toujours le même nombre de fois entre ces limites , en changeant de signe chaque fois. Quand t dépassera une valeur t telle que u(x , t) et quelques-unes de ses dérivées successives -j- , -r~;,... jusqu'à m, deviendront nulles à la fois pour
une valeur £ de x comprise entre x et X, la fonction u(x , t) perdra, si m est pair, un nombre m de changements de signe ou de valeurs nulles qu'elle possédait avant que t atteignît cette valeur t et qui répondaient à des valeurs de x très voisines de £; mais si m est impair, elle en perdra m — i , de sorte qu'elle ne s'évanouira plus qu'une seule
lois en changeant de signe près de la valeur ?, et -z- ne sera pas nulle en
même temps. Il en sera de même pour toute autre valeur de x comprise entre x et X qui annullera à la fois u (x , t) et quelques-unes
â, . . , du d**.
e ses dérivées — . -— . . . .
dx ' dx'
Quand u deviendra nulle pour t =r à l'une des limites x , X , — s'évanouira en même temps . et s'il arrive que d'autres dérivées suc-
cessives -r— , -t-j ,... sannullent aussi, la première qui ne s évanouira passera d'un ordre pair 2.11. Alors un peu avant que t atteigne la valeur r , u s'évanouit en changeant de signe n fois près de la limite pour laquelle u(x , t) est nulle , et quand t croît au-delà de t, u cesse de s'évanouir en cet endroit.
Si t continue à croître , le nombre des valeurs nulles ou des changements de signe de u(x, t) diminuera toujours de la même manière, chaque fois que u deviendra nulle à l'une des limites x , X , ou que u et quelques-unes de ses dérivées consécutives s'évanouiront simultanément entre ces limites.
Il est aisé de voir, en modifiant légèrement l'analyse précédente, que la fonction u(x , t) jouirait encore des mêmes propriétés, lors même que g , k, l dans l'équation ( i ) seraient des fonctions des deux variables x et t, et que h et H dans les équations (2) et (3) seraient aussi des fonctions de t, toutes ces fonctions étant assujetties à la condition d'être constamment positives.
Si l'équation (2) se réduisait à u= o pour x = x, on aurait encore les mêmes propositions , en ne tenant compte que des autres valeurs de x plus grandes que x qui annulleraient la fonction u.
De même, on n'aura pas égard dans l'énoncé à la valeur X, si l'équation (3) se réduit à« = u pour xz=~K..
Dans tout ce qui précède, la variable t peut être négative aussi bien que positive, en supposant u égale à une fonction arbitraire de x pour tz=o, ou pour une valeur donnée de t.
Ces propositions pourraient ne plus subsister, si quelques-unes des quantités que nous avons considérées dans notre analyse pouvaient devenir infinies pour certaines valeurs de x qui annulleraient la fonction u (x, t).
On satisfait aux trois équations (1), (2) et (5), en posant
u = Ç.V, e-f 4- Ci+,\t+, e-f+.« -j- . . .+ C,V,«-M. {$)
C(> Q-t-i y-'C,, étant des constantes arbitraires.
Cette fonction u (42) jouit donc des propriétés qui viennent d'être énoncées. Il est aisé de voir combien de fois elle s'évanouit, quand on donne à t de très grandes valeurs positives ou négatives. Si l'on donne à t une valeur positive très grande, u devient sensiblement proportionnelle à son premier terme CjV.e-f'', quand V, n'est pas nulle, car les rapports des autres termes à celui-ci sont d'autant plus petits que la valeur de t est plus grande, comme on le voit en écrivant cette
fonction de la manière suivante :
u '== e-f'[C(V, + Q+,Vf+1 e-(f.-+.-f.O» +. . .Crype-(fp-t'-t'].
