Tome XV. — StrrtMM i85o

rebroussement aux points où l'infini est rencontré par les axes imaginaires du point P, ou, ce qui est la même chose, d'un point quelconque, et ayant de plus un point double. Et le point P, comme point d’intersection de deux axes imaginaires tangents de la courbe , est un foyer de la courbe (voyez le Mémoire tie M. Pliicker : Ueber t niche pttncte die bei curven hokern onbutug als der zweiten den hrenn punclen der kegelschnitte entspreehen , Journal de M. Crelle, tome X, page 84)- Cela suffit pour faire voir que la courbe est un limaçon de Pascal ayant le point P pour le foyer qui n’est pas le point double. En effet, prenant pour vrai le théorème: # Les ovales » de Descartes ont deux points de rebroussement aux points où » l’infini est rencontré par les axes imaginaires d’un point quel- » conque [*], » comme cela revient à huit conditions, et qu’un ovale de Descartes peut être déterminé de manière à satisfaire à six conditions (ce qui fait en tout quatorze conditions, nombre des conditions qui déterminent une courbe du quatrième ordre), toute courbe du quatrième ordre avec deux points de rebroussement, tels que nous venons de les mentionner, sera un ovale de Descartes , et si , de plus , la courbe du quatrième ordre a un (joint double, elle se réduira en limaçon (cas particulier, comme on sait, des ovales de Descartes i. Donc, en résumé, tout cercle est transmuté dans un limaçon ayant un point fixe pour le foyer qui n’est pas le point double, théorème qui se rapporte à la méthode de M. Roberts pour le cas n = ■£. L’on doit cependant remarquer que cette méthode est due à M. Chasles. En effet, on trouve dans la Note citée de Y À perçu historique, non-seulement la propriété des droites de se transmuter en des paraboles, mais aussi celle des cercles de se transmuter en des ovales de Descartes (seulement M. Chasles parait ne pas avoir remarqué que ces ovales étaient nécessairement ties limaçons), et c’est la lecture de cette Note qui m’a appris cette théorie de la transmutation des cercles.

En supposant que la conique à transmuter passe par les trois points

[*] M. Chasles a remarqué en passant (Note XXI de VJprrçu historique) que tes ovales de Deseartes ont deux points conjugués imaginaires à l'infini , théoréinc moins complet que celui que je viens d'énoncer. Pour la démonstration du théorème complet, l'oie* la Note à la suite de ce Mémoire.

PURES ET APPLIQUEES.

P, Q, K , nous aurons

a- h#=o, ^+(l = o, y + tf = o;

les points doubles identiques, dans ce cas, avec les points P, Q, R, deviennent des points de rebroussement, et les droites QR, RP, PQ, au lieu d’être des tangentes doubles, sont tout simplement les droites qui passent chacune par deux points de rebroussement. Ajoutons que les tangentes de la courbe, dans les trois points de rebroussement respectivement , sont les droites x — w = o, y — w = o, z — iv = o.

Il y a encore un cas particulier à considérer, savoir celui ou la conique à transmuter est telle que, par rapport à cette conique, les points Q et R sont situés chacun dans la polaire de l’autre; on a alors f — o, cas qui échappe à l’analyse ci-devant employée. On voit sans peine que les deux points doubles (y — w, x = a), (s = w,y = x) deviennent ici identiques, ce qui donne lieu à un point d’osculation. I.a droite QR et la droite w= o ne sont plus des tangentes doubles proprement dites, mais ces droites deviennent l’une et l’autre identiques avec la tangente dans le point d’osculation.

Note sur les ovales de Descartes .

De l’équation de ces ovales,

V'(.T — «)* -h J'3 — m yx* -+- y* 4- ;i ,

on tire d’abord

(i — m*) (x* -4- y%) — a «x + a* — n 1 = a mn yx’ 4- y ’,

puis

(t — m*)’ (x* -bjr*Y — 4 « (« — m*) x (x* -t- j'*)

Pour trouver la nature de la courbe à l’infini, mettons X4- yi — Ç, x — yi — r, , i — ^ — i, et introduisons la quantité Ç de maniéré à rendre l'équation homogène. Cela donne

(t — m*j*ÇV - art (i — m*)( g 4- 4- a [a* (t — m *) — a’ (r 4- m*)] f»j

+ fl’(?4- *J)*Ç* - a fl (fl* - «*) (§ 4- lj)Ç* 4- (fl* - n*)’Ç4 = o.

Ce qui fait voir, sans la moindre peine, qu’il y a des points de rebroussement aux points (| = o, Ç = o), (n = o, Ç — o), savoir, aux points où l’infini, considéré comme droite, est rencontré par les droites x + jri = o, x — jri = o, qui sont les axes imaginaires du point jc = o, jr — o.

Nous pouvons remarquer, en passant, que l’équation

(t — m2) (x2 +jr2)— a tue -+- (a2 — n2) = a mn \x2 -t -y2,

conduit, avec beaucoup de facilité, à une autre propriété, donnée par M. Chasles dans la Note déjà citée. En effet, en mettant

n'—a' , m’fn’ — i) , „

«(»»’- i)’ a(m' — ij’ n — a'

cette équation se transforme en

(i - m'2) (x2 +jr2) - xa'jc-h (a'1 - n'2) = a m! n' vx* ~+J*, et par là on voit que l’équation primitive peut se transformer en

\{x — a')2 + jr2 = rn' y x’ -+-J 2 +

c’est-à-dire, il y a toujours un troisième foyer de la courbe.

