G JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

les fonctious P et Q assujetties aux conditions

P = o pour u = -, Q = o pourjU = o, on aura

/'Pcosmur/tt == — — / 2 sin mu -r- ^M, et

/Qsmmudu. = — i cos mu -^ du: o ^ »» J o r dp r '

à où résulte

2Amm cos m,r = - 2 cos mx / J rf//. (cos mu -z sin7?i,a -r-\

Le terme Y est également très simple à former. En effet, on a

Y = 2 cos ma: (R„Am+|-*(Am+1+AIB,) +|l (Am+4+Am 4)+. . . .).

Les quantités Am+a, Ara, , Am+4, Am 4, etc., se déduisent de l'expression générale de Am, en donnant à l'indice m une valeur convenable; et en observant que l'on a

cos (m + ji)/a -f- cos (m — ?î)ix = 2 cos mu cos nu , sin (m -\- n)fA. -f- sin (m — n)u = 2 sin mfjt. cos n u ,

on obtient sans difficulté

8 r\^ Am+a -f- ^m s =- / ducos2u(¥ ç.osmu -f- Q sin ma),

Am+4 -f- A,„4 = - / 2 <fyacos4|a(Pcosm/a -f- Qsin/»a),

Au moyen de ces valeurs, je calcule celle de la quantité R0Am + 5= (Am+a + A„,) + ^(A 4 + Am 4) +

et je la trouve égale à

- / d/x (P cos TO,it-f-Qsin/H|w) (R;-f-Racos ?J* + R4cos4« + etc.").

Si l'on se rappelle maintenant que la série

R<> + R„cos 2fi + R4cos4/a -{-

est précisément le développement de la fonction/^ f*) entre les limites pt =r o, /a = -, on verra que l'expression précédente se réduit à

- I d)JL [P/"(f«) cos m fx -j- Qf(u)s\nmvi]. Par conséquent , on a

Y = - 2 cos mx I 2 dfA[Vf(f^) cos m//, -f- Q/(w.) sin m/*].

Calculons maintenant la valeur de X. Or cetle valeur, réduite en série, est exprimée par l'égalité

X = b, cos x -f- b3 cos 3x + b5 cos 5x +

Les coefficiens b,, b3, bs, sont eux-mêmes exprimés par séries.

Ainsi l'on a

En mettant pour A,, A3, A5, . . . A,, A 3, A 5, . . . leurs valeurs, cette valeur de b, devient

b, = ^ y Q<Y/tt(R,sirifc -f- R4sin3/* -+- R6siu 5p-\-. ..). On trouvera de même

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ba = l f2QJ/*(R4sinft + R6!sin 5^ -f- Rg sin 5/*+...), bs = i f^Qdu Résina + Rssin5//. -f- R10sin5At + ...)■

Si l'on multiplie ces valeurs de b„ bif b5, . . . par les facteurs respectifs cos.r, cos 3.x, cos5x,... qu'on pourra faire passer sous le signe f, puisqu'on ajoute les produits obtenus, la somme ainsi formée sera égale à X. En ordonnant la quantité placée sous le signe f par rapport aux lettres R„ R4, R6, . . . , on pourra donc écrire X ainsi qu'il suit :

X = ^Qrf^fRJtf, + R4M< + R6M£ + R8M, + ...),

les valeurs de M9, M4, M6, Mg , . . . . étant

M. = cosarsin^ ,

M4 =: cos.rsin5^ -J- cosS-rsin^ ,

M6 = cos.rsin5/£ -|- cosSjrsin 5// -f- cos5xsin«,

Ms = cos-rsiny/*. + cos5,rsin 5,u -f- cos5xsin5//- + cosyxsinu,

En observant que si p désigne un nombre entier, on a en général

cosa~sin(2/j — ï) fx, -f- cos3.rsin (2/J — 3)/*. + ...

, v . cos:rsin« (cos2o.r — casiuu.)

. . -\- cos(2P — 1 ).rsiniA= — ClJ- ,

v ' ' cos IX — cos ?.f.

les valeurs de M„, M.,, M6, M8,. . . . se simplifient et deviennent VI cosj:siii^»(cos2x— cos "Xft)

COS2JT COS2.K

-y cos.rsin,«(ros4-y — cos4^«)