Or, la fonction V, sevaaouit et change de signe i — i fois entre les li-
mites x et X sans que la dérivée — ' s'annulle en même temps. Donc,
t ayant une valeur positive très grande ou infinie, f/doit aussi s'évanouir et changer de signe / — i fois entre x et X pour des valeurs de
x très peu différentes de celles qui anuullent V( et — ne s'annul-
lera pas en même temps que u. Cette proposition peut être établie plus rigoureusement comme i! suit:
Soit 0 l'une des valeurs de x entre x et X pour lesquelles Yt s'an-
nulle. Comme -j± n'est jamais nulle en même temps que V,, on peut
donner à x une valeur a plus petite que £ et une valeur b plus grande que £ telles que pour toutes les valeurs de x comprises entre
a et b, -t- ait constamment le même signe qu'elle a pour x = %.
Alors Vj croîtra ou décroîtra continuellement dans cet intervalle et n'y devieudra nulle que pour x=£. Or, on a
- = e-,< (Q~ + C,+1 -f- r^'+ etc.),
dV et le terme C, ~ qui n'est pas nul dans l'intervalle de a à b surpasse la somme de tous les termes suivants qui deviennent plus petits que toute quantité donnée , quand on donne à t une valeur positive suffisamment grand?.
Donc , -r a dans le même intervalle le signe constant de C -7-^.
' dx n • <£r
Mais pour x = a comme pour x = b , u a le même signe que le lerme C,Vj qui n'est pas nul et qui surpasse la somme de tous les termes suivants!} quand la valeur de t est suffisamment grande. Donc u a comme Vf deux valeurs de signes contraires pour x=.a et pour x=b,
et puisque -r- ne change pas de sign» entre a et b , on voit que u
Vévanouit et change de signe uue seule fois dans cet intervalle.
De même u s'évanouit une seule fois dans chacun des petits intervalles semblables qui comprennent les autres valeurs de x pour lesquelles V| est nulle. Hors de ces intervalles , V, n'étant pas nulle, u ne le sera pas et aura le même signe que C/Vj , pourvu que la valeur de t soit assez grande pour que ce terme qui n'est pas nul surpasse la somme de tous les autres.
On verra de même qu'en donnant à t une valeur négative très grande, u s'évanouira et changera de signe p — i fois pour des valeurs de x comprises entre x et X très peu différentes de celles qui anuui-
lent la fonction Vp, -j- ne s'annullera pas en même temps que u.
Si l'on fait t = o, u devient
y = ci\t-h ei;,vl+I +....+ c,v,.
Cette Jonction Y doit changer de signe entre les limites x e£ X au inoins i — i fois. En effet, d'après les numéros précédents, lorsque t croit depuis o jusqu'à -f-cc , le nombre des changements de signe de la fonction u(x , t) entre les limites x et X ne peut que diminuer ou lester le même; donc ce nombre , étant i — i quand £ = -f-x , doit être supérieur ou au moins égal à i — i quand t = o. Ainsi Y change de signe au moins i — i fois pour i — i valeurs de x différentes comprises entre x et X; il peut arriver d'ailleurs que quelqu'une de ces i — i valeurs annulle un nombre pair de dérivées consécutives
dY d'Y ». 17 t* 17 , .
-j- > -y--. >■ ■ ■ en même temps que i. Ln outre Y peut encore s évanouir sans changer de signe pour d'autres valeurs de x comprises entre x et X et aussi être nulle à ces deux limites ou à l'une d'elles. iNous supposons ici qu'aucune des équations (2), (3j ne se réduit à V==o pour x=x ou x = X.
On voit de même que le nombre des valeurs de x , depuis x jusqu'à X , qui annullent la fonction Y, ne peut surpasser p — 1 , en comptant x ou X parmi ces valeurs, si Y est nulle à l'une de ces limites. En effet, quand t = — x , u s'évanouit et change de signe p — 1 fois pour p — 1 valeurs de x comprises entre x et X infiniment peu différentes de celles qui annullent Y? : et quand /croit depuis — ao jus-
qu'à o, le nombre des valeurs nulles de u(x, t) correspondantes à des valeurs de x comprises entre x et X, ou même égales aces limites, ne peut que diminuer ou rester le même. Donc ce nombre est au plus p — i pour u {x , o) ou Y.
