V A + I" VA + I

où D — D" est toujours un nombre pair.

J’ai construit, avec l’aide des Tables de Degen, la Table suivante, qui montre pour les nombres premiers de la forme 8n +3 ou leurs doubles

lequel a lieu des trois cas distingués par Giipel , D = j If, T) = ^ IV ,

aa,

au,

ii4,

5oa,

54ki,

3fio JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Il est à remarquer qu'au moins parmi ces nombres tous au-dessous de 1000, la plus grande partie est comprise dans le premier cas. En effet, sur soixante- neuf, trente-six sont dans le premier cas, dix-huit dans le deuxième, quinze dans le troisième. Pour les nombres premiers de la forme 8/1 7 et leurs doubles, il faut distinguer de même

les deux cas de D° > D et de D > D°.

Après ce premier travail , Gdpel n’a rien publié dans un espace de douze ans, à l’exception de plusieurs opuscules moins importants, mais encore remarquables, qu’il écrivit à l’occasion de la correction du Journal de mathématiques édité par Grunerl, à Greifswald. Dans l’un d’eux, il prouve que, dans une équation

où x, y, p, n, P, Q représentent des nombres entiers, p étant différent de 1, et x,jr, p n’ayant pas de communs diviseurs, toujours on a /> = *, n = 3 ou un multiple de 3, a: impair, et y de la forme 8 n -f- 5 .

Ges compositions montrent que Gopel était parfaitement habile dans l'emploi des méthodes synthétiques de Steiner; et l’on doit présumer que, parmi les papiers qu’il a laissés, on trouvera d’autres Mémoires, plus ou moins ébauchés, d'une étendue plus considérable.

Le Mémoire dont nous avons parlé précédemment, et qu’il termina peu de temps avant sa mort, aborde une partie élevée et abstraite de l’analyse, et donne la solution d’un des plus beaux problèmes que les mathématiques actuelles aient posés : Donner une expression des Jonctions inverses des intégrales abétiennes de première espèce. Par une heureuse inspiration. Gopel généralise d’une manière naturelle les séries simples 0, auxquelles j'ai ramené les fonctions elliptiques, et .1 trouve que ces séries généralisées donnent les coefficients de l’équation quadratique dont les deux racines dans ma théorie des fonctions ultra -elliptiques sont les fonctions inverses simultanées de deux sommes d’intégrales. Le moyen simple qui l'amène à ce résultat est la multiplication de deux séries généralisées, procédé que j’ai employé moi-même pour les fonctions 0 (tome III du Journal de Mathématiques, page 3o5). Enfin, on reconnaît la main d’un maitre quand

PUKES ET APPLIQUEES. 36 1

Gopel met, par une substitution convenable, sans être effrayé de leur complication, les équations différentielles auxquelles il arrive sous la forme que j’ai donnée aux systèmes d’équations différentielles ultra-elliptiques, et complète ainsi la solution du problème proposé.

Mais Gopel n’est pas le seul qui se soit occupé avec succès de cette belle question. Dicté par une même inspiration heureuse, un autre travail plus étendu que le sien conduit, quoique par un chemin différent, et peut-être plus simple, aux mêmes résultats. Ce Mémoire est déposé, je crois, depuis le mois d’octobre de l'année dernière dans une célèbrp Académie [*]. La substance m’en a été communiquée il y a trois ans par l’auteur, et depuis par moi-meme à plusieurs de mes honorables amis.

Je remarque encore que les considérations de Gopel sur les secondes différentielles, tout à fait superflues pour le but actuel de ce traité , ainsi que ces paroles expresses, page 397 : Quas ad secundam speciem nos h arum Jonctionum Jacere infra videbis , et page a68 : Qtuan infra ad tertiam speciem Jonctionum rjuadrupliciter periodicarum pertinere videbis, font ailusion à des recherches qui devaient se trouver plus loin dans son Mémoire , mais qu’on regrette de ne pas y rencontrer. Peut-être ses papiers les contiennent-ils, et peut-etre aussi y trouvera-t-on la preuve de celle assertion, qui paraît hasardée, savoir, qu’une pareille méthode s'applique à toutes les transcendantes qui ressortent de l'intégration des quantités algébriques. Il serait donc possible, comme le pense l’auteur, d’étendre ses résultats aux intégrales dans lesquelles la fonction sous le radical carré dépasse le sixième degré, et où le nombre des constantes contenues dans les séries ne concorde plus, comme dans les fonctions elliptiques et abéliennes de première espèce, avec le nombre des modules.

