G JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

les puissances successives de la distance moyenne A de la planète troublée à la planète perturbatrice, ce qui rend l'intégration impossible sous forme finie. On est donc contraint de développer de nouveau les puissances négatives de A en séries de cosinus d'arcs proportionnels au temps t. L'intégration par rapport à cette variable t , s'effectue ensuite immédiatement. La série que l'on obtient en développant ainsi chaque terme de R est peu convergente en elle-même. Euler a observé qu'elle le devient davantage par l'intégration ; et, au jugement de d'Alembert, cette simple remarque doit être comptée parmi les plus belles découvertes de ce grand analyste. Toutefois j'ai pensé qu'il serait utile d'éviter ce développement nouveau des divers termes de R , ou du moins de donner une méthode pour calculer avec beaucoup d'approximation le reste qu'on néglige lorsque après l'intégration on prend seulement un certain nombre des termes de la série, les dix premiers par exemple, en omettant tous les autres. J'espère y être parvenu à l'aide des fonctions elliptiques dont mon mémoire va présenter une application curieuse au problème des perturbations. Déjà, dans la solution de ce problème , Legendre avait introduit les fonctions elliptiques définies, c'est-à-dire les fonctions elliptiques dont l'amplitude est égale à une constante. Je montrerai qu'on peut se servir aussi avec avantage des fonctions elliptiques indéfiniesdont l'amplitude dépend de la variable t. Mes formules devront surtout être employées, lorsque les moyennes distances de la planète troublée et de la planète perturbatrice au soleil différeront peu l'une de l'autre.

2. Pour faire comprendre en peu de mots le but que je me suis proposé, j'observe qu'en développant R en série ordonnée suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons , on i-amène le calcul des inégalités périodiques du mouvement des planètes à la détermination numérique, pour une valeur quelconque du temps t, d'intégrales de cette forme ,

fQcosgtdt, fQs'mgtdt, fdt/Qcosgtdt, fdtfQsmgtdt,

Q désignant une fonction périodique de t , et g une constante. L'expression de Q est comprise dans la formule

[A. -f- A' cos (g't + g,)] '■

fx étant un nombre entier impair, et A, A', g', gt, des constantes : gt représente la différence des moyens mouvements de la planète troublée m et de la planète perturbatrice m'. Si a et a' sont les demi- grands axes des ellipses décrites par m et m, on aura A=ai-f-a'\ A' = — 2aa'. ou mieux A' = — 2aa'(i — À'), en représentant par A le sinus de la moitié de l'angle compris entre les plans des deux orbites, et en évitant de développer le terme très petit icidX* cos (g t-^- g,). On simplifiera un peu l'expression de la fonction Q en prenant une unité de temps convenable et telle que l'on ait g' = i ; en fixant ensuite l'origine du temps à une époque convenable, on peut rendre la constante g, égale à zéro. Cela revient au fond à remplacer le binôme g't + g, par une seule lettre t. On a ainsi