On peut même prouver que le nombre des valeurs différentes de x qui annullent Y doit être plus petit que p — i, si x ou X est l'une de ces valeurs ou si parmi celles qui sont comprises entre x et X il s'en trouve qui
annullent à la fois Y et — ou Y et plusieurs dérivées consécutives-^ d'Y
dx- '
En effet, supposons que la valeur £ comprise entre x et X annuité
à la fois Y et les dérivées -j- , -1— . . . jusqu'à - inclusivement. Si
dx ' dx* J i dxm~'
l'on donne à t une valeur négative très petite — t', on vient de voir que la fonction u(x , — t') s'évanouira pour un nombre de valeurs de x au plus égal hp — i , en comprenant parmi ces valeurs x ou X , si elle est nulle à l'une de ces limites. Or à la valeur £ qui annulle Y ou u(x, o)et ses dérivées, jusqu'à celle de l'ordre m — i , correspondent m valeurs de * très peu différentes de £ qui annullent u'x, — t' , comme on l'a prouvé dans les numéros précédents. Ainsi quand t passe de — t! à o, m valeurs qui annullent a(x, — t') deviennent toutes à la fois égales à la valeur £ qui annulle Y. D'ailleurs à chacune des autres valeurs de x qui annullent Y correspond toujours au moins une valeur qui annulle u{x, — t') différente des m valeurs très voisines de £, dont il vient d'être question. Donc le nombre total des racines x de l'équation u(x, — t') = o depuis x jusqu'à X, étant au plus/? — i , on voit que le nombre des racines x de V équation Y = o , depuis x jusqu'à X, est aussi au plus p — i , en comptant chaque valeur de x telle que % comprise entre x et X qui anmdle à la fois Y et
quelques-unes de ses dérivées consécutives -r- , — -%}... pour autant de
racines égales entre elles qu'il j a d'unités dans l'ordre de la première dérivée que cette valeur % n annulle pas. Quand aux autres valeurs
de x qui annullent Y sans annuller en même temps -=- , ce sont lesra-
dites simples de l'équation Y = o; chacune d'elles ne doit être comptée qu'une seule fois.
Le degré de multiplicité d'une racine de l'équation Y == o , tel que nous venons de le définir , a , comme on voit, la même expression que dans les équations algébriques ordinaires, puisqu'il
est égal au nombre des fonctions consécutives Y, —, j~t,- ■ • que
cette racine annulle à la fois.
Cette définition des racines égales de l'équation Y = o ne convient toutefois qu'aux valeurs de x > x et < X. En supposant que l'équation (2) ne se réduise pas à V== o pour x = x, si l'on a Y = o pour x = x , on a vu que cette valeur de x doit an-
11 « <*Y , . . * , \ , . , dt
nuller en même temps -r- ou un nombre impair de dérivées -r- 1
-j-j-,... La première de ces dérivées, qui n'est pas nulle pour
x = x étant alors d'un ordre pair in , je dis que le nombre des racines x de l'équation Y = o sera encore au plus e'gal à p — 1 , en comptant la racine x pour n racines égales entre elles; de sorte que le degré de multiplicité de cette racine x n'est que la moitié de l'ordre in de la première dérivée qui n'est pas nulle pour x = x. La raison en est qu'à cette valeur x qui annulle Y ou u (x . o) correspondent n valeurs un peu plus grandes que x qui annullent u(x, — t'); et comme le nombre total des valeurs de x qui annullent u(x , — t') est au plus p — 1, il s'ensuit que le nombre des racines x de l'équation Y = o sera toujours au plus égal à p — 1 , en comptant la valeur x pour n racines égales entre elles.
En supposant que l'équation (5) ne se réduise pas à Y — o pour x = X, si l'on a Y = o pour x =s= X, on estimera de la même manière le degré de multiplicité de la racine X.