Bien qu’il ne fût plus dans la première jeunesse, comme Galois et Abel, A. Gopel a été frappé par la mort beaucoup trop tôt. Ce talent remarquable a été arrêté au milieu de ses nobles travaux, et cepen-

[* ] M. Jjionbi fait sans aucun doute allusion ici an Mémoire de M. G. Rosenhain, de Bn-slau , adressé en 1846 à noire Aradrinie a IWcasion du grand prix pour la question des (onctions aheli* nues que M. Ilosenliam a en effet obtenu. J. 1. )

Tonic XV — Ckiocfct i8V>.

56a JOURNAL DE MATHEMATIQUES

riant nous (levons nous réjouir qu’il nous en soif resté un beau et durable monument. Avec l’bahitude des Allemands de mûrir si longtemps leurs idées, et de n’oser qu’avec timidité les mettre au jour, il était à craindre que nous ne fussions privés entièrement du fruit des veilles de Gôpel. Quelle cause l'a déterminé à hâter la publication de son Traité? Peut-être la Lettre que M. Hermite m’adressa, et dont il est parlé dans la préface; peut-être un sombre pressentiment du malheur qui le menaçait et que ces mots laissent apercevoir : Quwn magis quant optabam JestinanHum fuisset.

Min, le ji «epiembre 18^7.

A la suite de cette Notice, M. Crelle ajoute quelques mots. Il montre combien dans A. Gôpcl l’homme, le savant et l’artiste étaient dignes d’estime. 11 regrette de n’avoir pas été en mesure, à cause de l’abondance des matières, d’insérer plus tôt dans son Journal le travail que ce géomètre, peu de temps avant sa mort, avait bien voulu lui transmettre. Tout eût été sacrifié à celte publication, dit-il, si la moindre prévision de ce déplorable événement eût été possible. Il promet d’imprimer prochainement la dissertation dont M. Jacobi vient de donner un aperçu, et de l’accompagner d’un fac-similé de l’auteur. Enfin il annonce qu’il a l’espoir de trouver dans les papiers de Gopel d’autres travaux qui méritent l’attention des savants.

NOTE

Sur une nouveau procédé pour reconnaître immédiatement , dans certains cas, l’existence de racines imaginaires dans une équation numérique;

P*b M. F AA DE; BRUNO

TBÉOHKHh. L équation

(U xm-+- Par'"-' -+- Q.r" ’ H- H-r* ■+■ Sj -t- T = o,

dont les coefficients sont numériquement donnés, whnet des racines imaginaires si

(a) P*- aQOu/ï*.

On sait, en effet, que A, R, C,... étant îles quantités positives et m leur nombre, on a

A+B+C -t-.. > m \/abc.

c’est-à dire que la moyenne arithmétique entre plusieurs quantités est supérieure à leur moyenne géométrique [* ]. Si donc les racines de l’équation (i) sont toutes réelles, et qu’on prenne pour A, B, A'.,... leurs carrés, ce qui donne

A + B + C+.,.= P’ - aQ. ABC... = T1,

on en conclura

P’ — aQ > msfï*-

L'inégalité (a) n’a donc jamais lieu quand l'équation (i) a toutes ses [*] éoye* le Cours d' Analyse de M. Cauchy.

racines réelles, et si cette inégalité est vérifiée, on peut etre assuré qu’il y a des racines imaginaires dans l’équation proposée.

S’il arrive que P5 jQ soit plus grand que m \J T*, on devra appliquer encore le nn me principe aux coefficients correspondants dans I équation aux racines réciproques, et l’on trouvera quelquefois

ce qui rendra évidente l’existence de racines imaginaires, qui n’était point révélée par les coefficients V et Q. Lorsque les inégalités (a et (3) n’auront pas lieu, on ne pourra rien conclure sur la réalité ou la non réalité des racines. Mais cet indice nouveau , combiné avec d’autres que l’on connaît déjà ou que l’on pourrait encore trouver en développant le principe indiqué ci-dessus, suffira, dans un grand nombre de cas, pour constater immédiatement et d’une manière tressimple la présence de racines imaginaires dans une equation.

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