A + A' COS
valeur que nous adopterons désormais. Désignons maintenant par q la partie entière de g et par l le reste positif ou négatif g — q, dont la valeur est comprise entre — j et -{-{'■ nous aurons g — q-{-l-t il en résultera
cos gt =t cos qt cos It — sin qt sin It , sin gt = cos qt sin It -f- sin qt cos // :
la détermination des intégrales simples ou doubles de
Q cos gt , Q sin gt , dépend donc des intégrales des quatre quantités suivantes :
Qcosçfcos/f. Qcosr/fsin/^, Qsin<y/siu//, Qsinçfcos//.
Considérons, par exemple, la première de ces quatre quantités, savoir Q cos qt cos It ; nous la mettrons sous la forme P cos It , en posant P = Qcos^. La fonction P se développe en une série de cosinus d'arcs multiples de /, et les coefficients numériques des divers termes de cette série s'expriment en fonctions elliptiques. Nommons P' l'en-
semble des premiers termes de P, des (i — i) premiers, si l'on veut , et P" la différence P — P' ; on aura
f? cos Itdt = /?' cos Itdt 4- /P" cos Itdt , fdtf? cos Itdt =fdtfP' cos Itdt + fdtf F' cos Itdt.
On calcule immédiatement les termes /P' cos Itdt , fdtfP" cosltdt qui donnent déjà une valeur approchée des intégrales demandées. Cela posé, lorsque l'on prend le nombre i assez grand, je prouve que les valeurs des restes / "P" cosltdt , fdtf Y" cosltdt s'expriment très simplement en quantités finies et en fonctions elliptiques, et cela avec tel degré d'approximation qu'on veut. Les théorèmes auxquels je suis arrivé à ce sujet rendront, ce me semble, à la fois plus exact et plus simple le calcul des intégrales /P cos Itdt, fdtf? cosltdt , dans lesquelles P = Qcos<7?. Ce que je viens de dire des intégrales.... /"Q cos qt cos Itdt , fdtfQ cosqt cos Itdt peut se dire aussi des intégrales
/Q cos qt sin Itdt , fdt f Q cos qt sin Itdt , etc.
à la détermination desquelles se réduit, comme on l'a vu , le calcul des inégalités périodiques du mouvement des planètes. Dans tous les cas possibles , la marche à suivre est la même. Au reste , on doit s'attendre à trouver ici l'exposé rapide des principes sur lesquels ma méthode repose, et non l'exposition détaillée de ces principes à la théorie des planètes. Le lecteur suppléera sans peine aux détails que j'ai cru devoir supprimer.