En admettant ces conventions , le nombre des racines x de l'équation Y = o, x variant depuis x jusqu'à X, ne surpassera jamais p — 1 .
dV Si l'équation (2) k -j hV = o pour x = x se réduisait àV = o
pour x = x, on aurait aussi Y = o pour x = x et en général
u (x , t) = o pour x = x. Il est aisé de voir que, dans ce cas, notre théorème subsisterait toujours en ne comptant pas la valeur x parmi les racines de l'équation Y = o, mais en comptant X pour une racine simple ou pour plusieurs racines égales, comme on l'a expliqué plus haut, si l'on a Y = o pour x = X, et si l'équation (3) ne se réduit pas à V = o pour x = X.
De même, si l'équation (3) est V=o pour x=\, et que 1 équation (2) ne soit pas V = o pour x= x, le théorème aura lieu en ne comptant pas la racine X , mais en comptant x quand on aura Y = o pour x = x.
Enfin, si les deux équations (2) et (5) se réduisent à la fois à Y = o pour x = x et x = X, auquel cas on a aussi Y = o pour x = x et x = X, le même théorème aura lieu en faisant abstraction des deux racines x et X; parce que \p s'annulle encore p — 1 fois entre ces limites.
M. Liouville a démontré directement le théorème du numéro précédent (dans le cahier d'août de son journal ) sans employer la considération de la variable auxiliaire t qui entre dans la fonction u{/^i) dont j'ai fait usage. Il n'a pas tenu compte toutefois de la racine x ou X lorsqu'elle existe. Je vais donner ici une autre démonstration directe du même théorème, indépendante de celui du n° XXIV.
Soit
On;
J +(gf. -/)V, = 0,
dx
dx etc.
h(gp,+i — /)VJ+, = o,
En multipliant ces équations par C, , C,+1. . .C,, ajoutant et posant Y, = (C^V, + Q+1fl+,V(+1 +. . .+ C,r,Y,) ,
ou
On voit par l'expression même de la fonction Y (43) qu'elle satisfait aux deux équations
k j- — hY = o pour x = x ,
dx dY dx
k -7 — {- HY = o pour x = X,
puisque chacun de ses termes satisfait se'parément aux deux équations (2) et (3).
Je vais prouver que si l'équation Y = o a un certain nombre \x de racines x tant égales qu'inégales, plus grandes que x et plus petites que X, les racines égales étant définies comme dans le numéro précédent, l'équation Y,=o aura au moins ,& racines tant égales qu'inégales, comprises entre les mêmes limites x et X.
Soit Ç une valeur de x > x et < X pour laquelle Y s'annulle et change de signe. Supposons que cette valeur j» ne soit ni la plus petite ni la plus grande de celles qui annullent Y., Il y aura entre £ et la valeur de x immédiatement inférieure à £ qui annulle Y au moins
une valeur a qui rendra Y maximum, et pour laquelle -3- sera nulle ,
et -7-J- aura une signe contraire à celui de Y ou sera nulle. L'équation (44) fait voir que pour x = a, et pour les valeurs de x un peu plus grandes que a, la fonction Y, sera différente
de zéro et aura le même signe que -j-y ou un signe contraire a celui
de la valeur maximum de Y dont il s'agit (quand même la fonction l serait nulle pour x = a ou nulle identiquement). De même entre £ et la valeur de x immédiatement supérieure à g qui annulle Y, il y aura au moins une valeur b qui rendra Y maximum et pour laquelle
Décembre iS36. ■*"
-j- sera nulle et -r—, aura un signe contraire à celui de Y ou sera
nulle. D'après l'équation (44) Y, aura encore pour ,r=6 un signe contraire à celui de cette valeur maximum de Y. Mais les deux valeurs maxima de Y pour x = a et x=b, sont de signes contraires, puique par hypothèse Y change de signe en s'évanouissant pour x = £. Donc Y, a deux valeurs de signes contraires pour x = a et x = b , et par conséquent Y, change de sigue au moins une fois , tandis que x croit depuis a jusqu'à b.
