Soit ¥ = Q cos qt; et considérons les deux intégrales

(i) tp(t) = / "P cosltdt,

(2) 4 (f) = /P sin Itdt ,

dont il s'agit de déterminer les valeurs numériques. En adoptant cette valeur de P, les intégrales /Psin tdt, J"Ps\a2tdt,. . . que nous nommerons P,, P3, • « • s'expriment immédiatement sous forme finie, tandis que les intégrales f?tdt , f?%dt ,... fFdt, f? cos tdt, . . . s'expriment en fonctions elliptiques et se calculent à l'aide des tables de Le-

gendre On peut développer P en une série de cosinus d'arcs multiples de t : les coefficients numériques de ce développement se transformeront en fonctions elliptiques et seront aisés à calculer comme Legendre l'a fait voir dans son ouvrage. Le développement de P étant opéré, on effectue immédiatement les intégrations indiquées dans les formules (r) et (2), et l'on obtient ainsi les valeurs de <p(t). 4(0 développées en séries. Quand les séries qui expriment <p (i), -^(t) sont très convergentes, on peut s'arrêter là et regarder notre problème comme résolu. Mais nous supposerons ici que cela n'a pas lieu ; et nous chercherons à tenir compte approximativement du reste que l'on néglige en prenant pour valeurs exactes de <p (t) , -\J. (t) les (i — 1) premiers termes des séries en question. On pourra, si l'on veut, pour fixer les idées, prendre i — 1=9 ou 1 = 10; mais notre analyse sera exacte pour un nombre i quelconque , pourvu qu'il soit suffisamment grand.

Désignons par P" la valeur de P dans laquelle on a supprimé les (i — 1) premiers termes, et par P'-f-Pr/ la valeur complète de P: il s'agit, comme on voit, d'estimer approximativement les quantités d'abord négligées

X = f ?" cos Itdt, Y = /T" sin Itdt.

Soit p un nombre entier qui prenne successivement toutes les valeurs comprises depuis pz=z i jusqu'à p = 00 : la fonction P" aura , d'après ce qui précède, un développement de la forme

P" = 2H cos/tf :

cela donne

ou bien

X = cos ItX PlL™p - sin It 2 '-ïii^-' ,

Y = sin «2 r— — £- + cos It 2 — - — f- ,

45o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

X = U coslt — V sinlt, Y = U sinlt H- V coslt,

U et V ayant les valeurs suivantes

|-r pHsïnpt -. IH cospt

La lettre p désigne successivement tous les nombres entiers i, i+ i , i + 2,. ... Si donc /était un très grand nombre, /* étant < ^, on pourrait poser à peu près

il en résulterait

et par suite

X = coslt C Y'dt, Y = sin It f F"dt.

Les restes négligés dépendraient donc alors de la seule intégrale

/ Y'dt, et celle-ci se réduit aux fonctions elliptiques , en remplaçant

P"parP — P'.

Les valeurs que nous venons de trouver pour U et V ou pour X et Y ne sont pas en général suffisamment exactes quand on donne à i une valeur peu considérable, telle que i = io. Mais par l'analyse même dont nous venons de faire usage, on en obtiendra de plus approchées.

En effet , au lieu de négliger tout-à-fait la quantité -a ., dont le développement, suivant les puissances de p', est — H — - +...., remplacons-là par cette autre quantité —J—, dont le [développement... — -\ — ^-f-. ... a une valeur numérique peu différente lorsque p est

grand, puisque le premier terme — est le même de part et d'autre L'erreur que l'on commet en posant ainsi

ne porte que sur des termes divise's par pi : aux termes près divisés parp5, on peut poser de même

P*—l P "rJpa— 1 '

on conclura de là pour U et V les valeurs que voici :

U = (1 - Z») 2 ^n-£' + I* zPÊÉÏE!,

Y 1— H cos^if

Nous avons déjà observé ci-dessus que la quantité

. H sin pt ft r,,,,^