U ne reste qu’à démontrer que la transformée (selon la méthode de M. Chasles) d’un cercle est toujours un limaçon. Soit, pour cela,

r2 — xar cos S -+- J = o

l’équation du cercle; en mettant y m/au lieu de r, et 1 6 au heu de 5, cette équation devient mr - aa vWcos$0 -t- à = o, ce qui donne mr -t- â)2 =. xa2mr[t -t- cosô), ou, en mettant rcosi = x et réduisant à une forme rationnelle,

( /n1 (x* +jr2) -t- J2 - a a 2 mx]* - 4 m2 (d - a2) (x* -h j2) = o,

ce qui appartient évidemment à un ovale de Descartes. En mettant jr—o, l’équation devient

['«’ x1 -t- a m {<f - a a2) x + d‘] (mx — d)’ = o,

c’est-à-dire le point mx — d = o, jr= o est point double, ou la courbe est le limaçon de Pascal.

PUKES ET APPLIQUÉES.

NOTICE SUR A. GOPEL;

Par M. C.-G.-J. JACOB!

(Journal de M. Crelle, tome XXXV , page 3 1 3. — Traduit de l'allemand.)

M. Adolphe Gopel, docteur en Philosophie, et l’un des employés de la bibliothèque royale de Berlin, a succombé à une maladie courte, mais douloureuse, peu de semaines après avoir livré à la publication un remarquable Mémoire intitulé : Theoriœ transcrndendium abelianarum primi ordinis adumbmtio levis. Dans les heures de loisir que lui laissait son emploi , il se livrait à de profondes recherches mathématiques, et si quelquefois il cherchait d’autres distractions, c’était à la musique qu’il les demandait, art dans lequel d avait un talent distingué. Vivant dans la retraite la plus complète, il paraissait ftiir la société des savants de son ordre, qui ne connurent guere le génie qui était au milieu d’eux qu’en apprenant la perle qu’ils venaient d’en faire. Moi-même je n’ai jamais vu Gopel.

Gopel nous apprend les phases de sa jeunesse dans l’appendice , Curriculum vitæ, qu’il a joint à sa dissertation pour le doctorat. Son pere, originaire de Saxe, était maître de musique de Rostock, où Gopel na quit en septembre 181a. Son oncle maternel, qui était consul anglais en Corse, le prit avec lui à l’Age de dix ans et l’emmena en Italie Pendant ses divers séjours dans plusieurs villes italiennes, il s’instruisit, par les soins de son oncle, dans les principes des sciences. A Pise, durant deux années, il suivit les Cours des professeurs Pieraccioli, Polelti, Getbi et Gatteschi sur l’Algèbre, le Calcul différentiel, la Statique et la Mécanique analytique, et enfin la Physique expérimentale et théorique. En i8a7, il retourna à Rostock, sa ville natale, et fréquenta les classes élevées du Gymnase de ce lieu. De là il vint à l’Université de Berlin. Il s’empressa de profiter des ressources qu’on y trouve pour la culture de l'esprit, et outre les Cours

de mathématiques, de physique et de chimie, il suivit encore les leçons de philosophie, de phdologie, d'histoire et d’esthétique. Apres avoir terminé ses études universitaires, il s'adonna spécialement aux mathématiques, et, comme beaucoup de ceux qui sont propres aux recherches de mathématiques pures, il se sentit attiré surtout vers la théorie des nombres. Dans sa thèse : De œquationibus secuiuii gradus indetenminntis , soutenue à l’Université de Berlin pour le grade de docteur, laquelle comprend une feuille et demie, il montra de quelle grande perspicacité il était doué pour l’étude des nombres et de quelle aptitude pour les profondes recherches. Cette dissertation remarquable n'étant pas connue du public, je vais donner ici un aperçu des résultats qu’elle contient.

Quand on réduit la racine carrée d’un nombre premier A de la forme !\n ■+■ t en fraction continue, la période symétrique des dénominateurs contient, comme on sait, deux termes moyens égaux. Soient y A -+• I v a + r

les quotients complets qui y correspondent; Legendre a démontré que D = D', A — T1 -+- Ds,

en sorte que l’on arrive, par la réduction de la racine carrée du nombre premier A en fraction continue, à sa décomposition en une somme de deux carrés. Ce résultat remarquable était jusqu’ici unique dans son genre. Par des considérations plus avancées, Gopel a trouvé que A étant un nombre premier 4 n -t- 3 ou le double d’un tel nombre, la décomposition de A sous la forme <pa ^ (pa s’effectue aussi par le développement de y A en fraction continue. En effet, supposons d’abord A un nombre premier de la forme 8« -+- 3, ou le double d’un tel nombre, on arrive toujours, par le développement de y A en fraction continue, à trois quotients complets consécutifs

tels que l'on ait

D = - D® ou - D' ou - ( D° -t- D1 ) ; i a * ' n

PUKES ET APPLIQUÉES. (39

dans les deux premiers cas on a

A =1» +jD’,

el dans le troisième

A = î (1 - T)’ +îl>’ = ^ (D" - iy )* -h a 1>‘,

où I — I' est divisible par a , et D° — D' divisible par t\.

Quand, au contraire, A est un nombre premier de la forme 8« -+- 7, ou le double d'un tel nombre, on arrive toujours, par le développe ment de A en fraction continue périodique, à deux quotients complets consécutifs

pour lesquels ce qui donne