Cette conclusion subsiste, quand la valeur de x immédiatement inférieure ou supérieure à £ qui annulle Y est x ou X.
Si £ est la plus petite racine de l'équation Y = o, Y n'étant pas alors nulle pour x = x , il existe entre x et £ au moins une valeur de x qui
rend Y maximum. Car à cause de l'équation k-. AY = o qui a lieu
pour x = x, Y et — ont d'abord le même signe pour j? = x et pour les valeurs de x un peu plus grandes que x ; donc, x croissant à partir de x, la fonction Y ne peut pas s'évanouir avant que —
change de sigue et prenne un signe contraire à celui de Y. Donc Y doit atteindre une valeur maximum avant de s'aunuller la première lois pour ,r = £. Ce maximum pourrait avoir lieu pour .r = x, si la constante h était nulle. Entre la valeur de x correspondante à ce maximum et celle immédiatement supérieure à £ qui répond à un autre maximum de Y , il y aura au moins une valeur de x pour laquelle Y, s'évanouira et chaugera de sigue, puisque d'après l'équation (44) > Y, a toujours un signe contraire à celui de Y, chaque fois que Y devient maximum, et que les deux maxima dont il vient d'être question sont de signes contraires.
On verra de même que si £ est la plus grande valeur de x qui an-
//V nulle Y, il y a , à cause de l'équation k - — r-HY=o pour a: = X, au
moins une valeur de x comprise entre £ et X qui rend Y maximum ; elle peut être égale à X, si H est nulle. Pour cette valeur et pour celle immédiatement inférieure à Ç, qui donne un autre maximum de Y, Y, a deux valeurs de signes contraires , de sorte que Y, change de signe au moins une fois dans cet intervalle.
Si £est la seule valeur de x qui annulle Y, cette fonction a encore au moins un maximum dans l'intervalle de x à g et un autre dans l'intervalle de j» à X, d'où il suit que Y, change de signe dans l'intervalle compris entre ces deux maxima.
On peut déjà conclure de ce qui précède que Y, doit changer de signe au moins autant de fois que Y entre les limites x et X , Y étant ou n'étant pas nulle à chacune de ces limites.
Supposons maintenant que la valeur £ toujours comprise entre x et X soit une racine multiple de l'ordre m de l'équation Y= o, c'està-dire qu'elle annulle à la fois les m fonctions consécutives Y, -7-. . .
jusqu'à m, . En désignant par A la valeur de -—^ pour x = £ et
dmY dmY faisant x = £ -f- x', on aura -=-- ou -— - = A -f- am, a.m étant une ^ dx dx
fonction de x' qui deviendra très petite et nulle en même temps
que x'. Puis par une suite d'intégrations , il viendra
dn~'Y dm~'Y /» , \ < dm~''Y .. . x''
dx ■ ' dxm ' v irai/ dxm • v '1.2'
....^ = (A + a,) fi^ -, Y = (A+«) — 4- — ,
<fx x ' i' 1.2. 3... (m — 1) v ' > 1.2. 3. ..m'
les quantités «„,. • . a,, a étant comme aB très petites et nulles en
même temps que x'.
En mettant les valeurs de Y, -j- et -y-- dans l'équation (44^ on voit
A.r'm— '■ que Y, est égale au produit de ^ . par une fonction de x'
qui approche d'autant plus d'être égale à -que x' est plus petite.
Par conséquent , si ? est une racine double^e Y = o, £ n'est pas racine deY/= o, ce qu'on voit d'ailleurs immédiatement à l'inspection de l'équation (44)- Si m est > 2 , £ est racine de l'équation Y, = o , et s'y trouve m — 2 fois; car en supposant qu'elle s'y trouve un nombre s
jy Jt — , y
de fois, c'est-à-dire qu'elle annulle les s fonctions Y, -3-^ ... - ' •
dx dx'~ '
Y. est égale au produit de ^ par une fonction de x' qui
44o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
ne devient pas très petite ,et nulle en même temps que x1 ; s est donc = m — 2.
L'expression de Y, en fonction de x' fait voir aussi que pour une valeur £ + x1 un peu plus grande que § , Y, doit avoir le même
signe que -r— et par conséquent le même signe que Y attendu que pour x = £ -f- x' toutes les fonctions Y , -7-, . . . -— ont le signe de A,
x' étant positive et suffisamment petite. Or x croissant au-delà de ? doit toujours atteindre une valeur (plus petite que X ou égale àX), pour laquelle Y est maximum et Y, a un signe contraire à celui de Y, qui n'a pas changé de signe en passant de zéro à ce maximum. Donc Y, change de signe au moins une fois dans le même intervalle. On verra de même que Y7 doit changer de signe au moins une fois dans l'intervalle compris entre la racine £ et la valeur de x immédiatement inférieure à £ (supérieure ou égale à x) qui rend Y maximum.
Il est donc prouvé que si l'équation Y = o a m racines égales à £, ç étant comprise entre x et X, l'équation Y, = o aura m — 2 racines égales à Ç, et en outre deux autres racines pour lesquelles Y, changera de signe, l'une comprise entre £ et la valeur de x immédiatement supérieure à £ qui rend Y maximum , l'autre entre £ et la valeur de x immédiatement inférieure à ç qui rend Y maximum.
On conclut de ce qui précède, que si l'équation Y = o a (t racines tant égales qu'inégales comprises entre x et X, l'équation Y, = o aura aussi au moins fx. racines tant égales qu'inégales entre les mêmes limites, et renfermées entre les valeurs de x qui répondent à des valeurs maxima de Y, alternativement positives et négatives. Ce théorème a lieu, com ne on voit, en faisant abstraction de la racine x ou X que chacune des équations Y = o, Y, = o pourrait avoir.
On peut aussi compreiidre dans l'énoncé de ce théorème, la racine x ou X que peut avoir Y = o, en la comptant pour autant de racines égales entre elles qu'il y a d'unités dans la moitié du nombre
. . , . „ dY d'Y rfm~'Y , „ „
des fonctions consécutives Y, -y- , -j-r . . . , „, quelle annuité, ce • dx dx* dxm ' n '
nombre m étant nécessairemeut pair. En effet, si l'on a Y = o pour x = x , on aura en même temps
d* i j i" ■ , dY lXJ . ,.
^ = oa cause de 1 équation k -j^ — h i = o qui a lieu pour x = x.
jjy
Si ^r n'est pas nulle en même temps, Y, d'après l'équation (44) ne sera pas nulle pour x = x et aura le signe de j^. Entre x et la valeur
de x immédiatement supérieure à x qui rend Y maximum il y en aura au moins une pour laquelle Y/ changera de signe , comme on l'a vu plus haut. Ainsi en comptant x pour une racine simple de Y = o, l'équation Y, = o a au moins une racine correspondante plus grande que x.
Si la valeur x annulle les m fonctions consécutives Y, — ....
' dx
Jm — lV
■5C5£T> ^e nombre m est pair. En effet , si l'on fait x = x + £', la fonction Yy ou — (Clp,Vi+ C,+,pi+1Vj+1 -f-. . . -f- C,p,V,) sera, d'après ce qu'on a vu plus haut , divisible par x'm~ % c'est-à-dire égale au produit de x'm~ * multiplié par uue fonction de x' qui ne sera ni nulle ni infinie pour x' = o. Pareillement , si l'on multiplie les différents
termes de Y, par p,, fl+, , etc., la nouvelle fonction
C,-fi""V"i+. . .+Cpp'pVp sera divisible par x'm~i , et en continuant ainsi on trouvera que la fonction C; p"V, -f- . . . + CpPpV? est divisible par*-' — *".
Donc , si le nombre m est pair et = in , cette dernière fonction Y. ne s'évanouira pas pour x'= o. Si l'on suppose m impair et =2« -f- i,
Y„ sera divisible par x'. Or on a l'équation k -r-r — AYa=opourj:'=o
Donc -j-? serait nulle pour x' = o en même temps que Y., et il s'ensuivrait que Y„ serait divisible par une puissance de x' supérieure à la première, ce qui est contraire à ce que nous venons de trouver. Il est donc impossible que m soit un nombre impair m + i.
En supposant m = zn, Y, est divisible par x'*"~* et par conséquent
la racine x annulle à la fois les in — i fonctions consécutives Y, — '. . .
-r-^zrr> et d'ailleurs entre x et la valeur de x immédiatement supérieure à x qui rend Y maximum , il y a au moins une racine de Y/ = o.
Donc si l'on convient de compter la valeur x qui annulle les 2n fonctions Y-j-, . . , pour n racines égales entre elles de l'équation
Y = o , l'équation Y, = o aura , selon la même convention , ti — i racines égales à x , et de plus une racine comprise entre x et la valeur de x immédiatement supérieure qui rend Y maximum.
Les mêmes observations s'appliquent à l'autre limite X.
Nous avons donc démontré que si l'équation Y = o ou CV,-f- . . . -f- C,,V, = oaun certain nombre fJt. de racines j? tant égales qu'inégales depuis x jusqu à X, sans exclure ces limites mêmes, l'équation Y, =o ou C, f; V; +...-)- Cpçp\r = o aura aussi au moins u. racines tant égales qu'inégales, depuis x jusqu'à X, les racines égales étant définies comme nous l'avons dit précédemment.
En conséquence, il y aura aussi à fortiori au moins p racines, soit inégales, soit égales, dans chacune des équations suivantes qui dérivent les unes des autres comme Y, dérive de Y.
GrïV, +....+ c>;v, = o,
Clfrv\-4-....-r-C^V, = 0,
Ctf^Ti + ....+ Cpf;\p= o.
Ou peut même ajouter, d'après ce qu'on a vu plus haut, que chacune de ces fonctions change de signe entre les limites x et X, au moins autant de fois que la première QV, +...-+- CpV,, en faisant abstraction de la multiplicité des racines et de celles qui sont égales à x ou àX.
La dernière équation pouvant s'écrire ainsi
se réduit à très peu près à V, = o quand on suppose le nombre n très »rand ou infini, et alors elle a p — i racines inégales, comprises entre x et X ; ce qu'on peut au surplus établir plus rigoureusement par le raisonnement déjà employé au commencement du n" XXIV.
Donc on a f* <. p — l ou au plus égal à p — i ; ce qu'il fallait démontrer.
On peut prouver par la même méthode que l'équation. . . C.V.-+-. • .-\-Cp\p = o a au moins i — i racines différentes comprises entre x etX. et pour lesquelles la fonction C,V,+ etc. . .-\-CF\p change de signe.
En effet, on a vu tout- à-1'heure que la fonction
c.frv,. + ....-f-cpPpnvp
a au moins autant de changements de signe entre x et X que
On en conclut, en remplaçant C, par -~ , C,+, par -^- f etc. que
a au moins entre x et X autant de changements de signe que la fonction
p: fv
qui en a i — i lorsqu'on fait n infini, puisqu'alors elle est proportionnelle à ¥,(*).
Les fonctions Y , Y, . . .Y., dont je viens de m'occuper ne sont autre chose que la fonction u (l\i) et ses dérivées -g . . . t^où l'on fait t=o. Au lieu de Y et Y, , j'aurais pu aussi bien considérer la fonction u(x, t) et sa dérivée -r- définies par les équations (i), (2), (3),
et prouver à l'aide de ces équations , que l'équation — - = o , a au moins autant de racines x tant égales qu'inégales depuis x jus-
(*) J'ai admis dans ces derniers n01 qu'une fonction Y de la forme C; Vi -f- Cj+I Vj+, -+- • • • + CpVp ne peut pas être identiquement nulle pour toute valeur de x comprise entre x et X , quand les coefficients C;C1+I. . .Cp ne sont pas tous nuls. On reconnaît aise'ment cette propriété' en observant qu'on a
f* gVi Ydx = Qif.^lfïdç + Ci+,y^érVi V,+1dr + . . +Cpf\Vi V,rfr, ou simplement
/ gV, Ydx = C, / gVfdx, d'où il résulte que Y ne peut pas être identiquement nulle.
qu'à X que l'équation u (x , f) = o, d'où j'aurais conclu le théorème relatif à C,V, -+-••• + CPVP = o.
Ce théorème a lieu, comme on l'a déjà vu dans la démonstration du n° XXIV, quand même la fonction / ne serait pas constamment positive entre les limites x et X. Il est aisé d'étendre à ce cas où / est quelconque, la démonstration que je viens de donner dans ce dernier numéro , en la modifiant de la manière suivante.
Ayant désigné par Y la fonction C,V/ +Ci^.,Vj+1 + . . . + C,V, , je prends
Y, = - [C,V,(f, -f- c) H- C,+ IV, (ft+, + c)+ . . . -f C,V,(f, + c)], c étant une constante arbitraire. J'ai alors au lieu de l'équation (44)> la suivante gY, = A" g + ^ g - (gc + /) Y.
Au moyen de cette équation, en prenant la constante c positive et assez grande pour que la fonction gc -f- 1 reste positive entre les limites x et X, je prouve comme précédemment, que si l'équation ¥ = oa/t racines x tant égales qu'inégales depuis x jusqu'à X, sans exclure ces limites mêmes , l'équation Y, = o doit avoir aussi au moins /a racines égales ou inégales depuis x jusqu'à X, ce qui suffit pour établir le théorème eu question.
Il faut ajouter ici les remarques qui terminent le n° XXIV (*).
L'équation (44) fait voir d'ailleurs que si Y était constamment nulle , entre 1rs limites x et X , la fonction
Y.ou — (C,ei-V,+ .... + Cp{, V,) serait nulle aussi , et par conséquent la fonction
Ciji" Vj -+- .. . -r-CjV Vp, ou celle-ci
le serait encore , taudis qu'au contraire cette dernière fonction se réduit à Vp quand on fait n infini.
(*) Le défaut d'espace m'oblige à supprimer quelques détails relatifs à 1 a sphère et au cylindre que j'ai annoncés dans l'introduction et auxquels le lecteur peut suppléer aisément.
MÉMOIRE
Sur un nouvel usage des fonctions elliptiques dans les problèmes de mécanique céleste ;
Par Joseph LIOL VILLE.
(Présenté à l'Académie la n juillet i?3j.
i . Pour résoudre le problème difficile des perturbations planétaires, les géomètres ont successivement imaginé diverses méthodes. La plus remarquable est sans doule celle où l'on regarde les constantes arbitraires du mouvement elliptique comme devenues variables sous l'influence des forces perturbatrices, en conservant d'ailleurs entre la longitude, la latitude, le rayon vecteur de la planète troublée et le temps t, toutes les relations algébriques propres au cas où l'on tient compte de la seule action du soleil. On peut trouver à la rigueur dans les ouvrages de Newton l'idée première de cette méthode dont Lagrange est le .principal inventeur et que M. Poisson a simplifiée en quelques points. La détermination des inégalités périodiques du mouvement des planètes se trouve ainsi ramenée au développement en série et à l'intégration d'une certaine quantité, nommée R dans la Mécanique céleste, ou plutôt des différentielles partielles de cette quantité, prises par rapport aux éléments de la planète troublée.
Dans la théorie des principales planètes, les excentricités e, e', . . . . de ces planètes, et leurs inclinaisons A, A', . . . sur l'écliptiqne ont des valeurs très petites. Tl est naturel de développer alors la fonction R en série ordonnée suivant les puissances croissantes de e, e', A, A', etc., ce qui conduit à une série rapidement convergente. Mais les divers termes de R , dans ce développement, contiennent en dénominateur
Décembre i836. 5"]
